专题11 二次函数-胡不归求最小值（教师版）-拔尖2023中考数学压轴题（全国通用）

这是一份专题11 二次函数-胡不归求最小值（教师版）-拔尖2023中考数学压轴题（全国通用），共63页。试卷主要包含了PA+k•PB，PA+QB+k•PQ等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27556" 必备知识点 PAGEREF _Tc27556 \h 1
\l "_Tc23713" 考点一 PA+k•PB PAGEREF _Tc23713 \h 2
\l "_Tc29761" 考点二 PA+QB+k•PQ PAGEREF _Tc29761 \h 33
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必备知识点
从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B（如图所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？
一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1，记，
即求BC+kAC的最小值．
构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．
胡不归模型问题解题步骤如下：
1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式（<1，若>1，提取系数，转化为小于1的形式解决）。
2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=
3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题
考点一 PA+k•PB
1．如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．
（1）求m的值；
（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．
（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣2）x一2m＝（x﹣2）（x+m），
令y＝0，则x＝2或x＝﹣m，
∵m＞0，
∴﹣m＜0，
∴A（﹣m，0），B（2，0），
∴AB＝2+m，
令x＝0，则y＝﹣2m，
∴C（0，﹣2m），
∵△ABC的面积为8，
∴×（2+m）×（2m）＝8，
解得m＝2或m＝﹣4（舍）；
（2）当m＝2时，y＝x2﹣4，
∵的横坐标为t，
∴T（t，t2﹣4），
过点C作EF∥x轴，过点T作TF⊥EF交于F点，过点C作CD⊥CT交直线AT于点D，过点D作DE⊥EF交于E点，
∵∠DCT＝90°，
∴∠DCE+∠TCF＝90°，
∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠TCF＝∠CDE，
∴△CED∽△TFC，
∴＝＝，
∵∠ATC＝60°，
∴＝，
∵C（0，﹣4），
∴CF＝t，TF＝t2，
∴DE＝t，CE＝t2，
∴D（﹣t2，t﹣4），
设直线AT的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝（t﹣2）x+2t﹣4，
∴t﹣4＝（t﹣2）（﹣t2）+2t﹣4，
∴（t﹣1）2＝；
（3）过点B作BG⊥AC交于G点，交y轴于点P，
∵A、B关于y轴对称，
∴AP＝BP，
∵∠GBA+∠BAC＝∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠ABG＝∠ACO，
∵AO＝2，CO＝4，
∴AC＝2，
∴sin∠ACO＝，
∴＝，
∴CP＝GP，
∵CP+AP＝（CP+AP）＝（GP+AP）≥BG，
∵cs∠ACO＝＝＝，
∴BG＝，
∴CP+AP的最小值为8，
∵tan∠ACO＝＝＝，
∴OP＝1，
∴P（0，﹣1）．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x轴分别交于点B（3，0）和点A，且tan∠CAO＝1．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；
（3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC+PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣2），
∴OC＝2，
∵tan∠CAO＝1，
∴＝1，
∴OA＝2，A（﹣2，0），
将A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，理由如下：
过A作AM∥BC交y轴于M，交抛物线于Q，作M关于x轴的对称点M'，作直线AM'交抛物线于Q'，如图：
∵AM∥BC，
∴∠QAB＝∠ABC，即Q是满足题意的点，
∵B（3，0），C（0，﹣2），
∴直线BC解析式是y＝x﹣2，
设直线AM解析式为y＝x+m，将A（﹣2，0）代入得﹣+m＝0，
∴m＝，
∴直线AM解析式为y＝x+，M（0，），
解得（与A重合，舍去）或，
∴Q（5，），
∵M、M'关于x轴对称，
∴∠Q'AB＝∠QAB＝∠ABC，M'（0，﹣），
∴Q'是满足题意的点，
设直线AQ'为y＝kx﹣，将A（﹣2，0）代入得﹣2k﹣＝0，
∴k＝﹣，
∴直线AQ'为y＝﹣x﹣，
解得（舍去）或，
∴Q（1，﹣2）；
综上所述，点Q坐标是（5，）或（1，﹣2）；
（3）在y轴上存在一个点P，使PC+PD值最小，理由如下：
过P作PH⊥AC于H，过D作DH'⊥AC于H'，交y轴于P'，如图：
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线对称轴是直线x＝，
∴D（，0），
∵OA＝OC＝2，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OCA＝45°＝∠OAC，
