2024衡阳八中高三下学期高考模拟预测数学试题含解析

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命题人：赵永益 审题人：刘美容
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（ ）
A. 实轴正半轴B. 实轴负半轴C. 虚轴正半轴D. 虚轴负半轴
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的几何意义，由复数对应点代入直线方程可求得，即可得出结果.
【详解】复数在复平面内对应的点为，
代入直线，可得，即，
则，在复平面内对应的点为.
故选：C
2. 已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】解出集合、，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】或，或，
是的真子集，
因此，是的必要不充分条件.
故选：B
3. 已知椭圆的中心为原点，焦点为，，以为圆心，为半径的圆交椭圆于、两点，且，则椭圆的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接、，即可得到为等边三角形，从而得到点在椭圆的短轴的顶点，又，，再求出，即可得解.
【详解】连接、，根据对称性可知，
又，所以为等边三角形，即，
所以点为椭圆的短轴的顶点，
又，所以，则，
所以椭圆方程为.
故选：C
4. 设，，，，则a、b、c、d大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据指数函数、对数函数的知识得到a、b、c所在的范围，进而可得a、b、c的大小关系.
【详解】,
因为，所以，即，
因为，所以，所以，所以，即，
因为，，即，所以，
综上：.
故选：C
5. 已知数列满足：，，且，则数列前n项的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由叠加法求出数列通项公式，再代入，求出数列通项公式，再由列项相消法求出.
【详解】由得，，，…，，，
叠加得，
由题可知也适合上式，故；
所以，
则数列前n项的和.
故选：B.
6. 《易经》记载了一种占卜方法叫做“筮法”．用50根蓍草进行占卜，先抽去一根蓍草，横放其上，象征“太极”．然后把剩下49根蓍草随意分为两堆，象征“两仪”；接着从右堆中取出一根蓍草放在中间，再将左右两堆中余下的蓍草4根一数，直到最后各剩下不超过4根（含4根）为止，取出两堆剩下的蓍草也放入中间，再将两堆余下蓍草合在一起，记作“一变”．在“一变”中最后放在中间的蓍草总数有：5，9两种可能．其中“5”的概率是多少（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用古典概型概率公式和对立事件的概率公式，分别求出试验的基本事件总数和所求事件的对立事件含有的基本事件数代入计算即得.
【详解】不妨用表示剩下49根蓍草去掉1根后，随意分成的两堆中左右堆的蓍草根数，
依题，分堆方法有共49种，
而最后放在中间的蓍草总数为“9”的情况有：共11种，
故最后放在中间的蓍草总数为“5”的情况有种，
故“5”的概率是.
故选：C.
7. 已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值.
【详解】令，则，
方程可化为，
整理得，则满足，
解得，所以，即，
所以的最大值为.
故选：B.
8. 已知函数在存在最大值与最小值分别为和，则函数，函数图像对称中心是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过分析函数，得出最大值与最小值的和，得出函数的表达式，利用对勾函数的对称点即可得出函数的对称点.
【详解】由题意，
在中，，
∴，
∵最大值与最小值分别为和，
∴
在对勾函数中，对称轴为，对称点为，
在中，，
∴即，对称轴为，
函数为对勾函数向下平移1个单位得到，
∴函数对称点为，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查.函数的性质，构造函数，对称中心，函数的最值（和），考查学生的分析和处理问题的能力，计算能力，具有一定的综合性.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 为了研发某种流感疫苗，某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x（单位：mg），体内抗体数量为y（单位：AU/mL）．根据散点图，可以得到回归直线方程为：．下列说法正确的是（ ）
A. 回归直线方程表示体内抗体数量与抗体药物摄入量之间的线性相关关系
B. 回归直线方程表示体内抗体数量与抗体药物摄入量之间的函数关系
C. 回归直线方程可以精确反映体内抗体数量与抗体药物摄入量的变化趋势
D. 回归直线方程可以用来预测摄入抗体药物后体内抗体数量的变化
【答案】AD
【解析】
【分析】根据回归方程的意义判断即可.
【详解】回归直线方程只能表示体内抗体数量与抗体药物摄入量之间的线性相关关系，不是函数关系，A正确，B错误，
回归直线方程不能精确反映体内抗体数量与抗体药物摄入量的变化趋势，但可以用来预测摄入抗体药物后体内抗体数量的变化，C错误，D正确.
故选：AD.
10. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则
B. 若，则符合条件的有两个
C. 若点为所在平面内的动点，且，则点的轨迹经过的垂心
D. 已知是内一点，若分别表示的面积，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正弦定理及比例的性质判断A，根据正弦定理及大边对大角判断B，根据数量积的运算得垂直判断C，根据向量的运算得出比例关系判断D.
【详解】由正弦定理知，
所以可得，由可得，故A正确；
由正弦定理可知，即，解得，
又，所以，故只有一解，所以三角形一解，故B错误；
因为
，所以，所以点的轨迹经过的垂心，故C正确；
因为，所以，
设的中点分别为，如图，
则，即，所以，故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A，B作x轴的垂线，分别交x轴于，点C为该部分图象与x轴的交点，与y轴的交点为，此时．将绘有该图象的纸片沿x轴折成的二面角，如图2所示，折叠后，则下列四个结论正确的有（ ）
A.
B. 的图象在上单调递增
C. 在图2中，上存在唯一一点Q，使得面
D. 在图2中，若是上两个不同的点，且满足，则的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】先由题意读出，建立关于它们的等量关系，从而求出的值，进而求出根据三角函数由图像求解析式的思路依次求出和的值，得出的解析式，即可判断AB；CD需根据图像特征结合几何平行和垂直的判定方法和手段进行分析处理.
【详解】设函数的最小正周期为，则，
又，平方得，即，
所以，即，因为，解得，
故，即，所以，则，可得，
又因为函数在附近单调递减，且，所以，故A错误；
对于B选项，因为，当时，，此时单调递增，B符合题意；
对于C选项，在平面内，过点D作交x轴于M，交于，
再在平面上，过M作平行于的直线交于，此时面，故C错误；
对于D选项，若均在上，由可知，平行于x轴，此时，
若均在上，作于点E，则，
又，从而面，故，而，因此，在图1中作直线，则为与的交点，
不妨设为与在y轴右侧最近的两个交点，则此时的最小值为，
若不在同一个面上，此时，故D正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：涉及未知点（或动点）的平行（或垂直）关系求未知点（或动点）的位置或轨迹时，抓住平行（或垂直）的不变性和定点以及定直线作相应的平行面或垂面可助于找到未知点（或动点）的位置或轨迹.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在展开式中，二次项系数是___________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】由二项展开式的通项可知，当时，可得二次项系数为.
【详解】，
即二次项系数是.
故答案为：.
13. 已知双曲线的左､右焦点分别为，圆，过点作圆的切线交双曲线的右支于点，点为的中点，且，则双曲线的离心率是___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出图象，由，求得，得到，根据双曲线的定义，得到，结合及离心率的定义，转化为，即可求解.
【详解】因为点为的中点，且，可得，
设直线与圆相切于点，则且，
如图所示，，可得，且，
所以，所以，所以，
由双曲线的定义，可得，即，
所以，可得，整理得，
即，解得或（舍去），
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.

14. 已知函数是偶函数，不等式恒成立，则b的最大值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性求出的值，得出的单调性，再由不等式解出，再令新函数，根据单调性求出的取值范围，即可求得最大值.
【详解】因为函数是偶函数，
所以，
所以，即，
化简得，
解得或，
又因为且，所以，
所以.
经检验，对任意恒成立，所以.
又因为，且为偶函数，
所以时，单调递增，时，单调递减，
所以在单调递减，在单调递增.
因为恒成立，
所以恒成立.
令函数，，
所以时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增，
所以，
所以恒成立，
所以恒成立，
即恒成立.
令函数，所以
所以时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以恒成立.
又因为，且，
所以存在，使得，
所以的解集为，
所以b的最大值为1.
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解不等式的问题.其中由不等式解出，再令新函数求出的取值范围是关键点，需要令多个函数并求解单调性.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等腰梯形，，，取的中点，将等腰梯形沿线段翻折，使得二面角为，连接、得到如图所示的四棱锥，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先说明四边形为平行四边形，连接交于点，连接，即可得到，从而得证；
（2）在等腰梯形中可得、为等边三角形，在四棱锥中取的中点，连接、，过点作交于点，即可得到为二面角的平面角，求出，再证明平面，最后根据计算可得.
【小问1详解】
在等腰梯形中，，，为的中点，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
连接交于点，连接，则为中点，又为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
在等腰梯形中，由（1）知，即为等边三角形，
则，连接，则也为等边三角形，即，所以也为等边三角形，
在四棱锥中取的中点，连接、，过点作交于点，
依题意且，
所以为二面角的平面角，即，
又，所以为等边三角形，
所以，
又，平面，
所以平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又，
所以.
