专题12 二次函数-阿氏圆求最小值（教师版）-拔尖2023中考数学压轴题（全国通用）

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必备知识点
点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点 A、B，则所有满 足 PA=k·PB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知 r=k·OB，
连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
如图2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k·r，则可说 明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与 A 与 C 为定点,P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时， “PA+PC”值最小。如图3所示：
【破解策略详细步骤解析】
例题演练
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n过点A，B，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
设E（m，2m+4），
∴G（m，﹣m2﹣2m+4），
∵四边形GEOB是平行四边形，
∴EG＝OB＝4，
∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，
∴m＝﹣2
∴G（﹣2，4）．
（3）①如图1，
由（2）知，直线AB的解析式为y＝2x+4，
∴设E（a，2a+4），
∵直线AC：y＝﹣x﹣6，
∴F（a，﹣a﹣6），
设H（0，p），
∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，
∵直线AB的解析式为y＝2x+4，直线AC：y＝﹣x﹣6，
∴AB⊥AC，
∴EF为对角线，
∴EF与AH互相平分，
∴（﹣4+0）＝（a+a），（﹣4+p）＝（2a+4﹣a﹣6），
∴a＝﹣2，P＝﹣1，
∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；
②如图2，
由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH＝，AE＝2，
设AE交⊙E于G，取EG的中点P，
∴PE＝，
连接PC交⊙E于M，连接EM，
∴EM＝EH＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝，∵∠PEM＝∠MEA，
∴△PEM∽△MEA，
∴，
∴PM＝AM，
∴AM+CM的最小值＝PC，
设点P（p，2p+4），
∵E（﹣2，0），
∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，
∵PE＝，
∴5（p+2）2＝，
∴p＝﹣或p＝﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），
∴P（﹣，﹣1），
∵C（0，﹣6），
∴PC＝＝，
即：AM+CM的最小值为 ．
2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，﹣4），B（0，4），直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；
（2）点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此时点E，H的坐标；
（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上以动点，求AM+CM的最小值．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+4；
（2）如图，当点E运动到（﹣2，0）时，四边形EAFH是矩形，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将点A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得：
，
解得：，
∴线AB的解析式为y＝2x+4，
∵直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，
∴AB⊥AC，
∴当四边形EAFH是平行四边形时，四边形EAFH是矩形，此时，EF与AH互相平分，
设E（m，2m+4），H（0，t）则F（m，﹣m﹣6），
∵A（﹣4，﹣4），
∴，
解得：
∴E（﹣2，0），H（0，﹣1）；
（3）如图，
由（2）可知E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH＝，AE＝2，
设AE交⊙E于点G，取GE的中点P，则PE＝，
设P（k，2k+4），
∵E（﹣2，0），
∴PE2＝（k+2）2+（2k+4）2＝（）2，
∴k＝﹣或k＝﹣（舍去），
∴P（，﹣1），
∵C（0，﹣6），
∴PC＝＝，
连接PC交⊙E于点M，连接EM，则EM＝EH＝，
∴＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
∵∠PEM＝∠MEA，
∴△PEM∽△MEA，
∴＝＝，
∴PM＝AM，
∴AM+CM＝PM+CM，
∴当P、M、C三点共线时，AM+CM取得最小值即PC的长，
∴AM+CM最小值为．