∴△PCH是等腰直角三角形，
∴PH＝PC，
∴PC+PD最小即是PH+PD最小，
∴当P运动到P'，H和H'重合时，PC+PD的最小，最小值是DH'，
∵∠OAC＝45°，DH'⊥AC，
∴△ADH'是等腰直角三角形，
∴DH'＝AD，
∵A（﹣2，0），D（，0），
∴AD＝，
∴DH'＝，即PC+PD的最小值是．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，其顶点为D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．
（1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标；
（2）点M是线段BC上方抛物线上的一个动点，点N是线段BC上一点，当△MBC的面积最大时，求：
①点M的坐标，说明理由；
②MN+BN的最小值 ；
（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，
∴OB＝OC，
∵OA：OB＝1：3，AB＝4，
∴OA＝1，OB＝3，
∴OC＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
将A、B、C代入y＝ax2+bx+c中，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
过点M作MG∥y轴交BC于点G，
设M（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），
∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴S△MBC＝×3×（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，
∵0＜t＜3，
∴当t＝时，S△MBC有最大值，
此时M（，）；
②过点M作MH⊥x轴交于H，交BC于N，
∵∠OBC＝45°，
∴NH＝BN，
∴MN+BN＝MN+NH≥MH，
∵M（，），
∴MH＝，
∴MN+BN的最小值为，
故答案为：；
（3）存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形，理由如下：
设P（m，﹣m2+2m+3），
如图2，当∠ACP＝90°时，
过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥EF交于E，过点P作PF⊥EF交于F，
∴∠ECA+∠FCP＝90°，
∵∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠FCP＝∠EAC，
∴△ACE∽△CPF，
∴＝，
∴＝，
解得m＝0（舍）或m＝，
∴P（，）；
如图3，当∠CAP＝90°时，过点A作MN⊥x轴，过点C作CM⊥MN交于M，过点P作PN⊥MN交于N，
∵∠MAC+∠NAP＝90°，∠MAC+∠MCA＝90°，
∴∠NAP＝∠MCA，
∴△ACM∽△PAN，
∴＝，
∴＝，
解得m＝﹣1（舍）或m＝，
∴P（，﹣）；
综上所述：P点坐标为（，）或（，﹣）．
4．如图1，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点B位于点A的右侧），与y轴交于C点，连接BC．
（1）求直线BC的解析式：
（2）如图1，点P是线段BC下方抛物线上任意一点，点F是y轴上一点，当△PBC面积最大时，求PF+FO的最小值；
（3）如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点M，点Q是直线BC上一动点，连接MQ，将△BMQ沿MQ折叠至△B′MQ，其中点B的对应点为点B′，连接AB'，CB′，当△ACB′为等腰三角形时，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于C点，
∴C点坐标为（0，），
∵当y＝0时，＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6
又∵抛物线与x轴分别交于A，B两点（点B位于点A的右侧），
∴A（﹣2，0）、B（6，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为：．
（2）如图1，过P点作PG∥y轴，交BC于G点，
设P点坐标为（x，），则则G点为（x，），
PG＝（）﹣（）＝，
∴当x＝3时，PG最大，
∵S△PBC＝，BO＝6，
∴当PG最大时，△PBC面积最大，此时P点坐标为（3，）．
过O点作∠MOC＝30°，过F点作HF⊥OM垂足为H，
∴HF＝，
∴PF+FO＝HF+PF，
∴当P、F、H三点在一条直线，即PH⊥OM时，HF+PF最小，
过P点作PQ⊥y轴，
∴∠FPQ＝30°，PQ＝3，
∴QF＝，PF＝2，
∴OF＝OQ﹣QF＝＝，
∴PF+FO的最小值＝＝；
（3）∵C点坐标为（0，），抛物线对称轴为x＝2，
∴M点坐标为（2，0），
∴CM＝4，AC＝4，
由折叠性质可知BM＝B′M＝4，又有AM＝4，
∴故A、B、C、B′四点在以M点为圆心，4为半径的圆上，
∵tan∠CBO＝，
∴∠CBO＝30°，＝60°，
当△ACB′为等腰三角形时有四种情况，
Ⅰ．如图2﹣1，当AC＝B'C＝4时，
∴，
∴B′C∥x轴，∠B′MB＝60°，
∵∠MB'Q1＝∠MBQ1＝30°，
∴BQ1⊥x轴，
当x＝4时，代入得y＝．
即Q1点坐标为（4，）
Ⅱ．如图2﹣2，当AC＝B'C＝4时，
B′点恰好是C点关于x轴的对称点，
∴∠AMB′＝60°，
∵∠MB'Q2＝∠MBQ2＝30°，
∴B′Q与y轴重合，
∴Q2点与C点重合，
即Q2点坐标为（0，）；
Ⅲ．如图2﹣3，当AB′＝B'C时，即B′在AC的垂直平分线上，
∴∠AMB′＝30°，
∵∠MB'Q2＝∠MBQ2＝30°，
∴B′Q3∥x轴，B′纵坐标为﹣2，
即Q3纵坐标为﹣2，当y＝﹣2时，代入解得x＝6﹣2，
即Q3点坐标为（6，﹣2）；
