2024年山西省晋中市榆次第一中学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷三个大题，满分120分，考试时间120分钟．答案全部在答题卡上完成．
2．答卷前将装订线内的项目填写清楚．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
2. 我国的茶具种类繁多、造型优美，既有实用价值，又富艺术之美．如图为小林家使用的茶壶从正面抽象出的平面图形，该茶壶的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列调查中，最适合采用全面调查的为（ ）
A. 调查全市初中生的视力情况
B. 调查国庆期间全国观众最喜爱的电影
C. 调查神舟十七号载人飞船各零部件情况
D. 调查一批电脑的使用寿命
4. 第19届杭州亚运会赛会志愿者被称为“小青荷”，“青荷”谐音“亲和”，彰显着志愿者的青春气息和亲和力．截至月日，本届亚运会“小青荷”累计服务时长万小时！数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 我国对勾股定理的研究有着悠久历史，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”，且被记载于一本著名的数学著作，这部著作为（ ）
A. 《九章算术》B. 《孙子算经》C. 《海岛算经》D. 《周髀算经》
6. 若反比例函数的图像经过三点，且，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在菱形中，连接，以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点E．再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径在上方画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，则的度数为（ ）

A. 30°B. C. D. 15°
8. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小蕊一家从A地自驾到风景区C游玩，导航显示车辆应先沿北偏东方向行驶6km至B地，再沿南偏东方向行驶一段距离后到达风景区C．若风景区C在A地的正东方向，则A，C两地的距离约为（ ）（结果精确到0.1km；参考数据：）
A. 4.1kmB. 5.2kmC. 5.9kmD. 7.9km
9. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（ ）
A. 1B. C. D.
10. 如图，在中，，先以点C为圆心画弧，使其恰好与边相切于点E，再以边为直径，在BC边的上方作半圆且恰好经过点E．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共 90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：_____________ ．
12. 不等式的解集为_______．
13. 某电器专卖店为调动销售员的积极性，制定奖励标准：凡超过销售目标的店员将获得奖金．该店统计了所有销售员上月的销售额，并整理数据如下表：
若店长想让一半左右的销售员获得奖金，则根据上月的销售额可将本月的销售目标定为______万元比较合适．
14. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点B顺时针旋转得到．若则点A的对应点的坐标为________．
15. 如图，在中，，D是边的中点，连接平分分别交，于点F，E，则线段的长为_______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：
（2）解方程：
17. 如图，内接于，且为的直径，过点C作的切线，交的延长线于点D．已知求的长．
18. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，其中点的坐标为．
（1）求反比例函数表达式和点的坐标．
（2）当时，请直接写出的取值范围．
（3）过点作轴于点，连接．求的面积．
19. 下面是小萱同学的数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务．
筝形
在学习完平行四边形及特殊的平行四边形后，我发现生活中还有一种常见的特殊四边形−−筝形，可以类比平行四边形的研究路径“定义−性质−判定”研究筝形．
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1，四边形是筝形，其中，

性质：从整体看，筝形是轴对称图形，对称轴是对角线AC所在的直线；从局部看，应从边、角、对角线等角度探究筝形的性质．我发现，筝形有如下性质：
性质1：两组邻边分别相等，即．（由定义可得）
性质2：对角线垂直平分对角线．
性质3：一组对角相等，即．
性质4：筝形的面积等于两条对角线乘积的一半．
判定：与平行四边形类似，筝形的性质与判定也具有互逆关系．
判定1：……
任务：
（1）填空：性质2的证明过程如下．
已知：如图2，四边形是筝形，．

求证：垂直平分．
证明：连接．
∴点A在的垂直平分线上．（依据1： ）
∴点C在的垂直平分线上．
∴垂直平分．（依据2： ）
（2）请你借助图3对性质3进行证明．（要求：写出已知、求证和证明过程）

（3）图4的方格纸中每个小正方形的边长都为1，请在方格纸中画出一个顶点都在格点上且面积为6的筝形．

20. 为激励学生从红色经典中汲取精神力量，将红色基因融入青春血脉，某校举办“阅读红色经典，传承革命精神”读书活动，并对全校1500名学生进行知识测试．校团委为了解学生读书情况，随机抽取部分学生答卷，将数据整理，绘制成如下不完整的频数分布表和频数直方图：
部分学生知识测试成绩频数分布表
部分学生知识测试成绩频数直方图
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取学生答卷的数量为 ．
（2）补全频数直方图，并根据以上调查数据写出一条你获取的信息．
（3）该校对成绩为90分及以上的学生进行奖励，并按成绩从高到低依次设一、二、三等奖，且一、二、三等奖的人数比例为，请你估计全校获得一等奖的人数．
（4）九年级一班李老师欲进一步开展“讲红色故事，传红色经典”演讲比赛，她准备了分别印有1，2，3，4四个大小完全相同的球，分别代表中国共产党的四个历史时期：新民主主义革命时期、社会主义革命和建设时期、改革开放和社会主义现代化建设新时期、中国特色社会主义新时代．现将这四个球放入不透明的袋中摇匀，随机从中抽取一个球，确定演讲主题后放回摇匀，下一个人继续抽取．请你用列表或画树状图的方法，求小明和小亮抽到同一演讲主题的概率．
21. 第六届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2023年11月5日至10日在上海全面线下举办，展览面积约36.7万平方米，世界500强和行业龙头企业参展数超历届水平，超过400项新产品、新技术、新服务集中展示．在进博会上，有A，B两款饮料大受欢迎，B款饮料每箱的售价是A款饮料每箱售价的，购买10箱A款饮料和20箱B款饮料共需1000元．
（1）求A，B两款饮料每箱的售价．
（2）若某公司计划购买A，B两款饮料共80箱，且B款饮料的数量不超过A款饮料数量的2倍，则如何购买才能使总费用最低？最低费用为多少？
22. 综合与实践
问题情境：
如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接
.
猜想证明：
（1）求证：四边形正方形．
解决问题：
（2）求的度数．
（3）已知，请直接写出CG的长．
23. 综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．过点作轴于点，交于点．
（1）求，两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
（2）求线段的最大值．
（3）若是平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
上月销售额/万元
人数
成绩x/分
频数
频率
8
0.08
0.14

33
0.33