2024年云南省昆明市西山区初中学业水平第一次模拟考试数学试题（原卷版+解析版）

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（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上．答案书写在答题卷（答题卡）相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷、草稿纸上作答无效．
2.考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回．
一、单选题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，30共分）
1. “雪山之巅轿子立，千年冰封岁月长”．冬日某一天的轿子雪山，山脚最低气温为零上，记作，山顶最低气温为零下，记作，则这一天轿子雪山山脚与山顶的温差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的减法应用，解题的关键是掌握减去一个数等于加上它的相反数．
根据题意，用这一天最高气温减去最低气温即可．
【详解】解∶，
故选：C．
2. 我们用大数据分析《全唐诗》中有四季出现的诗篇，发现四个季节出现的次数从大到小排序为：春、秋、夏、冬，出现次数最多的“春”字出现了约次．将数字用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：B．
3. 下面四幅作品分别代表“谷雨”、“小暑”、“立秋”、“小寒”，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：B、C、D均不能找到一条直线，使B、C、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故B、C、D不是轴对称图形，不符合题意；
A能找到一条直线，使A沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A是轴对称图形，符合题意；
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是完全平方公式、合并同类项、单项式乘单项式、幂的乘方，根据完全平方公式、合并同类项法则、单项式乘单项式法则、幂的乘方法则计算，判断即可，掌握它们的运算法则是解题的关键．
详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：C．
5. 一杆古秤在称物时，挂砝码的细绳与挂托盘的细绳是竖直向下的，我们可以抽象出如图的几何图形，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和度分秒的换算，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案，掌握两直线平行，同旁内角互补是关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
6. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据常见简单几何体的三视图，结合俯视图是从上往下看到的图形，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何体的三视图是解题关键．
【详解】解：该圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意；
B.该圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意；
C.该正方体的俯视图是正方形，故本选项不符合题意；
D.该三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意．
故选：．
7. 已知反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则的值可以是（ ）
A. 0B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，先根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围，进而可得出结论，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、三象限，
∴，
∴的值可以是，
故选：B．
8. 中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据多边形的内角和为，其中n为正多边形的边数，计算即可，此题考查的是求正八边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键．
【详解】解：正八边形的内角和为：
故选A．
9. 如图所示，某同学用灯光照射一个三角尺形成中心投影，测得三角尺一边长为，其投影的对应边长为，则三角尺的面积与投影的面积比为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：依题意得：三角尺与其投影相似，且相似比为：，
三角尺的面积与投影的面积比为：，
故选B．
10. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．西山区某中学组织学生参加“我阅读，我成长”为主题的演讲比赛，以下是根据进入决赛的15位选手的比赛成绩制成的统计表：
这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A. 92，95B. 95，98C. 95，95D. 96，95
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是解决问题的前提，掌握众数、中位数的计算方法是解决问题的关键．
先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．
【详解】解：∵95出现的次数最多，4次，
∴众数为95；
∵，
∴中位数是第8个数据：95．
故选：C．
11. 如图，某班数学课外活动小组的同学想要测量公园内一小山的高度，通过测量知道坡角，斜坡的长度为，则小山的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据正弦的定义进行解答即可．
【详解】解：，
，
故选：．
12. 按一定规律排列的一组多项式：，，，，，…，它的第个多项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式规律探究分析的规律，得系数的规律：第个对应的系数是，的指数的规律：第个对应的指数是，且奇数项为正，偶数项为负，即可求解．
【详解】解：根据分析的规律，得系数的规律：第个对应的系数是，
的指数的规律：第个对应的指数是，且奇数项系数为正，偶数项系数为负，
第个多项式是，
故选：B．
13. 关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可解答．
【详解】解：∵一元二次方程无实数根，
∴，
解得：，
故选：A．
14. 如图，点，，在上，平分，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆的半径相等，等边对等角，平行线的性质与判定；根据半径相等可得，根据角平分线的定义可得得出，即可判断，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
15. 若一个等腰三角形的腰长为8，底边长为12，那么这个等腰三角形的底边上高在（ ）
A. 3与4之间B. 4与5之间C. 5与6之间D. 7与8之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、无理数的估算等知识点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求得腰上的高成为解题的关键
如图：根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，然后再进行无理数估算即可解答
【详解】解：如图：
∵是等腰三角形，是高，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，即这个等腰三角形的底边上高在5与6之间
故选C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 分解因式：_______.
【答案】．
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可
【详解】解：，
故答案为：．
17. 在函数中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】x≠-2
【解析】
【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，3x+6≠0，
解得x≠-2．
故答案为：x≠-2．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．