Ⅳ．如图2﹣4，当AB′＝B'C时，即B′在AC的垂直平分线上，
∴∠AB′M＝15°，
∴∠BMB′＝30°，
∵∠MB'Q4＝∠MBQ4＝150°，
∴B′Q4∥x轴，B′纵坐标为2，
即Q4纵坐标为2，当y＝2时，代入解得x＝6+2，
即Q4点坐标为（6，2）；
综上所述：当△ACB′为等腰三角形时，点Q的坐标为（4，）、（0，）；（6，﹣2）；（6，2）；
．
5．已知：如图所示，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CAB•tan∠CBA＝1．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；
（3）若M为线段AO上任意一点，求MC+AM的最小值．
【解答】解：（1）设点A、B的横坐标分别为x1，x2，
令y＝0可得﹣x2﹣x+c＝0，
∴x1•x2＝﹣2c，
∵tan∠CAB•tan∠CBA＝1，即＝1，
∴OC2＝OA•OB＝（﹣x1）•x2＝2C，
即c2＝2c，
解得c1＝0（舍去），c2＝2，
∴抛物线y＝﹣x2﹣x+2，
令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1，
故点A（﹣4，0），点B（1，0）；
（2）△PAC的内切圆圆心正好落在x轴上，则x轴为∠CAP的角平分线，
作点C关于x轴的对称点C'（0，﹣2），
设直线AC'的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣4，0），C'（0，﹣2）代入，
得，
解得，
∴直线AC'的解析式为y＝x﹣2，
联立抛物线与直线得，
解得，，
故点P坐标（2，﹣3）；
（3）过点A作直线AD，使sin∠OAD＝，过点M作ME⊥AD于点E，如图，
在Rt△MAE中，sin∠OAD＝，
∴ME＝AM，
∴MC+AM＝MC+ME，当点M、C、E三点共线时，MC+ME最小为CE，
∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM，
∴∠EAM＝∠OCM，
在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝，OC＝2，
∴tan∠OCM＝＝＝，cs∠OAD＝＝，
∴OM＝1，CM＝，
∴AM＝4﹣1＝3，
在Rt△AEM中，sin∠OAD＝，AM＝3，
∴EM＝3•sin∠OAD＝，
∴MC+ME＝+＝．
故MC+AM的最小值．
6．如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线y＝x+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标；
（3）连接BC，当△AOM与△ABC相似时，求出点M的坐标．
【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣6x+7中，令y＝0得：
﹣x2﹣6x+7＝0，解得x＝﹣7或x＝1，
∴A（﹣7，0），B（1，0）；
（2）过P作PN⊥x轴于N，交AC于M，如图：
抛物线y＝﹣x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，
在y＝﹣x2﹣6x+7中，令x＝0得y＝7，
∴C（0，7），
∴AC＝＝7，
∴sin∠CAB＝＝＝，
在Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠CAB＝AM，
∴PM+AM最小，即是PM+MN最小，由垂线段最短可知PM+AM的最小值即为PN的长，
∵点P，C（0，7）关于抛物线的对称轴直线x＝﹣3对称，
∴PN与OC关于抛物线y＝﹣x2﹣6x+7的对称轴直线x＝﹣3对称，P（﹣6，7），
∴PN＝OC＝7，即PM+AM的最小值为7，
由A（﹣7，0），C（0，7）得直线AC解析式为y＝x+7，
在y＝x+7中，令x＝﹣6得y＝，
∴M（﹣6，）；
（3）过M作MH⊥x轴于H，过M'作M'G⊥x轴于G，如图：
∵A（﹣7，0），B（1，0），C（0，7），
∴AB＝8，AC＝7，
∵∠MAO＝∠BAC，
∴△AOM与△ABC相似，分两种情况：
①当△ABC∽AMO时，＝，
∴＝，
∴AM＝，
∵MH⊥x轴，
∴MH∥OC，
∴△AMH∽△ACO，
∴＝＝，即＝＝，
∴AH＝，MH＝，
∴OH＝OA﹣AH＝，
∴M（﹣，），
②当△ABC∽△AOM'时，
∴＝，即＝，
∴AM'＝，
同理可得＝＝，
∴＝＝，
∴AG＝，M'G＝，
∴OG＝OA﹣AG＝，
∴M'（﹣，），
综上所述，当△AOM与△ABC相似时，M坐标为（﹣，）或（﹣，）．
7．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；
（3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：把x＝﹣5代入y＝﹣x+，
解得y＝3，
∴D（﹣5，3），
把D（﹣5，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣8a，
解得a＝，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线BD与y轴交于点E，
∴E（0，），
由可得A（﹣2，0），B（4，0），C（0，），
由S△BCD＝S△ABP，
∴CE•|xB﹣xD|＝AB•|yP|，
∴（﹣）×（4+5）＝（4+2）×|yP|，
∴|yP|＝，
∴yP＝±，
∵抛物线的顶点为（1，﹣），
∴yP＝，
∴P点坐标为或；
（3）存在点F，使得2AF+DF的值最小，理由如下：
过点D作DM平行于x轴，故∠BDM＝30°，过F作FH⊥DM于H，
∴sin30°＝＝，
∴HF＝DF，
∴2AF+DF＝2（AF+DF）＝2（AF+HF）＝2AH，
当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF取最小值，
∵A（﹣2，0），
∴F（﹣2，2），
∵D（﹣5，3），
∴AH＝3，
∴2AF+DF的最小值为6．
