2024年广东省广州市天河区华南师大附中中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省广州市天河区华南师大附中中考数学一模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2023的倒数是（ ）
A．2023B．C．﹣2023D．
2．（3分）奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为140纳米（1纳米＝0.000000001米）．“140纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣11米B．0.14×10﹣10米
C．1.4×10﹣7米D．0.14×10﹣6米
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝﹣a6B．a3+a3＝a6
C．D．2a6÷a2＝2a3
4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD＝130°，则∠BAD的度数是（ ）
A．120°B．130°C．115°D．125°
5．（3分）在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
6．（3分）若函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
7．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，，则BC等于（ ）
A．25B．12C．9D．16
8．（3分）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清酒有x斗，那么可列方程为（ ）
A．3x+10（5﹣x）＝30B．
C．D．10x+3（5﹣x）＝30
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交AD于点E，∠BCD的角平分线交AD于点F，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为（ ）
A．4B．3C．6D．5
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（ ）
A．B．2C．D．3
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）分式方程的解为 ．
13．（3分）已知点M（﹣1，2）和点N都在抛物线y＝x2﹣2x+c上，如果MN∥x轴，那么点N的坐标为 ．
14．（3分）如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是上异于点C、A的一点，若∠ABO＝32°，则∠ADC的度数是 度．
15．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则点P（a+1，﹣a﹣3）在第 象限．
16．（3分）如图，在 Rt△ABC中，斜边AB＝10，，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分∠CPB交边BC于点Q，QM⊥AB 于M，QN⊥CP 于N．
（1）当AP＝CP时，线段CQ的长是 ；
（2）当CP⊥AB时，线段CQ的长是 ．
三、解答题（本大题共9题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤．）
17．（4分）解不等式组：．
18．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF，求证：AF＝CE．
19．（6分）已知：P＝÷（m+）．
（1）化简P；
（2）若函数y＝3xm+n为反比例函数，求P的值．
20．（6分）实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中C类女生有 名，D类男生有 名；将上面的条形统计图补充完整；
（2）计算扇形统计图中D所占的圆心角是 ；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得求S△BCP＝2S△ABC．若存在，求出P点坐标，若不存在说明理由．
22．（10分）如图是一个山坡的纵向剖面图，坡面DE的延长线交地面AC于点B，点E恰好在BD的中点处，∠CBD＝60°，坡面AE的坡角为45°，山坡顶点D与水平线AC的距离，即CD的长为1000m．
（1）求BE的长度；
（2）求AB的长度．（结果保留根号）
23．（10分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，点O为边BC上一点，以O为圆心的圆经过点A，B．
（1）求作圆O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）若点P为圆O上一点，且弧PA＝弧PB，连接PC，求线段PC的长．
24．（12分）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？
25．（12分）如图①，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝90°，∠BAD＝60°．
（1）求∠ACD的度数；
（2）如图②，F为线段CD的中点，连接BF，求证：；
（3）如图③，若，线段BC上有一动点M，连接OM，将△OBM沿OM所在直线翻折至△OPM的位置，P为B的对应点，连接PA，PC，请直接写出4PC+PA的最小值．
2024年广东省广州市天河区华南师大附中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣2023的倒数是（ ）
A．2023B．C．﹣2023D．
【分析】运用乘积为1的两个数是互为倒数进行求解．
【解答】解：∵﹣2023×（﹣）＝1，