16. 已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，
（1）求数列的通项公式；
（2）若求数列的前项的和.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入可求出，从而进出，故可求出；再由等差数列的前项和求出，代入可求出，再由等比数列的前项和求出，，进而求出；
（2）由（1）求出，再由分组求和法求出数列的前项的和.
【小问1详解】
，解得：
设等差数列的公差为，等比数列的首项为，公比为
，，
，则：
又，得：
【小问2详解】
数列的前项的和：.
17. 如图，学校新校区有两块空闲的扇形绿化草地(圆心角为)和(圆心角为)，为圆的直径.在劣弧和劣弧上分别取点和点，且为圆的直径，分别设计出两块社团活动区域，其中一块为矩形区域，另一块为矩形区域，已知圆的直径米，点在上、点在上、点和在上、点在上.
（1）经设计，当达到最小值时，取得最佳观赏效果.请给出最佳观赏效果的设计方案?
（2）学校本周将在矩形区域进行社团活动展示，现需要在矩形区域内铺满地垫，并在矩形区域四周放置围栏.铺设的地垫每平方米20元，围栏每米10元，则场地布置的费用最高不超过多少元?
(参考数据：)
【答案】（1）答案见解析
（2）元
【解析】
【分析】（1）设，设，则且，利用辅助角公式得到，即可求出的最小值，从而求出，即可得解；
（2）依题意可得，即可表示矩形的面积、周长，所以场地布置的费用，利用换元法求出，即可得解.
【小问1详解】
设，
由得，，
设，则且，
即，其中，
由得，即或（舍去），
即的最小值为，此时，
又，解得，
所以当时，达到最小值时，取得最佳观赏效果，
即当时达到最小值时，取得最佳观赏效果.
【小问2详解】
在矩形中，，
所以矩形的面积为，周长为，
所以场地布置的费用
，
令，则，
又，因为，所以，
所以，所以，
则，
又在上单调递增，
当时，元，
即当时场地布置的费用最高为元，所以场地布置的费用最高不超过元.
18. 已知抛物线：，焦点在直线上．过点的直线与抛物线交于，两点，以焦点为圆心，为半径的圆分别与直线、交于、两点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题可得焦点坐标为，求得，从而求出抛物线方程；
（2）依题意设直线的方程为，与抛物线方程联立得到，再得到圆的方程与直线的方程，进而得到的坐标，利用向量共线可得直线恒过点，从而将表示为关于的表达式，利用对勾函数的单调性即可得解.
【小问1详解】
由题可得焦点在轴的正半轴，在直线上，令，解得，
即焦点坐标为，所以，解得，
所以抛物线的方程为：
【小问2详解】
设过点的直线的方程为：，，，
联立：，可得，
所以，
以焦点为圆心，为半径的圆的方程为：
直线的方程为：,
联立：，解得，
同理可得，
设直线与轴的交点为，所以，
由于，，
所以，
化简可得：，
由于，所以，解得，
则直线恒过点，
所以，
将，代入化简可得：
，
令，则，
因为在上单调递增，
所以，则，
所以，即.
故面积的取值范围为.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
③求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
19. 已知函数，函数．
（1）若直线与函数交于点A，直线与函数交于点B，且函数在点A处切线与函数在点B处的切线相互平行，求a的取值范围；
（2）函数在其定义域内有两个不同的极值点，，且，存在实数使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）a的取值范围为
（2）的取值范围为.
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义可将问题转化为在上有解；利用导数判断函数单调性，求其值域，列不等式求的范围；
（2）根据极值点的定义可求得；将恒成立的不等式转化为，令，化简可得；令，求导后可知当时，不等式恒成立，由此可得结果.
【小问1详解】
因为，，
所以，，
所以，；
因为在处的切线与在处的切线相互平行，
所以，即在上有解，
所以在上有解，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以函数的值域为，
所以，
所以，
所以a的取值范围为；
【小问2详解】
因为，，
所以，
所以；
因为是的两个极值点，
所以，，所以；
因为，，
则由得：，
所以，即，
所以；
令，则；
令，
则；
①当时，恒成立，在上单调递增，
所以，即恒成立，满足题意；
②当时，若，则，所以在上单调递减，
此时，即，不合题意；
所以由不等式恒成立，可得，又，
所以，
所以的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数求解恒成立问题；本题求解恒成立问题的关键是能够根据极值点定义和恒成立的不等式将变量消除，从而得到新的恒成立的不等式，通过构造函数的方式得到结果.