3．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段AB绕点A逆时针旋转120°，点B刚好与点C重合，点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为⊙B上的一个动点，连接AQ，CQ，求AQ+CQ的最小值．
【解答】解：（1）线段AB绕点A逆时针旋转120°，点B刚好与点C重合，
∴∠CAB＝120°，AB＝AC，
∴∠OAC＝60°，
∴OA＝AC•cs60°＝AC，OC＝AC•sin60°＝AC，
∵点B的坐标为（3，0），
∴OB＝3即OA+AC＝3，
∴OA＝1，AC＝2，OC＝，
∴A（1，0），C（0，），
又B（3，0），
将A、B、C坐标代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x+；
（2）抛物线y＝x2﹣x+的对称轴是直线x＝2，抛物线的对称轴上存在一点P，使△ACP为直角三角形，设P（2，m），
分三种情况：
①若∠PCA＝90°，如答图1：
过P作PD⊥y轴于D，
∵A（1，0），C（0，），P（2，m），
∴OA＝1，OC＝，CD＝m﹣，PD＝2，
∵∠DPC＝90°﹣∠DCP＝∠AOC，∠PDC＝∠AOC＝90°，
∴△PDC∽△COA，
∴即，
解得m＝，
∴P坐标为（2，），
②若∠CAP＝90°，对称轴与x轴交于E，如答图2：
∵A（1，0），C（0，），P（2，m），
∴OA＝1，OC＝，PE＝m，AE＝1，
同理可知△AOC∽△PEA，
∴即，
解得m＝，
∴P（2，），
③若∠APC＝90°，
∵以AC为直径的圆与对称轴无交点，
∴点P不存在，
综上所述，△ACP为直角三角形，P坐标为（2，）或（2，）；
（3）在AB上取BM，使BM＝BQ，连接CM，如答图3：
∵A（1，0），B（3，0），
∴AB＝2，
以点B为圆心，以1为半径画圆，
∴BQ＝1，
∴＝，且∠QBM＝∠ABQ，
∴△ABQ∽△QBM，
∴，即QM＝AQ，
∴AQ+CQ的最小即是QM+CQ最小，
∴当C、Q、M共线时，AQ+CQ的最小为CM的长度，
此时OM＝，而OC＝，
∴CM＝＝，
∴AQ+CQ的最小值为．
4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．
（1）如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作⊙B．点E为⊙B上的动点，连接A，DE，求DE+AE的最小值．
（2）如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作⊙H，点Q是⊙H上一动点，连接OQ，AQ，求OQ+AQ的最小值；
（3）如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接CD，DP，PE，求PD﹣PE的最大值．
【解答】解：（1）如图1，
连接BE，在BA上截取BI＝，连接IE，DI，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），抛物线的对称轴为直线：x＝1，
2+2x+3＝0得，
x1＝﹣1，x2＝3，
∴OB＝1，OA＝3，
∴AB＝OA+OB＝4，
∵＝，∠EBI＝∠ABE，
∴△BIE∽△BEA，
∴，
∴IE＝AE，
∴DE+AE＝DE+IE≥DI，
∴当点D、E、I共线时，DE+IE最小，最小值是DI的长，
∵D（1，4），I（，0），
∴DI＝＝，
∴DE+AE的最小值为：；
（2）如图2，
连接OH，QH，QI，在OH上截取HI＝，
∵A（3，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式是：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴H（1，2），
∴OH＝，
∴，
∵∠QHI＝∠OHQ，
∴△HIQ∽△HQO，
∴，
∴IQ＝，
∴+AQ＝IQ+AQ≥AI，
∴当A、Q（图中Q′）共线时，IQ+AQ＝AI，
作IE⊥OA于E，HF⊥OA于F，
∴IE∥HF，
∴△OEI∽△OHF，
∴，
∴＝，
∴IE＝，OE＝，
∴AE＝OA﹣OE＝3﹣＝，
∴AI＝＝＝，
∴的最小值为：，
∵OQ+AQ＝（+AQ），
∴OQ+AQ的最小值为：×＝；
（3）如图3，
连接OP，在OE上截取OI＝，
当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴D（2，3），
，∠POI＝∠EOP，
∴△POI∽△EOP，
∴，
∴PI＝，
∵PD﹣PI≤DI，
∴当D，P（图中P′）、I共线时，PD﹣PI最小，
∵DI＝＝，
∴PD﹣PE的最大值为：．
5．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．
（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；
（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′
（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值．
【解答】解：（1）∵D（m，m），OD＝m，四边形CODM为菱形，
∴OD＝OC＝2＝m，
∴m＝，
∴D（）；
（2）∵y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点，
∴联立，
解得，，
∵点A在点B的左侧，
∴A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AB＝＝3，