∴﹣2023的倒数是﹣，
故选：B．
2．（3分）奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为140纳米（1纳米＝0.000000001米）．“140纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣11米B．0.14×10﹣10米
C．1.4×10﹣7米D．0.14×10﹣6米
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：140纳米＝140×0.000000001米＝1.4×10﹣7米．
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝﹣a6B．a3+a3＝a6
C．D．2a6÷a2＝2a3
【分析】利用合并同类项的法则，整式的除法的法则，二次根式的减法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（﹣a2）3＝﹣a6，故A符合题意；
B、a3+a3＝2a3，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、2a6÷a2＝2a4，故D不符合题意；
故选：A．
4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD＝130°，则∠BAD的度数是（ ）
A．120°B．130°C．115°D．125°
【分析】根据据圆周角定理求出∠BCD后面添上，在根据圆内接四边形对角互补求出结果圆周角定理求出∠BCD．
【解答】解：∵∠BOD＝130°，
∴∠BCD＝∠BOD＝65°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝115°．
故选：C．
5．（3分）在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
【分析】利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1﹣k＞0即可．
【解答】解：∵反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
∴1﹣k＞0，
解得k＜1．
故选：A．
6．（3分）若函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】由二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点，可知Δ＜0，得出m＜﹣1，然后根据m的取值判定m+1，m﹣1的取值即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点，
∴Δ＜0，即4+4m＜0，
∴m＜﹣1，
∴m+1＜0，m﹣1＜0，
一次函数经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
7．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，，则BC等于（ ）
A．25B．12C．9D．16
【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出AC，再利用勾股定理得结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵sinB＝＝
∴AC＝sinB•AB＝×15＝9
∴BC＝
＝
＝
＝12
故选：B．
8．（3分）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清酒有x斗，那么可列方程为（ ）
A．3x+10（5﹣x）＝30B．
C．D．10x+3（5﹣x）＝30
【分析】根据共换了5斗酒，其中清酒x斗，则可得到醑酒（5﹣x）斗，再根据一共有30斗谷子列出方程即可．
【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，
由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，
故选：D．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交AD于点E，∠BCD的角平分线交AD于点F，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为（ ）
A．4B．3C．6D．5
【分析】根据平行四边形的性质可知∠DFC＝∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF＝∠FCB，则∠DFC＝∠DCF，则DF＝DC，同理可证AE＝AB，那么EF就可表示为AE+FD﹣BC＝2AB﹣BC，继而可得出答案．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠DFC＝∠FCB，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC，
同理可证：AE＝AB，
∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝14﹣10＝4．
故选：A．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（ ）
A．B．2C．D．3
【分析】作BE⊥x轴于E，则AC∥BE，即可得到△CDF∽△BDE，由题意得出＝＝，即可得出CF＝2BE，DF＝2DE，设B（，b），则C（1，﹣2b），代入y＝﹣（x＞0）即可求得k＝2b，从而求得B的坐标为2．
【解答】解：作BE⊥x轴于E，
∴AC∥BE，
∴△CDF∽△BDE，
∴＝＝，
∵BC＝3BD，
∴＝＝，
∴CF＝2BE，DF＝2DE，
设B（，b），
∴C（1，﹣2b），
