2024年广东省深圳市罗湖区翠园中学中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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2．全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共4页．考试时间90分钟，满分100分．
3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．答题卡必须保持清洁，不能折叠．
4．本卷选择题1-10，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；非选择题11-22，答案（含作辅助线）必须用规定的笔，按作答题目序号，写在答题卡非选择题答题区内．
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分．每小题其中只有一个正确）
1. 下列各数中，相反数等于的数是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数，即可求解．
【详解】解：相反数等于的是，
故选：D．
2. 2012年3月5日上午，国务院总理温家宝向第十一届全国人大五次会议作政府工作报告时提出，2012年中央财政要进一步增加教育投入，国家财政性教育经费支出21984.63亿元．将21984.63用科学记数法可表示为（保留四位有效数字）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的有关，与的多少次方无关．
【详解】解：将21984.63用科学记数法可表示为（保留四位有效数字）．
故选：C．
3. 下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形．
故可得选项A与其他图形的对称性不同，符合题意．
故选A．
4. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除，幂的乘方、合并同类项，根据同底数幂的乘除法则，幂的乘方法则、hb 同类项法则逐项计算即可．
【详解】解：A、，原式错误；
B、，原式错误；
C、，正确；
D、，原式错误；
故选：C．
5. 初三9班8名同学在一次知识抢答赛中，他们答对的题数分别是7，9，8，8，6，8，5，5，这组数据的平均数和众数分别是（ ）
A. 8，8B. 8，7C. 7，8D. 8，9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平均数、众数的定义，正确理解平均数、众数的定义是解本题的关键．
【详解】解：这组数据的平均数为，
数据8出现的次数最多，故众数为8，
故选：C．
6. 已知下列四个命题：其中真命题的个数是（ ）
（1）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（2）对角线垂直相等四边形是菱形；
（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
（4）四边都相等的四边形是正方形．
A. 1B. 2C. 3D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理．
根据正方形、菱形、矩形的判定分别判断得出即可．
【详解】（1）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题；
（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题；
（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题；
（4）四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题；
故选：A．
7. 如图，，，，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线性质，掌握两直线平行，同旁内角互补正确推理计算是解题关键．
首先根据平行线性质得到，然后利用平角的概念求解即可．
【详解】∵，
∴
∵
∴
∵
∴．
故选：A．
8. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）
A. 38B. 52C. 66D. 74
【答案】D
【解析】
【分析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数积减左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数．因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是8，右上是10．
【详解】解：由题意可得：
阴影部分左下是8，右上是10，
∴8×10-6=74，
故选：D．
【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找出阴影部分的数．
9. 如图，边长为4的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图像的对称性，关键是根据图像的对称性找出相等的关系．先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图象之间的关系，再根据正方形的对称中心是坐标原点可知图中四个小正方形全等，反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为大正方形面积的一半即可得答案．
【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴，
∴四个小正方形全等，每个小正方形的面积＝，
由两函数的解析可知：两函数的图像关于轴对称．
∴阴影部分的面积＝．
故选：D．
10. 如图，是边长为的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意连接，过作，由可将的值转换为求的值，根据等腰直角三角形的性质勾股定理的运算即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过作，