8．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值．
（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝6，
∴OA＝2，
∵OC＝OA，
∴OC＝3，即C（0，3），
将C（0，3）代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，如图：
∵y＝﹣x2+x+3对称轴为直线x＝2，
∴P横坐标为2，即ON＝2，
∴AN＝2﹣（﹣2）＝4，
∵AP＝2PE，
∴AN＝2NH，
∴NH＝2，
∴E横坐标为4，在y＝﹣x2+x+3中令x＝4得y＝3，
∴E（4，3），
由（1）可知：OC＝3，OB＝6，
Rt△BOC中，BC＝＝3，
∴sin∠CBO＝＝＝，
∵EH⊥x轴，
∴Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，
∴FQ＝BF，
而EF+BF＝（EF+BF），
∴EF+BF最小即是EF+BF最小，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值，
∵EH＝|yE|＝3，
∴EF+BF的最小值为3，
∴EF+BF的最小值为；
（3）将线段CQ向上平移，当Q落到抛物线上的Q1处时，线段CQ与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，Q移动到Q2处，如图：
∵y＝﹣x2+x+3顶点M（2，4），
又C（0，3），
∴CM的解析式为y＝x+3，
由MQ⊥CM，设MQ解析式为y＝﹣2x+b，将M（2，4）代入得：4＝﹣2×2+b，
∴b＝8，
∴MQ解析式为y＝﹣2x+8，
在y＝﹣2x+8中令y＝0得x＝4，
∴Q（4，0），
而C（0，3），
∴CQ解析式为y＝﹣x+3，
将线段CQ向上平移t个单位长度，与C1Q1重合时，则Q1（4，t），
代入y＝﹣x2+x+3得：t＝﹣×16+4+3＝3，
将线段CQ向上平移t个单位长度，与C2Q2重合时，C2Q2解析式为y＝﹣x+3+t，
由只有一个解，可得﹣x2+x﹣t＝0的判别式Δ＝0，即（）2﹣4×（﹣）•（﹣t）＝0，
解得t＝，
∴将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，3≤t＜．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝1，点A（﹣1，0），过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得△BDP的面积最大，求出点P的坐标；
（3）点M是线段BE上的一点，求的最小值，并求出此时点M的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，抛物线的对称轴为直线x＝1，点A（﹣1，0），
∴B（3，0），
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵B（3，0），，
∴OD＝4，即D（0，4）．
∴直线BE的解析式为：y＝﹣x+4．
如图，过点P作PH⊥x轴，交AB于点H，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则H（m，﹣m+4），
∴PH＝﹣m+4﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+7，
∴S△BDP＝×PH×3
＝﹣m2+m+
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，即P（，﹣）时△BDP的面积最大．
（3）如图，过点M作MS∥y轴，过点E作ES∥x轴，过A作AT⊥ES于点T，
∵ES∥x轴，
∴∠SEM＝∠EBA，
∵tan∠EBA＝，
∴tan∠MES＝，
∴sin∠MES＝＝，
∴SM＝EM，
∴AM+EM＝AM+SM≥SA≥AT，
∴AM+EM的最小值为AT．
令x2﹣2x﹣3＝﹣x+4，
解得x＝3（舍）或x＝﹣，
∴E（﹣，），
∴AM+EM的最小值，此时M（﹣1，）．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）填空：a＝ ﹣1 ，点B的坐标是 （3，0） ；
（2）连接BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当△MNF的周长取得最大值时，求FP+PC的最小值；
（3）在（2）中，当△MNF的周长取得最大值时，FP+PC取得最小值时，如图2，把点P向下平移个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得GQ′＝OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，得a+2a+3＝0，
解得，a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标是（3，0）；
故答案为：﹣1，（3，0）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点C（0，3），点D（1，4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0），D（1，4）代入得：
，
解得，，
∴y＝﹣2x+6，
设点F（m，﹣2m+6），N（m，﹣m2+2m+3），
由图形可知，∠MNF＝∠DBE，
∵sin∠DBE＝，cs∠DBE＝，
∴MN+MF＝NF+NF＝NF，
∴C△MNF＝NF+NF
＝NF
＝×（﹣m2+2m+3+2m﹣6）
＝×（﹣m2+4m﹣3）
＝×[﹣（m﹣2）2+1]，
∴当m＝2时，C△MNF最大，此时F（2，2），HF＝2，
在x轴上取点K（﹣，0），则∠OCK＝30°，过F作CK的垂线段FG交y轴于点P，此时PG＝PC，
∴PF+PC＝FP+PG，
∴当点F，P，G三点共线时，PF+PC有最小值为FG，