∵函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，
∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，
∴k＝2b，
∴B的横坐标为＝＝2，
故选：B．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ ﹣1 ．
【分析】根据绝对值的性质，特殊锐角三角函数进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1﹣3×
＝﹣1﹣
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（3分）分式方程的解为 x＝3 ．
【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘以x（x+3）约去分母得：
x+3＝2x，
解这个整式方程得x＝3，
检验：当x＝3时，x（x+3）≠0，
∴x＝3是原分式方程的解．
故答案为：x＝3．
13．（3分）已知点M（﹣1，2）和点N都在抛物线y＝x2﹣2x+c上，如果MN∥x轴，那么点N的坐标为 （3，2） ．
【分析】根据抛物线的对称性即可求得点N的坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+c，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵点M（﹣1，2）和点N都在抛物线y＝x2﹣2x+c上，且MN∥x轴，
∴M、N关于直线x＝1对称，
∴点N的坐标为（3，2）．
故答案为：（3，2）．
14．（3分）如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是上异于点C、A的一点，若∠ABO＝32°，则∠ADC的度数是 29 度．
【分析】先根据切线的性质求出∠AOC的度数，再根据三角形内角和定理求出∠AOB的度数，由圆周角定理即可解答．
【解答】解：∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∵∠ABO＝32°，
∴∠AOB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ADC＝∠AOB＝×58°＝29°．
故答案为：29．
15．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则点P（a+1，﹣a﹣3）在第 四 象限．
【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a的取值范围可得出a+1＞0，﹣a﹣3＜0，进而可得出点P在第四象限，此题得解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，
∴，
解得：a＞﹣1且a≠0．
∴a+1＞0，﹣a﹣3＜0，
∴点P（a+1，﹣a﹣3）在第四象限．
故答案为：四．
16．（3分）如图，在 Rt△ABC中，斜边AB＝10，，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分∠CPB交边BC于点Q，QM⊥AB 于M，QN⊥CP 于N．
（1）当AP＝CP时，线段CQ的长是 4 ；
（2）当CP⊥AB时，线段CQ的长是 ．
【分析】（1）证明点P为AB的中点，由角分线证明PQ∥AC，根据平行线分线段成比例，得出CQ即可．
（2）利用三角函数求出PC，求出sin∠PCQ的值，证明出∠QPN＝45°，设QN为4x，表示出PN为4x、CN为3x，根据PC求出x即可．
【解答】解：（1）如图，
在 Rt△ABC中，AB＝10，，
∴BC＝AB•sinA＝8，
∵AP＝CP，
∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠A+∠B＝90°，∠PCA+∠PCB＝90°，
∴∠B＝∠PCB，
∴PB＝PC，
∴PA＝PB，
∵PQ平分∠CPB，
∴∠BPQ＝∠CPQ，
∴∠CPQ＝∠PCA，
∴PQ∥AC，
∴CQ＝BQ＝4，
故答案为：4．
（2）如图，∵CP⊥AB，
∴PC＝AC•sinA＝，
∵∠A+∠PCA＝90°，∠PCA+∠PCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠A，即sin∠PCQ＝，
设PN＝4x，
∵QM⊥AB，
∴CQ＝5x，
∴NC＝3x，
∵PQ平分∠CPB，
∴∠QPN＝45°，
∴PN＝4x，
∴PC＝7x＝，
∴x＝，
∴CQ＝5x＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤．）
17．（4分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，
解不等式x﹣1＜，得：x＜4，
则不等式组的解集为x≤1．
18．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF，求证：AF＝CE．
【分析】由平行四边形的性质得出知AB∥∥CD，易证四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴AE∥CF，
∵AE＝CF．
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE．
19．（6分）已知：P＝÷（m+）．
（1）化简P；
（2）若函数y＝3xm+n为反比例函数，求P的值．
【分析】（1）先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再关键分式的乘法法则进行计算即可；
（2）根据反比例函数的定义求出m+n＝﹣1，再代入求出答案即可．
【解答】解：（1）P＝÷（m+）
＝÷
＝÷
＝•
＝；
（2）∵函数y＝3xm+n为反比例函数，
∴m+n＝﹣1，
∴P＝＝﹣1．