18. 某校调查了学生最喜爱的四种球类运动项目，根据统计结果绘制成扇形统计图如图所示．若最喜欢乒乓球的有30人，则此次调查的样本容量为______．
【答案】120
【解析】
【分析】本题考查了从扇形统计图中获取信息，由扇形统计图得最喜欢乒乓球的有30人占，可求出调查学生的总人数，即可求解；能从扇形统计图中正确获取信息是解题的关键．
【详解】解：由题意得
最喜欢乒乓球的有30人占，
（人），
∴此次调查的样本容量为120，
故答案为：120．
19. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．
根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可．
【详解】根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3
∴母线长为
∴圆锥模型的侧面积为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：
【答案】3
【解析】
【分析】题目主要考查实数的混合运算及零次幂、负整数指数幂，特殊角的三角函数运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键
【详解】解：
21. 已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，，且，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】利用平行线性质得，再根据证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
在和中，
，
∴．
【点睛】此题考查全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
22. 随着昆明地铁的不断修建完善，极大程度地改善和方便了广大市民的出行，有效缓解了城市交通拥堵情况．从昆明地铁2号线甲站到乙站，市民张先生由原来地面自驾车辆改为乘坐地铁，路程由原来的15千米缩短为10千米，而张先生乘坐地铁比自驾车辆少花15分钟，已知乘坐地铁的平均速度是自驾车辆平均速度的1.5倍．求张先生乘坐地铁的平均速度是每小时多少千米？
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设张先生乘坐地铁的平均速度是每小时x千米，则自驾车辆平均速度是每小时千米，根据题意列出分式方程，即可求解．
【详解】解：设张先生自驾车辆平均速度是每小时千米，则乘坐地铁的平均速度是每小时千米，依题意得，
解得：
经检验，是原方程的解，
∴乘坐地铁的平均速度是每小时千米
答：乘坐地铁的平均速度是每小时千米
23. 楷书四大家，是对书法史上以楷书著称四位书法家的合称，他们是：唐初欧阳询、盛唐颜真卿、晚唐柳公权、元朝赵孟頫．某班甲同学是一位书法爱好者，他对楷书四大家的书法都情有独钟．如图，从左往右分别是四位书法家的代表作：《多宝塔碑》、《皇甫碑》、《玄秘塔碑》、《胆巴碑》，分别记作A，B，C，D．甲同学先从这四本楷书名家的字帖中随机抽取一本进行临摹完成后，又从剩下的三本中再随机抽取一本进行临摹．
A.B．C．D．
（1）用列表法或画树状图法列出甲同学先后随机抽取的两本字帖的所有可能结果；
（2）求甲同学抽到的两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概率．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了利用列表或树状图求等可能情形下的概率，先列出表格，再进行计算即可．
（1）根据题意利用列表法或树状图法列出所有可能即可；
（2）由（1）中表格得出符合题意的结果求解即可．
【小问1详解】
解：《多宝塔碑》为A，《皇甫碑》为B，《玄秘塔碑》为C，《胆巴碑》为D，
列表如下：
【小问2详解】共有12种等可能结果，其中恰好抽到A和C有2种结果，
∴，
∴抽取的两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概率为．
24. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与 相交于点O，与相交于点N，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若平分，，求矩形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的性质，菱形的判定定理，以及解直角三角形的方法和步骤．
（1）通过证明推出四边形是平行四边形，进而求证四边形是菱形；
（2）根据题意得出，进而得出，，根据菱形的性质得出，则，根据矩形的面积公式即可解答．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，则，
∴，
∵的垂直平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
解：由（1）可得：四边形是菱形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
25. 凭借优越的自然环境，中国云南已经成为世界主要的花卉种植区，地球上所有花卉都可以在云南找到最佳的生长环境．云南某地计划将其的土地用于种植甲乙两种花卉．设甲种花卉种植面积为，每平方米的种植成本元，经调查发现：与的函数关系如图所示，其中；乙种花卉每平方米的种植成本为元．
（1）求与的函数解析式；
（2）设该地年种植甲、乙两种花卉的总成本为元，当时，如何分配两种花卉的种植面积使的值最小．
【答案】（1）
（2）甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为时，的值最小
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用；
（1）待定系数法求得与的函数关系式；
（2）根据二次函数的性质求得的最小值时的值，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，设与的函数解析式为，
将代入，
得
解得：
∴
当时，
∴
【小问2详解】
解：
∵，
∴时，取得最小，
∴甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为时，的值最小．
26. 已知抛物线（实数a为常数）的对称轴为直线．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）记x在某个范围时，函数y的最大值为m，最小值为n，当时，则，求t的值．
【答案】（1）
（2）t的值为或3
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数关系式，二次函数的增减性和最值，解题的关键是熟练掌握相关知识点，具有分类讨论的思想．
（1）根据抛物线的对称轴为直线，得出，求出a的值即可；
（2）根据抛物线性质得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，再进行分类讨论：①当即时，y随x的增大而增大，
时，y有最小值n，时，y有最大值m，即可解答；②当时，时，y有最大值m，时，y有最小值n，即可解答；③当时，，时，y有最大值为5，则，当时：，当时：即可解答．
【小问1详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴抛物线的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：，
∴对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
①当即时，y随x的增大而增大，
时，y有最小值n，时，y有最大值m，
∴，
又，
整理得，
解得，
又，
∴不符合题意，舍去；
②当时，
时，y有最大值m，时，y有最小值n，
∴，
又，
整理得，
解得，
又，
∴不符合题意，舍去；
③当时，，
∴时，y有最大值为5，
∴，
又，
∴，
当时：，
解得（舍去），，
当时：
解得：（舍去），，
∴t的值为或3．
综上，t的值为或3．
27. 如图，在中，，以点A为圆心作与相切于点D，与相交于点M，与相交于点N．点E为上一点，，过点E作于点F，交线段与点G，连接．

（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握切线的定义，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
（1）连接，由题意可得则， 从而推导出， 即可证明；
（2）先证明， 再证明， 即可证明；
（3）设的半径为，证明， 可求在中， 再由， 可求的值．
【小问1详解】
证明： 连接，如图：

∵与相切，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴直线是的切线．
【小问2详解】
证明：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：设圆的半径为，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴
即
令
解得：或(舍去)，
在中，
．成绩（分）
88
90
92
95
96
98
人数
1
2
3
4
3
2
A
B
C
D
A
B
C
D