而此时点P不在线段OC上，故不符合题意，
∴FP+PC的最小值为FC的长度，
∵点C（0，3），点F（2，2），
∴CF＝＝，
∴当△MNF的周长取得最大值时，FP+PC的最小值为；
（3）存在．
由（2）可知，OP＝2tan30°+2＝+2，则点P（0，+2），
将点P向下平移个单位得到点Q，
∴点Q（0，2），
在Rt△AOQ中，OA＝1，OQ＝2，则AQ＝，
取AQ的中点G，则有OG＝GQ，
∴△A′OQ′在旋转过程中，只需使AG的中点G在坐标轴上即可使得GQ′＝OG，
如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点Q'作Q'I⊥x轴，垂足为I，
∵GQ′＝OG，
∴∠GOQ'＝∠GQ'O
∵OG∥IQ，
∴∠GOQ'＝∠IQ'O，
∴∠IQ'O＝∠GQ'O，
设Q'（x，y），则有：
sin∠IQ'O＝sin∠AQ'O
＝
＝，
∴x＝，则点Q'（，），
同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点Q'（，﹣）；
当点G在y轴负半轴上时，点Q'（﹣，﹣）；
当点G在x轴负半轴上时，点Q'（﹣，）．
综上，点Q'的坐标为（，），（，﹣），（﹣，﹣），（﹣，）．
考点二 PA+QB+k•PQ
11．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G．
（1）求直线AE的解析式及△ACE的面积．
（2）如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线一点，连接PD、PE，直线l过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE面积最大时，在y轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，求的最小值．
（3）连接AC，将△AOC向右平移得△A'O'C'，当A'C'的中点恰好落在∠CAB的平分线上时，将△A'O'C'绕点O'旋转，记旋转后的三角形为△A″O′C″，在旋转过程中，直线A″C″与y轴交于点K，与直线AC交于点H，在平面中是否存在一点Q，使得以C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）作O与y轴夹角是60°角的直线l2，作PS∥y轴交AE于点S，交l2于点J，作NT⊥l2于点T，设直线FB与y轴交于点I，连接IE，IE，如图：
∵＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣（x﹣1）2+，
令y＝0得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0得y＝，
∴C（0，），
∵抛物线对称轴为直线x＝1，C、E关于对称轴对称，
∴E（2，），
设直线AE解析式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线AE的解析式为：y＝x+，
∴D（0，），
∴CD＝．
∴SSSSSSS△ACE＝CD•（xE﹣xA）＝ו[2﹣（﹣1）]＝．
（2）∵AE∥BF，B（3，0）
∴直线BF的解析式为：y＝x﹣，
∴I（0，﹣），
∴S△DEF＝S△DEI＝DI•xE＝×（+）×2＝，
设P（m，﹣m2+m+），（﹣1＜m＜2），则S（m，m+），
∴PS＝（m﹣m2+m+）﹣（m+）＝﹣m2+m+）＝﹣（m﹣）2+，
∴S△PDE＝PS•（xE﹣xD）＝×[﹣（m﹣）2+]×2＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，S△PDE有最大值，S四边形PDFE取得最大值，此时P（，），
∵NM⊥MG，MG⊥OG，OG⊥ON，
∴∠NMG＝∠MGO＝∠GON＝90°，
∴四边形NMGO为矩形，
∴NO＝MG，
∴PN+NM+MG＝PN+1+NO＝PN+1+NO•sin∠NOT＝PN+1+NT≥1+PT，
∴当P，N，T三点共线且PT⊥l2时，PN+NM+MG取得最小值，
∵直线l2过原点且∠NOT＝60°，
∴直线l2的解析式为：y＝﹣x，
∴J（，﹣），
∴PJ＝+＝，
∴PN+NM+MG的最小值为1+•sin∠PJT＝1+＝；
（3）存在，理由如下：
设A′C′的中点为L，AL平分∠OAC，作LX⊥OB于点X，如图2：
∵OC＝，OA＝1，
∴tan∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝∠O′A′C′＝60°，
∵AL平分∠OAC，
∴∠A′AL＝∠A′LA＝30°，
∴A′A＝A′L，
∵L为A′C′的中点，
∴LX＝C′O′＝，
∴A′L＝＝1，
∴A′A＝A′L＝1，即O，A′重合，O′（1，0）
①当HC＝HK时，设直线A′′C′′与x轴交于点Y，如图3：
将△HCK沿y轴翻折可得菱形CHKQ，
∴∠HKC＝∠HCK＝∠ACO＝30°，
∴∠O′YA′′＝∠O′A′′Y＝60°，
∴O′Y＝O′A′′＝1，
∴Y（2，0），
∵kA′′C′′＝﹣，
∴由待定系数法直线A′′C′′的解析式为：y＝﹣x+2，
∵A（﹣1，0），C（0，），
∴直线AC的解析式为：y＝x+，
令﹣x+2＝x+，
解得x＝，
∴H（，），
∴Q（﹣，）．
如图4：
同理可得：∠HKC＝∠HCK＝30°，
∴∠YHA＝∠YAH＝60°，
∴∠O′YA′′＝∠O′A′′Y＝60°，kA′′C′′＝﹣，
∴O′Y＝O′A′′＝O′O＝1，
∴O，K，Y重合，
∴直线A′′C′′的解析式为：y＝﹣x，
令x+＝﹣x，
解得x＝﹣．
∴H（﹣，），
∴Q（，）．
②当KH＝KC时，作QZ⊥OC于点Z，如图5：
∵∠KHC＝∠KCH＝30°，∠CAY＝60°，
∴∠CKY＝60°，∠O′YC′′＝∠O′C′′Y＝30°，
∴kA′′C′′＝，O′Y＝O′C′′＝，
∴Y（1+，0），
∴由待定系数法得直线A′′C′′的解析式为：y＝x﹣﹣1，
∴K（0，﹣﹣1），
在菱形CKHQ中，CQ＝CK＝++1＝，
∵∠QCZ＝2∠KCH＝60°，
