高中数学苏教版必修42.3 向量的坐标表示测试题

这是一份高中数学苏教版必修42.3 向量的坐标表示测试题，共16页。试卷主要包含了 在棱长为2的正方体中，M等内容，欢迎下载使用。
1．若平面的一个法向量为，，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． 1 B． 2 C． D．
2． 若平面的一个法向量为2，，0，，，，，则点A到平面的距离为
A. 1 B. 2 C. D.
3．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是
A. B. C. D.
4． 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为
A. B. C. D.
5． 在棱长为2的正方体中，M．N分别是．CD的中点，则点B到截面的距离为
A. B. C. D.
6．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A. B. C. D.
7． 设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面
A. 垂直 B. 平行或在平面内
C. 平行 D. 在平面内
8． 如图，在矩形ABCD中，，将沿折起，使得D折起的位置为，且在平面ABC的射影恰好落在AB上，则直线与平面ABC所成角的正弦值为
A. B. C. D.
9． 在长方体中，，则异面直线AC与所成角的余弦值是
A. B. C. D.
10． 在三棱柱中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱底面ABC，点D在棱上，且，若AD与平面所成的角为，则的值是
A. B. C. D.
11．如图，长方体中，，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
12． 已知M．N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且，设向量，，，则
A.
B.
C.
D.
13．已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（ ）．
A. B. C. D.
14． 若，，4，，且，，共面，则
A. 1 B. C. 1或2 D.
15． 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
16． 如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则可表示为
A.
B.
C.
D.
17．已知平行六面体中，底面是边长为的正方形， ，则异面直线与所成角的余弦值( )
A. B. C. D.
18．棱长为的正方体内有一个内切球O，过正方体中两条互为异面直线的，的中点作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）
A. B. C. D.
参考答案与试题解析
1．【答案】C
【解析】分析：求出，点A到平面的距离：，由此能求出结果.
详解： ，，，，
AB为平面的一条斜线，且
点A到平面的距离：
故选C.
点睛：点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则A到平面α的距离.
2．【答案】C
解：平面的一个法向量为2，，
0，，，，，
1，，
点A到平面的距离：
．
故选：C．
求出，点A到平面的距离：，由此能求出结果．
本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
【解析】
3．【答案】B
【解析】两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ， ，且两平面的一个法向量 两平面间的距离，故选B.
4．【答案】B
解：如图，
取AD中点F，连接EF，CF，
为AB的中点，
，
则为异面直线BD与CE所成的角，
为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，
．
设正四面体的棱长为2a，
则，
．
在中，由余弦定理得：
．
故选：B．
由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．
本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．
_ _
【解析】
5．【答案】B
解：如图，建立空间直角坐标系，
在棱长为2的正方体中，
M．N分别是．CD的中点，
0，，1，，1，，2，，
1，，1，，2，
设平面AMN的法向量y，
则，取，得2，，
点B到截面的距离：．
故选B．
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到截面的距离．
本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
【解析】
6．【答案】B
【解析】分析：以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得
，利用向量的夹角公式，即可求解.
详解：以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
设异面直线和所成的角为，
则，
所以异面直线和所成的角为，故选B.
点睛：本题考查了异面直线所成的角的求解，其中把异面直线所成的角转化为向量所成的角，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，对于对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
7．【答案】B
解：．
．
或．
故选：B．
根据可知，从而得出结论．
本题考查了空间向量在立体几何中的应用属于基础题．
【解析】
8．【答案】B
解：设在平面ABC的射影为O，
由题意，平面，，
，，
，
，
，
由等面积可得，，
直线与平面ABC所成角的正弦值为，
故选：B．
设在平面ABC的射影为O，求出，即可求出直线与平面ABC所成角的正弦值．
本题考查直线与平面ABC所成角的正弦值，考查学生的计算能力，正确求出是关键．
【解析】
9．【答案】A
解：几何法
在长方体中，
连结AC，BD，交于点O，取中点E，连结OE，AE，
，ABCD是矩形，
是BD中点，，
是异面直线AC与所成角或所成角的补角，
又，，
．
异面直线AC与所成角的余弦值是．
故选：A．
向量法
在长方体中，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为 轴，建立空间直角坐标系，
0，，2，，2，，0，，
2，，，
设异面直线AC与所成角为，
则．
异面直线AC与所成角的余弦值是． + +
故选：A．
几何法：
连结AC，BD，交于点O，取中点E，连结OE，AE，则是异面直线AC与所成角或所成角的补角，由此利用余弦定理能求出异面直线AC与所成角的余弦值．
向量法：
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与所成角的余弦值．
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
【解析】
10．【答案】D
解：如图，建立坐标系，易求点，
平面的一个法向量是0，，
所以，，
即．
故选D．
建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量是，和，计算，即可求解，
本题考查用空间向量求直线与平面的夹角，考查计算能力，是基础题．
【解析】
11．【答案】D
【解析】分析：设，以 所在直线方向 轴，建立空间直角坐标系，可得的坐标，进而可得，可得答案．
详解：设，以 所在直线方向 轴，…，建立空间直角坐标系，
则可得A1
设异面直线与所成角的为 ，
则，
故选：D．
点睛：本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．
12．【答案】C
解：如图所示，
，，，，．






．
故选：C．
利用空间向量的三角形法则．平行四边形法则，把用．和线性表示即可．
本题考查了空间向量的线性运算问题，考查了数形结合的应用问题，是基础题目．
【解析】
13．【答案】D
【解析】根据题意，可得：
∵，，
∴，
又∵平面的一个法向量，点在内，
∴到的距离等于向量在上的投影的绝对值，
即，
，
．
14．【答案】A
解：存在实数m，n使得，
，解得．
故选：A．
存在实数m，n使得，即可得出．
本题考查了向量坐标运算性质．向量共面定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解析】
15．【答案】C
解：【解法一】如图所示，设M．N．P分别为AB，和的中点，
则．夹角为MN和NP夹角或其补角
因异面直线所成角为，
可知，
；
作BC中点Q，则为直角三角形；
，，
中，由余弦定理得
，
，
；
在中，；
在中，由余弦定理得
；
又异面直线所成角的范围是，
与所成角的余弦值为．
【解法二】如图所示，
补成四棱柱，求即可；
，，
，
，
，
．
故选：C．
【解法一】设M．N．P分别为AB，和的中点，得出．夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC．MQ，MP和的余弦值即可．
【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁． 。 。
本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．
【解析】
16．【答案】A
解：取AC的中点N，连接BN．MN，如图所示；

为的中点，
，，，
，

．
故选：A． 学
利用空间向量的线性运算法则与向量相等的定义，用．和表示出即可．
本题考查了空间向量的线性运算与向量相等的应用问题，是基础题． 学
【解析】
17．【答案】C
【解析】
设，则平行六面体，底面是边长为的正方形，， ，， ，，异面直线与所成角的余弦值为，故选C.
18．【答案】A
【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系,所以球心,,,,故到直线的距离为,而球的半径为,所以在球内的线段长度为.故选.