∵直线OD的解析式为y＝x，直线AB的解析式为y＝x+2，
∴AB∥OD，两直线AB、OD之间距离h＝2×＝，
∴S△APB＝AB•h＝×3×＝3；
（3）∵A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AM＝1×＝，BM＝2×＝2，
由M点坐标（m，m+2），D点坐标（m，m）可知以MC为半径的圆的半径为 （m+2）﹣m＝2，
取MB的中点N，连接QB、QN、QB′，
∴MN＝BM＝，
∵，∠QMN＝∠BMQ，
∴△MNQ∽△MQB，
∴，
∴，
由三角形三边关系，当Q、N、B′三点共线时QB′+QB最小，
∵直线AB的解析式为y＝x+2，
∴直线AB与对称轴夹角为45°，
∵点B、B′关于对称轴对称，
∴∠BMB′＝90°，
由勾股定理得，QB′+QB最小值为B'N＝＝＝．
即QB'+QB的最小值是．
6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为C，
（1）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）如图，当m＝0时，直线y＝x+2与抛物线交于A、B两点，点A，点B分别在抛物线的对称轴左右两侧；
①抛物线的对称轴与直线AB交于点M，点G（1，3），在直线AB上，作B点关于直线MC的对称点B′，以M为圆心，MC为半径作圆，动点Q在圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律；
②直接写出B′Q+QB的最小值．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，
∴顶点坐标为C（m，m）；
（2）①的比值不变，理由如下：
∵y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点，且m＝0，
∴令y＝x+2＝x2，
解得：x＝﹣1或2，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，1），B（2，4），
∴AB＝＝3，
∵直线AB的解析式为y＝x+2，
∴M（0，2），
∴AM＝＝，
∴BM＝AB﹣AM＝2，
∵M（0，2），C（0，0）
∴⊙M的半径为2，
连接QM，
∴QM＝2，
∵G（1，3），
∴G为BM的中点，且MG＝BM＝＝，
∴＝，＝＝，
∴△MGQ∽△MQB，
∴＝＝，
∴QG＝QB，
∴；
②由三角形三边关系，当Q、N、B′三点共线时QB′+QB最小，
∵直线AB的解析式为y＝x+2，
∴直线AB与对称轴夹角为45°，
∵点B、B′关于对称轴对称，
∴∠BMB′＝90°，
由勾股定理得，QB′+QB最小值＝＝＝．
7．如图，已知点A（﹣4，0），点B（﹣2，﹣1），直线y＝2x+b过点B，交y轴于点C，抛物线y＝ax2+x+c经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ACD＝，求点D的坐标；
（3）平面内任意一点P，与点O距离始终为2，连接PA，PC．直接写出PA+PC的最小值．
【解答】解：（1）由题意得，
﹣1＝2×（﹣2）+b，
∴b＝3，
∴直线AC的解析式是：y＝2x+3，
∴C（0，3），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式是：y＝+；
（2）如图1，
作AF⊥CD于F，作EF⊥y轴于F，作AG⊥EF于G，
∵tan∠ACO＝，tan∠ACD＝，
∴∠ACD＝∠ACO，
∴CE＝OC＝3，AE＝OB＝3，
可得：△EFC∽△AGE，
∴＝＝，
设CF＝x，则AG＝OF＝3+x，
∴EF＝＝（x+3），
在Rt△EFC中，由勾股定理得，
x2+[]2＝32，
∴x1＝，x2＝﹣3（舍去），
∴EF＝，OF＝，
∴E（﹣，），
∴直线CD的解析式是：y＝﹣x+3，
由＝﹣得，
x3＝0（舍去），x4＝﹣，
当x＝﹣时，y＝﹣×（﹣）+3＝，
∴D（﹣，）；
（3）如2，
∵点O距离始终为2，
∴点P在以O为圆心，2为半径的圆O上运动，
在OA上取OI＝1，
∵∠POI＝∠AOP，＝，
∴△POI∽△AOP，
∴，
∴PI＝AP，
∴PA+PC＝PI+PC，
∴当C、P、I共线时，PI+PC最小，此时P在线段AI与⊙O的交点P′处，
PI+PC＝CI，
在Rt△COI中，
CI＝＝＝，
∴PA+PC的最小值是．
8．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；
（3）在（2）的结论下，连接CM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（4）如图2，点N的坐标是（1，0），将线段ON绕点O逆时针旋转得到ON′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接N′A、N′B，求N′A+N′B的最小值．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，3）．
∵抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点，
∴，
解得．
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+3．
（2）∵A（4，0），B（0，3）．
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5．
∵ED⊥AB，
∴∠EDM＝∠AOB＝90°，
∵∠DEM+∠EMD＝∠FMA+∠BAO＝90°，∠FMA＝∠EMD，