20．（6分）实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中C类女生有 2 名，D类男生有 1 名；将上面的条形统计图补充完整；
（2）计算扇形统计图中D所占的圆心角是 36° ；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【分析】（1）首先根据题意求得一共调查的学生数为，继而求得C类女生有：20×25%﹣3＝2（名），D类男生有：20×（1﹣15%﹣25%﹣50%）﹣1＝1（名），即可补全统计图；
（2）用360°乘以对应的百分比可得答案．
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为（6+4）÷50%＝20（人），
∴本次调查中C类女生有20×25%﹣3＝2，
D类男生有20﹣（1+2+6+4+3+1+2）＝1，
补全图形如下：
故答案为：2、1；
（2）扇形统计图中D所占的圆心角是360°×＝36°，
故答案为：36°；
（3）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的有3种情况，
∴所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率是．
21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得求S△BCP＝2S△ABC．若存在，求出P点坐标，若不存在说明理由．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据图像和所给条件，直接写出不等式kx+b＞的解集即可；
（3）先求出三角形ABC面积再求出△PBC面积，设点P坐标为（m，），根据面积列出关于m的方程求出m值即可得到点P坐标．
【解答】解：（1）∵A（2，3），B（﹣3，n）两点都在反比例函数图象上；
∴m＝2×3＝﹣3×n，
∴m＝6，n＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝，B（﹣3，﹣2），
∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点都在一次函数图象上，
，解得，
∴一次函数解析式为y＝x+1；
（2）根据图像和所给条件，不等式kx+b＞的解集为：x＞2或﹣3＜x＜0；
（3）在一次函数y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1，设直线与x轴交于点D，则D（﹣1，0），
∴CD＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝＝5，
∵S△BCP＝2S△ABC．
∴S△BCP＝10，
设点P坐标为（m，m+1），
∴S△BCP＝丨m+3丨＝10，
∴m+3＝10或m+3＝﹣10，
∴m＝7，或m＝﹣13，
∴P（7，8）或（﹣13，﹣12）．
22．（10分）如图是一个山坡的纵向剖面图，坡面DE的延长线交地面AC于点B，点E恰好在BD的中点处，∠CBD＝60°，坡面AE的坡角为45°，山坡顶点D与水平线AC的距离，即CD的长为1000m．
（1）求BE的长度；
（2）求AB的长度．（结果保留根号）
【分析】（1）过点E作EF⊥AC于点F．由题意可得EF＝＝m，在Rt△BEF中，sin∠EBF＝sin60°＝＝，解方程求出BE即可．
（2）在Rt△AEF中，可得AF＝EF＝500m，在Rt△BEF中，tan∠EBF＝tan60°＝，求出BF的长，根据AB＝AF﹣BF可得答案．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥AC于点F.
∵点E为BD的中点，
∴EF＝＝m，
在Rt△BEF中，sin∠EBF＝sin60°＝＝，
解得BE＝1000，
经检验，BE＝1000是原方程的解且符合题意，
∴BE的长度为1000m．
（2）在Rt△AEF中，∠EAF＝45°，
∴AF＝EF＝500m，
在Rt△BEF中，tan∠EBF＝tan60°＝，
解得BF＝500，
经检验，BF＝500是原方程的解且符合题意，
∴AB＝AF﹣BF＝（﹣500）m．
∴AB的长度为（﹣500）m．
23．（10分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，点O为边BC上一点，以O为圆心的圆经过点A，B．
（1）求作圆O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）若点P为圆O上一点，且弧PA＝弧PB，连接PC，求线段PC的长．
【分析】（1）根据外心的定义即可求作圆O；
（2）根据切线的判定即可证明AC是⊙O的切线；
（3）根据点P为圆O上一点，且弧PA＝弧PB，连接PC，即可求线段PC的长．
【解答】解：（1）如图，圆O即为所求；
（2）证明：连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠CAO＝∠BAC﹣∠OAB＝90°，
∴OA⊥AC，OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（3）∵弧PA＝弧PB，
∴符合条件的点P有两个，P′和P″，连接P′C和P″C，
作P′E⊥BC于点E，
∵OP′⊥AB，
根据垂径定理，得
AF＝BF＝AB＝，
∵∠B＝30，
∴∠P′OB＝60°，
∴OB＝＝2，
∴P′E＝BF＝，
BE＝OB＝1，
∵AB＝AC＝2，
作AD⊥BC于点D，则AD＝，DC＝3，
∴BC＝2DC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣1＝5，
∴P′C＝＝2；
连接P″C，
∵OA＝OP″，∠AOC＝∠COP″＝60°，OC＝OC，
∴△AOC≌△P″OC（SAS），
∴P″C＝AC＝2．
综上所述：线段PC的长为2或2．
24．（12分）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？
