高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就精品测试题

这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就精品测试题，共19页。试卷主要包含了物理量随轨道半径变化的规律，地球静止轨道卫星的6个“一定”，天体质量和密度的计算，天体表面的重力加速度，星球的瓦解问题，黑洞等内容，欢迎下载使用。


02
预习导学
课前研读课本，梳理基础知识：
一、物理量随轨道半径变化的规律
二、地球静止轨道卫星的6个“一定”
三、天体质量和密度的计算
方法1 “自力更生”法(g－R)
利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由Geq \f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝eq \f(gR2,G)。
(2)天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)。
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。
方法2 “借助外援”法(T－r)
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。
(1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得天体的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT 2)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
四、天体表面的重力加速度
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2)。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2)
所以eq \f(g,g′)＝eq \f(R＋h2,R2)。
五、星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即eq \f(GMm,R2)＝mω2R，得ω＝eq \r(\f(GM,R3)).当ω>eq \r(\f(GM,R3))时，星球瓦解，当ω六、黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的eq \r(2)倍)超过光速时，该天体就是黑洞．
（二）即时练习：
【小试牛刀1】假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月球表面，物体上升的最大高度为h。已知月球半径为R，引力常量为G，不计一切阻力。则月球的密度为( )
A.eq \f(3πh,4Rt2) B.eq \f(6πh,GRt2) C.eq \f(6h,GπRt2) D.eq \f(8πh,3GRt2)
[解析] 设月球质量为M，月球表面重力加速度为g′，由自由落体运动公式得h＝eq \f(1,2)g′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,2)))2，月球表面质量为m的物体所受重力mg′＝Geq \f(Mm,R2)，月球体积为V＝eq \f(4,3)πR3，则月球的密度为ρ＝eq \f(M,V)，联立以上各式得ρ＝eq \f(6h,GπRt2)，C正确。
[答案] C
【小试牛刀2】(多选)如图所示，赤道上空的卫星A距地面高度为R，质量为m的物体B静止在地球表面的赤道上，卫星A绕行方向与地球自转方向相同。已知地球半径也为R，地球自转角速度为ω0，地球的质量为M，引力常量为G。若某时刻卫星A恰在物体B的正上方，下列说法正确的是( )
A.物体B受到地球的引力为mRωeq \\al(2,0)
B.卫星A的线速度为eq \r(\f(GM,2R))
C.卫星A再次到达物体B上方的时间为eq \f(2π,\r(\f(GM,R3))－ω0)
D.卫星A与物体B的向心加速度之比为eq \f(GM,4R3ωeq \\al(2,0))
答案 BD
解析 物体B受到地球的引力应为万有引力 F＝eq \f(GMm,R2)，不等于向心力mRωeq \\al(2,0)，故A错误；对卫星A，根据万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2R))\s\up12(2))＝meq \f(v2,2R)，因此卫星A的线速度v＝eq \r(\f(GM,2R))，故B正确；由Geq \f(Mm,（2R）2)＝mωeq \\al(2,A)(2R)知，卫星A的角速度为ωA＝eq \r(\f(GM,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2R))3))，此时A和B恰好相距最近，当他们下次相距最近时间满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωA－ω0))t＝2π，因此联立解得t＝eq \f(2π,ω0－\r(\f(GM,8R3)))，故C错误；依题得，卫星A的向心加速度为aA＝eq \f(GM,4R2)，物体B的向心加速度aB＝ωeq \\al(2,0)R，因此向心加速度之比为eq \f(aA,aB)＝eq \f(GM,4R3ωeq \\al(2,0))，故D正确。
【小试牛刀3】一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度之比为( )
A.eq \f(T0,T) B.eq \f(T,T0) C.eq \f(T02,T2) D.eq \f(T2,T02)
答案 D
解析 对近地卫星，有 Geq \f(Mm,R2)＝m(eq \f(2π,T0))2R，地球的质量M＝ρ1·eq \f(4,3)πR3，联立解得ρ1＝eq \f(3π,GT02)，以地球赤道处一质量为m0的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有Geq \f(Mm0,R2)＝m0(eq \f(2π,T))2R，M＝ρ2·eq \f(4,3)πR3，联立解得ρ2＝eq \f(3π,GT2)，所以eq \f(ρ1,ρ2)＝eq \f(T2,T02)，故选D.