∴CZ＝CQ•cs∠QCZ＝，QZ＝CQ•sin∠QCZ＝，
∴OZ＝OC﹣CZ＝﹣＝，
∴Q（﹣，）．
如图6：
∵∠KHC＝∠KCH＝30°，∠CAO＝60°
∴∠C′′YO′＝∠AYH＝∠O′C′′A′′＝30°
∴O′Y＝O′C′′＝，kAkA′′C′′＝，
∴Y（1﹣，0），
∴由待定系数法得直线A′′C′′的解析式为：y＝x﹣+1，
∴K（0，﹣+1），
在菱形CKHQ中，CQ＝CK＝+﹣1＝，
∴CZ＝CQ•cs∠QCZ＝，QZ＝CQ•sin∠QCZ＝，
∴OZ＝OC﹣CZ＝﹣＝，
∴Q（，）．
综上所述，点Q的坐标为：（﹣，）或（，）或Q（﹣，）或（，）．
12．如图，抛物线的解析式为y＝﹣x+5，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线对称轴与直线BC交于点D．
（1）E点是线段BC上方抛物线上一点，过点E作直线EF平行于y轴，交BC于点F，若线段CD长度保持不变，沿直线BC移动得到C'D'，当线段EF最大时，求EC'+C'D'+D'B的最小值；
（2）Q是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点P是△APQ为等边三角形，若存在，请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由．
【解答】解：（1）因为y＝﹣x2+x+5＝﹣（x﹣5）（x+），
∴A（﹣，0），B（5，0），C（0，5），抛物线对称轴为x＝＝2，
由B、C坐标可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
令x＝2，则y＝﹣×2+5＝3，
∴D（2，3），
∴CD＝C'D'＝4．
设E（m，﹣m2+m+5），则F（m，﹣m+5），
∴EF＝yE﹣yF＝﹣m2+m+5+m﹣5＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，EF取得最大值，此时E（，）．
如图1，作平行四边形EC'D'E'，则EC'＝E'D'，E'（，）．
作D'G⊥OB于G，E'H⊥OB于H．
∵tan∠CBO＝＝＝，所以∠CBO＝30°，
∴D'G＝D'B，
∴EC'+C'D'+D'B＝C'D'+E'D'+D'G≥C'D'+E'H，
当且仅当E'、D'、G三点共线时，
EC'+C'D'+D'B取得最小值C'D'+E'H＝4+＝．
（2）①如图2，△APQ是等边三角形，此时Q与B重合，
∴等边三角形的边长为AQ＝AB＝6．
②如图3，△APQ是等边三角形，此时Q与B重合，P在x轴下方．
∴等边三角形的边长为AQ＝AB＝6．
③如图4，△APQ是等边三角形，此时Q与C重合，P在x轴上方．
∴等边三角形的边长为AQ＝AC＝2．
④如图5，△APQ是等边三角形，此时Q在第三象限，P在x轴下方．
∵PA＝PB＝PQ，所以A、Q、B三点在以P为圆心PA为半径为圆周上，
∴∠ABQ＝∠APQ＝30°，
∴直线BQ的解析式为y＝x﹣5，
联立方程组，
解得或（舍），
∴Q＝（﹣2，﹣7），
∴AQ＝2，即等边△APQ的边长为2√．
综上所述，满足要求的等边三角形的边长可以是：6、2、2．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E．
（1）连接BD，点P是线段BD上一动点（点P不与端点B、D重合），过点P作PQ⊥BD，交抛物线于点Q（点Q在对称轴的右侧），过点Q作QF⊥x轴，垂足为F，交BD于G，点M是线段OC上一动点，当△PQG周长取得最大时，求FG+GM+MC的最小值；
（2）在（1）中，当△PQG周长取得最大，FG+GM+MC取得最小值时，把点M向下平移个单位得到点M'，连接AM'，把△AOM'绕点O逆时针旋转一定的度α（0＜α＜360°），得到△A'OM''，其中边A'M''交坐标轴于点I．在旋转过程中，是否存在点I，使得∠M''＝∠M''OI？若存在，请直接写出所有满足条件的点M''的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由已知可求A（﹣2，0），B（4，0），C（0，），D（1，3），
∵PQ⊥BD，QF⊥x轴，
∴∠PQG＝∠DBO，
在Rt△DBE中，∠DBE＝60°，
∴∠PQG＝60°，
∴GP＝PQ，QG＝2PQ，
∴△PQG周长＝PQ+PQ+2PQ＝3PQ+PQ＝（3+）PQ，
∴当PQ最大时，△PQG周长最大；
设Q（m，﹣m2+m+），
∵BD的直线解析式为y＝﹣x+4，
∴PQ的直线解析式为y＝x﹣m2+m+，
∴P（m2﹣m+1，﹣m2+m+3），
∴PQ＝（﹣m2+5m﹣4），
∴当m＝时，PQ有最大值
∴F（，0），G（，），
∴FG＝，
过点C作与x轴为60°的直线，则该直线解析式为y＝x+，
过点G作该直线的垂线与y轴交于点M，与该直线交于点T，
∵∠TCM＝30°，
∴TM＝CM，
∴FG+GM+MC＝FG+GM+TM＝FG+TG，
∴FG+GM+MC的最小值为FG+TG；
直线GM的解析式为y＝﹣x+，
∴T（﹣，），
∴GT＝，
∴FG+TG＝+＝，
∴FG+GM+MC的最小值为；
（2）∵M（0，），
∴M'（0，2），
∵tan∠AM'O＝，
∴∠AM'O＝∠M''＝30°，
①当∠α＝30°时，∠M''＝∠M''OI＝30°，
此时A'M''∥OM'，I不存在；
②当∠α＝60°时，∠M''＝∠M''OI＝30°，
如图1：过点M''作x轴垂线M''S，
∵∠OA'A＝60°，OA＝OA'，
∴∠M''AS＝60°，AA'＝2，
∵AM'＝A'M''＝4，
∴M''A＝2，
∴AS＝1，M''S＝，
∴M''（﹣3，）；
③当∠α＝240°时，∠M''＝∠M''OI＝30°，
如图2：过点M''作x轴垂线M''R，
∵∠IOM''＝120°，
∴∠ROM''＝30°，
∵OM'＝OM''＝2，
∴RM''＝，OR＝3，
∴M''（3，﹣）；
④当∠α＝150°时，∠M''＝∠M''OI＝30°，
如图3：过点M''作M''G⊥x轴交于点G，
在△OGM''中，M''O＝2，∠GOM''＝60°，
∴OG＝，GM''＝3，
