苏教版必修42.2 向量的线性运算同步训练题

这是一份苏教版必修42.2 向量的线性运算同步训练题，共14页。试卷主要包含了有以下命题，在三棱锥中，是棱的中点，且，则，已知向量，，且，则，下列结论中，向量，若，且，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量，,若向量满足且，则向量可取为（ ）
A．B．C．D．
2．已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
4．在三棱锥中，是棱的中点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知向量，，且，则（ ）
A．10B．10C．4D．4
6．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则
A．； B． C． D．
7．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
9．下列结论中
①若空间向量，，则是的充要条件；
②若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为；
③已知，为两个不同平面，，为两条直线，，，，，则“”是“”的充要条件；
④已知向量为平面的法向量，为直线的方向向量，则是的充要条件.
其中正确命题的序号有（ ）
A．②③B．②④C．②③④D．①②③④
10．向量，若，且，则的值为（ ）
A．B．1C．D．4
11．下列命题中正确的是（ ）
A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为
12．如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列选项中与向量相等的是（ ）
A．B．
C．D．
13．已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则它在下的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
14．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），与（O为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ）
A．B．C．D．
15．如图所示，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A.B.
C.D.
16．长方体的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合，中元素的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
17．已知直线的一个方向向量，且直线过和两点，则（ ）
A．0B．1C．D．3
18．下列各组向量平行的是（ ）
A．B．
C．D．
参考答案与试题解析
1．【答案】D
【解析】设向量，根据且，列出方程组，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，设向量，因为且，
则，即，令，可得，
所以其中一个向量.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的条件，列出方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．【答案】D
【解析】设是平面的一个法向量，则由题设，即，即，由于，所以，故点到平面ABCD的距离，应选答案D。
3．【答案】C
【解析】根据空间向量的基底判断②③的正误，找出反例判断①命题的正误，即可得到正确选项．
【详解】
解：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确．反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．
②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．
③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查共线向量与共面向量，考查学生分析问题，解决问题的能力，是基础题．
4．【答案】D
【解析】根据空间向量的基本定理，结合向量的线性运算，即可得出结果.
【详解】
因为是棱的中点，，
所以
.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查用基底表示空间向量，熟记空间向量基本定理即可，属于常考题型.
5．【答案】D
【解析】根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于，所以，解得.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查空间向量共线的坐标表示，属于基础题.
6．【答案】C
【解析】
故选C
7．【答案】BD
【解析】根据“时，若则点与点共面”，分别判断各选项是否为充分条件.
【详解】
当时，可知点与点共面，
所以，
所以，
所以，
不妨令，，，且此时，
因为，，，，
由上可知：BD满足要求.
故选：BD.
【点睛】
本题考查利用空间向量证明空间中的四点共面，难度一般.常见的证明空间中四点共面的方法有：(1)证明；(2)对于空间中任意一点，证明；(3) 对于空间中任意一点，证明.
8．【答案】C
【解析】根据向量基本原理和向量的线性运算，即可求解.
【详解】
.
故选:C
【点睛】
本题考查向量的表示，属于基础题.
9．【答案】B
【解析】①由可判断①不正确;
②由是的必要不充分条件,可得,从而得到正确;
③根据面面垂直的性质和判定定理即可判断;
④结合利用法向量与方向向量的定义即可判断.
【详解】
解:①空间向量,,则
,
所以是的充要条件错误,故①不正确;
②若是的必要不充分条件,则,
所以,故②正确;
③若,则由条件可得,又,所以;
若,则根据条件得不到,故③不正确;
④若,则,因为为直线的方向向量,所以;
若,则,因为为平面的法向量,所以,故④正确.
综上,正确命题的序号为②④.
故选:B.
【点睛】
本题考查了空间向量平行的充要条件,利用必要不充分条件求参数范围,平面与平面垂直的判定和利用法向量与方向向量判定平行和垂直关系,属中档题.
10．【答案】C
【解析】根据求出的值，再根据得出，列方程求出的值，即可计算的值．
【详解】
解：向量，若，
则，解得；
又向量，且，
则，解得；
所以．
故选．
【点睛】
本题考查了空间向量的数量积与模长公式计算问题，是基础题．
11．【答案】ABD
【解析】不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，由此可判断A．B，若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行，可判断C，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等，由此可判断D．
【详解】
对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对；
对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对；
对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错；
对于D，∵，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对；
故选：ABD．
【点睛】
本题主要考查命题的真假，考查空间基底的定义，考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
12．【答案】B
【解析】如图所示，利用向量三角形法则．平行四边形法则．向量共线定理即可得出．
【详解】
解：如图所示，，
，，，，，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了向量三角形法则．平行四边形法则．向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．【答案】D
【解析】可设向量，，；由此求出向量．，再设，列方程组求出．和即可．
【详解】
解：设向量，，；
则向量，，
又向量，
不妨设，
则，
即，
解得，
所以向量在下的坐标为．
故选．
【点睛】
本题考查了空间向量的坐标表示应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
14．【答案】C
【解析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可．
【详解】
解：，
，
，
，
，则，
．
故选：．
【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
15．【答案】A
【解析】运用向量的加法．减法的几何意义，可以把用已知的一组基底表示.
【详解】
.
【点睛】
本题考查了空间向量用一组已知基底进行表示.
16．【答案】C
【解析】建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的定义，进行计算，即可求解．
【详解】
由题意，因为正方体的底面为班车为1的正方形，高为2，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
与相等的向量为，此时，
与相等的向量为，此时，
与相等的向量为，此时，
与相等的向量为，此时，
与相等的向量为，此时，
体对角线向量为，此时，
，此时，
，此时，
，此时，
综上集合，集合中元素的个数为3个．
故选：C．

【点睛】
本题主要考查了集合的元素的计算，以及向量的数量积的运算，其中解答中建立恰当的空间直角坐标系，熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
17．【答案】A
【解析】根据，即可得出.
【详解】
解：和
，
因为直线的一个方向向量为
故设．
，，．
解得，．
．
故选：．
【点睛】
本题考查了直线的方向向量．方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．【答案】A
【解析】根据平行向量满足判断即可.
【详解】
四个选项中仅有A中有.故平行.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了平行向量的判定.属于基础题型.