∵，
，，
，
∴，
∵且正方形对角线，
又∵，
∴为中点，为直角三角形，
∴，
∴值是．
故选：．
【点睛】本题主要考查正方形与等腰直角三角形的综合，掌握正方形的性质，直角三角形中勾股定理的运用是解题的关键．
第二部分 非选择题
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
11. 分解因式：ab2+4ab+4a=______．
【答案】a(b+2)2
【解析】
【分析】先提取公因式，在应用公式法解题即可．
【详解】原式=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了因式分解的知识点，熟练掌握因式分解的步骤是关键．
12. 小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面朝上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标，那么点P落在直线上的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数的性质，注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意画出树状图，然后由表格求得所有等可能的结果与点P落在直线上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图如下：
故所有等可能结果为
；
；
；
；
；
，
共36种等可能结果．
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故有，，，，满足在直线上，共5种情况，
∴点P落在直线上的概率为．
故答案为：．
13. 已知圆锥的高为，底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积为______（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了圆锥的有关计算，利用勾股定理求得圆锥母线长，关键是利用圆锥的侧面积底面周长母线长得出．
【详解】解：∵底面圆的直径为，圆锥的高为，
∴由勾股定理得，母线长，底面周长，
∴圆锥的侧面积，
故答案为：．
14. 如图，将一块等腰直角三角板和一块含角的直角三角板叠放，则与的面积之比为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角函数的定义，根据一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到与的面积之比等于．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴与的面积之比等于．
故答案为：．
15. 如图，直线y＝x﹣1与x，y轴交于B、A，点M为双曲线y上的一点，若△MAB为等腰直角三角形，则k＝_____．
【答案】4
【解析】
【分析】直线与x轴、y轴分别相交于B、A，即可求得A、B两点坐标；由是以AB为底的等腰直角三角形，可求得，，，易求得，即可利用AAS判定：≌，可得，，即可得，又由，，即可求得点M的坐标，进而求得k的值．
【详解】解：如图，作轴于点D，轴于点C．
直线与x轴，y轴分别相交于B、A，
当时，；当时，，
点坐标的坐标为，B点坐标为，
是以AB为底的等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
轴，轴，
，
在和中，
，
≌；
，，
，
四边形OCMD是正方形，
设，则，，
，
，
解得：，
即，
点M的坐标为：，
．
故答案为4．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质解题时注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先分别进行有理数的乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的乘法运算，再加减运算求解即可．
【详解】解：
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
先通分，然后进行四则运算，最后将代入即可求得答案．
【详解】解：
．
当时，原式．
18. 某学校有1500名学生参加首届“我爱我们的课堂”为主题的图片制作比赛，赛后随机抽取部分参赛学生的成绩进行整理并制作成图表如下：
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）表中：a＝____，b＝______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）如果将比赛成绩80分以上（含80分）定为优秀，那么优秀率是多少？并且估算该校参赛学生获得优秀的人数．
【答案】（1）15，0.35
（2）见解析 （3），375
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图和表，用样本估计总体的思想，对于（1），先根据第一组的频数与频率可求出总的调查人数，然后根据第二组的频数和第三组的频率即可求出a和b的值；
对于（2），先根据（1）中求出的a值，可补全频数分布直方图；
对于（3），根据优秀率等于第三组频率加上第四组的频率之和乘以100%，用总人数乘以优秀率，计算即可得解．
【小问1详解】
总的调查人数（人），
∵第二组的频数为35，
∴；
∵第三组的频率为0.15，
∴．
故答案为：15，0.35；
【小问2详解】
补全频数分布直方图如下所示：
【小问3详解】
优秀率，
（人）．
所以，优秀率是，估算该校参赛学生获得优秀的人数是375人．
19. 如图，在中，D是的中点，E是的中点．过点B作交的延长线于点F．连接．
（1）求证：；
（2）如果，试判断四边形的形状．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质以及矩形的判定．
（1）根据，可知，得出，再根据等量代换可知；
（2）根据，，可知四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得到，得出四边形是矩形．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵且，
∴四边形是平行四边形．
∵且点D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
20. 深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元．在该产品的试销期间，为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元
（2）当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12000元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数，一次函数和一元一次方程的实际应用，理解利润、售价、销售量之间的关系是解本题的关键．
（1）设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为2600元，列方程求解；
（2）由利润（销售单价成本单价）件数，及销售单价均不低于2600元，按，，三种情形列出函数关系式，然后根据一次函数和二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为2600元．
，解得：；
小问2详解】
当时，，
此时，当时，（元）．
当时，
，
此时，当时，（元）．
当时，，
此时，当时，（元）．
综上所述，当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12000元．
21. 如图，在中，斜边的垂直平分线交与点，交与点，连接．
（1）若是的外接圆的切线，求的大小？
（2）当，时，求外接圆的半径．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质、相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质，；
（1）先根据垂直平分线的性质判断出圆心O，连接，根据是的切线可得，最后结合直角三角形斜边上中点的性质求解即可；
（2）根据勾股定理求得，进而证明得出，进而计算求解即可．
【小问1详解】
解：垂直平分，
，
为外接圆的直径，
的中点即为圆心．
连接
是圆的切线，
，
在中是斜边的中点，
，
，
又，
，
．
【小问2详解】
在中，
，
，
，
，
，
外接圆半径为．
22. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知、，将绕的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线经过点A，点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）判断点B是否在抛物线上；
（3）若点P是线段上的点，且，求点P的坐标；
（4）若点P是x轴上的点，以P、A、D为平行四边形的三个顶点作平行四边形，使该平行四边形的另一个顶点在y轴上，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）点B在抛物线上 （3）
（4）或或
【解析】
【分析】（1）将代入即可得到答案；
（2）先证明四边形是平行四边形，由平移的性质可得：B的坐标为，再检验即可；
（3）作轴于E，轴于F，如图，利用顶点式，得到，则可求出，，，再求出的长和，，则可判断，然后利用相似比求出，从而可得到P点坐标；
（4）设P点坐标为，另一个顶点为Q，坐标为，分三种情况讨论，根据平行四边形对角线互相平分，则两条对角线的中点相同，利用中点坐标公式建立方程求出a即可得到P点坐标．
【小问1详解】
解：将代入，得
．解得．
∴抛物线的表达式为．
【小问2详解】
∵将绕的中点旋转180°，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴由平移的性质可得：B的坐标为，
把代入，得．
∴B在抛物线上．
【小问3详解】
作轴于E，轴于F，如图1，

∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴=，即=，
∴，
∴，
∴P点坐标为；
【小问4详解】
设P点坐标为，另一个顶点为Q，坐标为，分三种情况讨论：
①如图，当、为对角线时，

∵，，
由平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可得，
，解得，
∴P点坐标为，
②如图，当、为对角线时，

同理可得，解得
∴P点坐标为
③如图，当、为对角线时，

同理可得，解得
∴P点坐标为
综上可得P点坐标为或或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求解函数解析式，旋转与平移的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，坐标系中构成平行四边形的问题，熟练掌握平行四边形的性质，分类讨论，利用中点坐标公式建立方程是解题的关键．
频率分布统计表
频率分布直方图
分数段
频数
频率
40
0.40
35
b
a
0.15
10
0.10