∴M''（﹣，﹣3）；
⑤当∠α＝300°时，∠M''＝∠M''OI＝30°，
如图4：过点M''作M''H⊥x轴交于点H，
在△OHM''中，M''O＝2，∠M''OH＝60°，
∴M''H＝3，OH＝
∴M''（，3）；
综上所述：满足条件的M''点为（﹣3，）或（3，﹣）或（，3）或（﹣，﹣3）．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）如图1，P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q．在抛物线的对称轴上有一动点M，在x轴上有一动点N，当6PQ﹣CQ的值最大时，求PM+MN+NB的最小值；
（2）如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC'，再将△A′BC′向右平移1个单位得到△A“B′C“，那么在抛物线的对称轴DM上，是否存在点T，使得△A′B′T为等腰三角形？若存在，求出点T到x轴的距离；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2+x+中，令x＝0，得y＝，∴C（0，），
令y＝0，得0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），BC＝2，
设直线BC解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴直线BC解析式为y＝x+，
设P（m，m2+m+），则Q（m，m+），PQ＝m2+m，CQ＝m
∴6PQ﹣CQ＝6（m2+m）﹣m＝﹣2（m﹣）2+，
∵﹣2＜0，∴当m＝时，6PQ﹣CQ的值最大，此时，P（，），
由y＝﹣x2+x+＝（x﹣1）2+，得抛物线对称轴为：x＝1，
作点P关于对称轴x＝1的对称点P′（，），在y轴负半轴上取点K（0，﹣），连接BK交对称轴于S，则BK＝
过P′作P′T⊥BK于T，作P′W∥y轴交BK于点W，
在△BNT中，＝tan∠OBK＝，∴NT＝NB，
∴线段P′T长度为PM+MN+NB最小值，
∵B（3，0），K（0，﹣），∴直线BK解析式为y＝x，
∴W（，），P′W＝﹣（）＝，
∵P′W∥y轴，∴∠P′WT＝∠BKO
∵∠P′TW＝∠BOK＝90°
∴△P′WT∽△BKO
∴＝，P′T＝×＝，
∴PM+MN+NB最小值＝．
（2）存在．
∵△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC'，再将△A′BC′向右平移1个单位得到△A“B′C“，
∴A′（3，﹣4），B′（4，0），∵点T在抛物线对称轴直线x＝1上，∴设T（1，t）
∵△A′B′T为等腰三角形，∴分三种情形：
①A′T＝B′T，（3﹣1）2+（﹣4﹣t）2＝（4﹣1）2+（0﹣t）2，解得：t＝，
∴此时T到x轴的距离为；
②A′T＝A′B′，（3﹣1）2+（﹣4﹣t）2＝（3﹣4）2+（﹣4﹣0）2，解得：t＝﹣4+或﹣4﹣，
∴此时T到x轴的距离为4﹣或4+；
③B′T＝A′B′，（4﹣1）2+（0﹣t）2＝（3﹣4）2+（﹣4﹣0）2，解得：t＝2或﹣2，
∴此时T到x轴的距离为2；
综上所述，T到x轴的距离为或4﹣或4+或2．
15．如图抛物线y＝﹣x2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．C，D两点关于抛物线对称轴对称，连接BD交y轴于点E，抛物线对称轴交x轴于点F．
（1）点P为线段BD上方抛物线上的一点，连接PD，PE．点M是y轴上一点，过点M作MN⊥y轴交抛物线对称轴于点N．当△PDE面积最大时，求PM+MN+NF的最小值；
（2）如图2，在（1）中PM+MN+NF取得最小值时，将△PME绕点P顺时针旋转120°后得到△PM′E′，点G是MN的中点，连接M′G交抛物线的对称轴于点H，过点H作直线l∥PM，点R是直线l上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以点M′，点G，点R，点S为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2中，令x＝0，得：y＝，令y＝0，得：x1＝﹣3，x2＝1
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，）
∵y＝﹣x2＝+，∴抛物线对称轴为：直线x＝﹣1
∴D（﹣2，），
设直线BD解析式为y＝kx+b，将B（1，0），D（﹣2，）代入得，解得：
∴直线BD解析式为y＝x+
∴E（0，），
过点P作PG⊥x轴于G交BD于H，作PQ⊥BD于Q，连接CD，设P（m，+），H（m，）
PH＝+
∵PG∥y轴
∴∠PHD＝∠DEC，
∵C、D关于直线x＝﹣1对称，
∴∠DCE＝∠PQE＝90°
∴△DCE∽△EQP
∴＝，即：PQ•DE＝DC•PH，
∴S△PDE＝PQ•DE＝DC•PH＝×2（+）
＝+
＝（m+）2+，
∵＜0
∴当m＝﹣时，S△PDE的最大值＝，此时，P（﹣，），
过点F作∠SPN＝60°，过N作∠FNS＝30°，∴∠FSN＝90°，
∴NS＝NF•cs∠FNS＝NF•cs30°＝NF，过M作MK∥NS，且MK＝NS，
当P、M、K三点共线时，PM+MK最小，
∴∠PMC＝∠KME＝∠FNS＝30°
∴PM＝2PL＝1，LM＝，MK＝NS＝NF＝（﹣）＝，MN＝1
∴PM+MN+NF的最小值＝1+1+＝，
（2）如图2，由（1）知：P（﹣，），M（0，），可求得直线PM解析式为：y＝x+，
∵∠PML＝30°，∠PLM＝90°，
∴∠LPM＝60°
∵∠MPM′＝120°，PM′＝PM＝1
∴M′、P、L三点共线，
∴M′（，），
∵点G是MN的中点，
∴G（，），待定系数法可求得直线M′G的解析式为：y＝x+，令x＝﹣1，得y＝
∴H（﹣1，），
∵直线l∥PM且过点H，
∴直线l的解析式为：y＝x，
设R（t，t），
∵以点M′，点G，点R，点S为顶点的四边形是矩形
∴可以分两种情形：M′G为边或M′G为对角线
①M′G为边，∠RM′G＝90°时