∴∠DEM＝∠BAO，
∴△AOB∽△EDM，
∴AO：OB：AB＝ED：DM：EM＝4：3：5，
设E的横坐标为t，则E（t，﹣t2+t+3），
∴M（t，﹣t+3），
∴EM＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t．
∴△DEM的周长为：ED+DM+EM＝EM＝﹣（t﹣2）2+，
∴当t＝2时，△DEM的周长的最大值为．
（3）存在以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由y＝﹣x2+x+3可知，C（﹣2，0），点Q的横坐标为1，
由（2）知，M（2，）．
①当CM为边，且点P在点Q的左侧时，有xP﹣xQ＝xC﹣xM，
∴xP﹣1＝﹣2﹣2，即xP＝﹣3，
∴P（﹣3，﹣）．
当点P在点Q右侧时，xQ﹣xP＝xC﹣xM，
∴﹣1﹣xP＝﹣2﹣2，即xP＝5，
∴P（5，﹣）；
②当AM为对角线时，xP+xQ＝xC+xM，
∴xP+1＝﹣2+2，即xP＝﹣1，
∴P（﹣1，）．
综上，当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为（﹣3，﹣）或（5，﹣）或（﹣1，）．
（4）如图，在y轴的正半轴取OG，使得OG＝，连接GN′，
∵OG•OB＝1，ON2＝1，
∴OG•OB＝ON2，
∵∠GON′＝∠N′OB，
∴△OBN′∽△ON′G，
∴BN′：N′G＝OB：ON′＝3，
∴N′G＝N′B，
∴N′A+N′B＝N′C+N′G，
∴当A，N′，G三点共线时，N'A+N'B的值最小．
此时AG＝＝．
∴N'A+N'B的最小值为．
9．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C上的一个动点，求BQ+FQ的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4．
（2）由（1）知抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4．
令y＝0，解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
设直线BC的解析式为：y＝kx+n，
∴，解得．
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣4．
设点P的横坐标为m，则P（m，m2﹣3m﹣4），过点P作PM∥y轴交BC于点M，
∴M（m，m﹣4），
∴PM＝（m﹣4）﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m．
∴S四边形ABPC＝S△ABC+S△BCP
＝×（4+1）×4+（m2﹣4m）×4
＝﹣2m2+8m+10．
∵四边形ABPC的面积为16，
∴﹣2m2+8m+10＝16，
解得m＝1或m＝3，
∴P（1，﹣6）或（3，﹣4）．
（3）如图，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，
∴BC＝4，∠OBC＝45°，
∵BF⊥BC，
∴∠FBO＝45°，
∵抛物线的对称轴是直线x＝，
∴点F的纵坐标为：4﹣＝，
∴F（，）．
在CB上取CE＝，过点E作EG⊥OC，交y轴于点G，交抛物线对称轴于点H，
∴CG＝EG＝，EH＝﹣＝1．
∴FH＝6，
∵CQ＝2，CE＝，BC＝4，
∴＝，＝，∠QCE＝∠BCQ，
∴△CQE∽△CBQ，
∴＝＝，
∴QE＝BQ，
∴BQ+FQ＝QE+FQ≥FE，
∴当F，Q，E三点共线时，取得最小值，最小值为FE的长，
∵EH⊥FH，
∴EF＝．
则BQ+FQ的最小值为：．
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；
（3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值．
【解答】解：（1）由题意，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x；
（2）过点A作直线AF⊥x轴于点F，
由（1）得y＝（x﹣4）2﹣4，
∴抛物线的顶点A（4，﹣4），
①AM＝BM，
∵B（8，0），
∴BF＝4，
∵∠AFB＝90°，AF＝BF＝4，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴M在点F处，△ABM是等腰直角三角形，此时M为（4，0），
②AB＝AM，
由①得△ABF是等腰直角三角形，BF＝4，
∴AB＝＝＝4，
∴M为（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4），
③AB＝BM，
∵AB＝BM，BF⊥AM，
∴MF＝AF，
∴M为（4，4），
综上所述，M为（4，0），（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4）或（4，4）；
（3）如图2，以O为圆心，为半径作圆，则点P在圆周上，
在OA上取点D，使OD＝，连接PD，
则在△APO和△PDO中，
满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，
∴△APO∽△PDO，
∴＝＝＝2，
从而得：PD＝AP，
∴AP+PB＝PD+PB，
∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，
过点D作DG⊥OB于点G，由于OD＝，且△ABO为等腰直角三角形，
则有DG＝1，∠DOG＝45°，
∴AP+PB的最小值为：AP+PB＝DB＝＝＝5．