【分析】（Ⅰ）将A（1，0）代入抛物线的解析式求出b＝2，由配方法可求出顶点坐标；
（Ⅱ）①根据题意得出a＝1，b＝﹣m﹣1．求出抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．则点C（0，m），点E（m+1，m），过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．根据题意求出m的值，可求出CF的长，则可得出答案；
②得出CN＝EF＝．求出MC＝﹣m，当MC≥，即m≤﹣1时，当MC＜，即﹣1＜m＜0时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3．
∵抛物线经过点A（1，0），
∴0＝1+b﹣3，
解得b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（Ⅱ）①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m＜0，
∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0．
∴a＝1，b＝﹣m﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．
根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m），
过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．
在Rt△EAH中，EH＝1﹣（m+1）＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m，
∴AE＝＝﹣m，
∵AE＝EF＝2，
∴﹣m＝2，
解得m＝﹣2．
此时，点E（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2），有EC＝1．
∵点F在y轴上，
∴在Rt△EFC中，CF＝＝．
∴点F的坐标为（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．
②由N是EF的中点，连接CN，CM，得CN＝EF＝．
根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上，
由点M（m，0），点C（0，m），得MO＝﹣m，CO＝﹣m，
∴在Rt△MCO中，MC＝＝﹣m．
当MC≥，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上．
MN的最小值为MC﹣NC＝﹣m﹣＝，解得m＝﹣；
当MC＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC＝﹣（﹣m）＝，
解得m＝﹣．
∴当m的值为﹣或﹣时，MN的最小值是．
25．（12分）如图①，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝90°，∠BAD＝60°．
（1）求∠ACD的度数；
（2）如图②，F为线段CD的中点，连接BF，求证：；
（3）如图③，若，线段BC上有一动点M，连接OM，将△OBM沿OM所在直线翻折至△OPM的位置，P为B的对应点，连接PA，PC，请直接写出4PC+PA的最小值．
【分析】（1）如图1中，连接BD．求出∠ACB＝45°，∠BCD＝75°，可得结论；
（2）如图2中，连接BD，延长BF到G，使得FG＝BF，在FG上取一点E，使得DE＝DC，连接EC．证明△ADC≌△BDE（SAS），推出AC＝BE＝AB，再证明∠EDG＝∠EGD＝15°，推出ED＝EG，可得结论；
（3）如图3中，在AO上取一点K，使得OK＝，连接CK．OC，过点O作OJ⊥CK于点J．证明△POK∽△AOP，推出＝＝，推出KP＝PA，推出PC+PA＝PC+PK，由PC+PK≥CK，推出当点P与P′重合时，AP+PC的值最小，即可求得4PC+PA的最小值．
【解答】（1）解：如图①，连接BD．
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，BD＝AB，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝∠BAC＝45°，BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝75°﹣45°＝30°；
（2）证明：如图②中，连接BD，延长BF到G，使得FG＝BF，在FG上取一点E，使得DE＝DC，连接EC．
∵BD＝BC，DF＝FC，
∴BF⊥CD，
∴ED＝EC＝CD，
∴△EDC是等边三角形，
∴∠ADB＝∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝∠BDE，
∵DA＝DB，DC＝DE，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC＝BE＝AB，
∵DF＝FC，FB＝FG，
∴四边形BDGC是平行四边形，
∵BG⊥CD，
∴四边形BDGC是菱形，
∴∠BDC＝∠CDG＝75°，
∵∠CDE＝60°，
∴∠EDG＝15°，∠EGD＝15°，
∴∠EDG＝∠EGD＝15°，
∴ED＝EG，
∴2BF＝BG＝BE+EG＝AC+CD＝AB+CD；
（3）解：如图3中，在AO上取一点K，使得OK＝，连接CK．OC，过点O作OJ⊥CK于点J．
∵OB＝AB＝2，
∴AB＝BC＝10，OA＝8，
∵OB＝OP＝2，
∴点B在上运动，设CK交圆弧于点P′，连接OP′．
∵OP＝2，OK＝，AO＝8，
∴OP2＝OK•OA，
∴＝，
∵∠POK＝∠AOP，
∴△POK∽△AOP，
∴＝＝，
∴KP＝PA，
∴PC+PA＝PC+PK，
∵PC+PK≥CK，
∴当点P与P′重合时，AP+PC的值最小，
∵CK＝＝＝，
∴AP+PC的最小值为，
∴4PC+PA＝10．