∴M′R2+M′H2＝RH2，即：+++＝（t+1）2+
解得：t＝，
∴R（﹣，），
由平移可得S1（﹣，），
②M′G为边，∠M′GR＝90°时
∴GR2+HG2＝HR2，即：+++＝（t+1）2+，
解得：t＝，
∴R（，），
由平移可得S2（，）
③M′G为对角线，∠M′RG＝90°
∴M′R2+RG2＝M′G2，即：+++＝+，无解．
综上所述，点S的坐标为：S1（﹣，），S2（，）．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）连接BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；
（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C
∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）
∵点D为抛物线的顶点，且＝＝1，＝＝﹣4
∴点D的坐标为D（1，﹣4）
∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，
由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）
∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3
∴当m＝＝2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，
此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）
在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，
∴sin∠OCK＝，直线KC的解析式为：y＝，且点F（2，﹣2），
∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：y＝
∴点J（，）
∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且|FJ|＝
∴|HF+FP+PC|min＝；
（2）由（1）知，点P（0，），
∵把点P向上平移个单位得到点Q
∴点Q（0，﹣2）
∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，∠AQO＝∠GOQ
把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G
①如图2
G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'
则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，
∵sin∠OAQ＝＝＝
∴sin∠IOQ'＝＝＝，解得：|IO′|＝
∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝
∴点Q'的坐标为Q'（，﹣）；
②如图3，
当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（，）
③如图4
当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣，）
④如图5
当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣，﹣）．
综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（，﹣），（，），（﹣，），（﹣，﹣）．
17．如图1，抛物线y＝﹣x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线AE：y＝x﹣与抛物线相交于另一点E，点D为抛物线的顶点．
（1）求直线BC的解析式及点E的坐标；
（2）如图2，直线AE上方的抛物线上有一点P，过点P作PF⊥BC于点F，过点P作平行于y轴的直线交直线BC于点G，当△PFG周长最大时，在y轴上找一点M，在AE上找一点N，使得PM+MN+NE值最小，请求出此时N点的坐标及PM+MN+NE的最小值；
（3）在第（2）问的条件下，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点N，E，R，S为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当y＝0时，，解得x1＝1，x2＝4
所以点A（1，0），B（4，0）
设BC直线解析式为y＝kx+b，将B、C坐标代入得
，解得
所以直线BC的解析式为
联立方程，解得，
∴点E坐标为（）
（2）设P（），G（）
PG＝（）﹣（）＝﹣
当△PFG周长最大时，线段PG最长
＜0，所以PG有最大值
当m＝2时，PG最大，P点坐标为（2，）
如图，作P点关于y轴的对称点P'，在AE下方作∠AEQ＝30°，过点p'作P'Q⊥EQ，垂足为Q，P'Q交x轴于S，交AE于N，
作P'T⊥x轴，垂足为T，ER⊥x轴，垂足为R
则P'Q＝PM+MN+NE
由题意可知，P'（﹣2，），∠P'ST＝30°
在Rt△P'ST中，tan∠p'ST＝＝，
∴TS＝3
∴S点坐标为（1，0）
设P'S直线解析式为y＝kx+b
将P'、S坐标代入得，解得
所以P'S直线解析式y＝+
在Rt△EHR中
tan∠EHR＝＝
∴HR＝
∴H（，0）
∴SH＝
∴SQ＝
∵P'S＝
∴P'Q＝
所以PM+MN+NE的最小值为．
点N坐标为（1，0）
（3）如图所示，设R1的纵坐标长度为m
当NE为矩形对角线时
可证△NA1R1∽△R1ZE，
∴＝
∴＝
解得m1＝﹣，m2＝﹣﹣（舍去）
∴R1的坐标为（，﹣+）
可证△NB1S1≌△EZR1
∴S1坐标为（，+）
同理S2坐标为（，﹣）
当NE为矩形的一边时，如图
可证△S3HN≌△R3FE≌△R3GE
在Rt△R3GE中，GE＝，由三角函数可得EF＝
∴HN＝，S3H＝
∴S3坐标为（，）
同理可得S4坐标为（，﹣）