03
题型精讲
【题型一】万有引力与重力的关系
【典型例题1】(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是( )
A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝Geq \f(Mm,R2)
B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝Geq \f(Mm,R2)
C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝Geq \f(Mm,R＋h2)
D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝Geq \f(Mm,R＋h2)
[解析] 在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝Geq \f(Mm,R2)，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1[答案] AC
【典型例题2】(多选)2021年5月15日，“天问一号”火星探测器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体成功着陆于火星，这标志着我国首次火星探测任务取得圆满成功。假设火星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的a倍，火星半径是地球半径的b倍，地球表面的重力加速度为g，质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则( )
A．火星表面重力加速度为eq \f(ag,b2)
B．火星表面重力加速度为eq \f(b2g,a)
C．火星表面正下方距表面距离为火星半径eq \f(1,2)处的重力加速度为eq \f(ag,2b2)
D．火星表面正下方距表面距离为火星半径eq \f(1,2)处的重力加速度为eq \f(ag,4b2)
[解析] 在地球表面有Geq \f(Mm,R2)＝mg，在火星表面有Geq \f(aMm,bR2)＝mg′，联立解得火星表面重力加速度为g′＝eq \f(ag,b2)，则A正确，B错误；设火星的密度为ρ，火星的半径为R0，由于质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则在火星表面正下方距表面距离为火星半径eq \f(1,2)处的重力加速度相当火星内部那部分产生的引力产生的，则火星内部那部分质量为M′＝ρeq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R0,2)))3＝eq \f(1,8)M火＝eq \f(1,8)aM，火星表面正下方距表面距离为火星半径eq \f(1,2)处的重力加速度为g″，则有Geq \f(\f(1,8)M火m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R0,2)))2)＝mg″，联立解得g″＝eq \f(ag,2b2)，所以C正确，D错误。
[答案] AC
【对点训练1】某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为( )
A.eq \f(4π2,g1T2) B.eq \f(4π2,g2T2)
C.eq \f(g2－g1T2,4π2) D.eq \f(g1＋g2T2,4π2)
答案 C
解析 在“极点”处：mg2＝eq \f(GMm,R2)；在其表面“赤道”处：eq \f(GMm,R2)－mg1＝m(eq \f(2π,T))2R；解得：R＝eq \f(g2－g1T2,4π2)，故选C.
【对点训练2】2020年12月17日，“嫦娥五号”成功返回，标志着中国全面掌握无人地月往返系列技术。已知地球半径为月球半径的p倍，地球质量为月球质量的q倍。若探测器在地球表面以某一初速度竖直向上射出一物体，忽略空气阻力，其上升的最大高度为h0。忽略星球自转的影响，该探测器在月球表面以相同的初速度竖直向上射出同一物体，其上升的最大高度为( )
A.eq \f(qh0,p2) B.eq \f(h0p2,q) C.eq \f(h0,qp2) D．qp2h0
[解析] 设月球的重力加速度为g′，在月球上抛物体上升的高度为h′，忽略星球自转的影响，则根据eq \f(GMm,R2)＝mg，可得g＝eq \f(GM地,R地2)＝eq \f(GqM月,pR月2)，g′＝eq \f(GM月,R月2)，eq \f(g,g′)＝eq \f(q,p2)，在地球上上升的高度h0＝eq \f(v02,2g)，在月球上上升的高度h′＝eq \f(v02,2g′)，eq \f(h′,h0)＝eq \f(g,g′)，解得h′＝eq \f(qh0,p2)，故选A。
[答案] A
【题型二】估算问题
【典型例题3】(2021·广东高考)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
解析：选D 根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力，可得eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得M＝eq \f(v2r,G)，D正确；由于核心舱质量在运算中被约掉，故无法通过核心舱质量求解地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由eq \f(GMm,r2)＝mω2r得M＝eq \f(ω2r3,G)，且ω＝eq \f(2π,T)，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C错误。
【典型例题4】若将北斗导航卫星绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动，运行轨道距地面的高度为h，运行周期为T，已知万有引力常量为G，地球半径为R。则地球质量M和地球的平均密度ρ分别为( )
A．M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq \f(3πR＋h3,GT2R3)
B．M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq \f(6πR＋h3,GT2R3)
C．M＝eq \f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq \f(3πR＋h3,GT2R3)
D．M＝eq \f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq \f(6πR＋h3,GT2R3)
[解析] 将北斗导航卫星绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动，设卫星的质量为m，由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2(R＋h)，解得M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，又有M＝ρeq \f(4,3)πR3，解得ρ＝eq \f(3πR＋h3,GT2R3)，A正确。
[答案] A
【对点训练3】(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
解析：选B 由万有引力提供向心力有eq \f(GM中m,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，整理得eq \f(R3,T2)＝eq \f(GM中,4π2)，可知eq \f(R3,T2)只与中心天体的质量有关，则eq \f(M黑洞,M)＝eq \f(\f(RS23,TS22),\f(R地3,T地2))，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞≈4×106M，B正确。
【对点训练4】（多选）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是( )
A.月球平均密度为eq \f(3v2,4πGR2) B.月球平均密度为eq \f(3v2r,4πGR3)
C.月球表面重力加速度为eq \f(v2,R) D.月球表面重力加速度为eq \f(v2r,R2)
答案 BD
解析 由万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得M＝eq \f(v2r,G)，
月球体积V＝eq \f(4,3)πR3，所以月球平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3v2r,4πGR3)，故B项正确，A项错误；由Geq \f(Mm,R2)＝mg且M＝eq \f(v2r,G)得g＝eq \f(v2r,R2)，故D项正确，C项错误。
【题型三】对比问题
【典型例题5】如图甲所示，太阳系中有一颗“躺着”自转的蓝色“冷行星”——天王星，周围存在着环状物质。假设为了测定环状物质是天王星的组成部分，还是环绕该行星的卫星群，“中国天眼”对其做了精确的观测，发现环状物质线速度的二次方即v2与到行星中心的距离的倒数即r－1关系如图乙所示。已知天王星的半径为r0，引力常量为G，以下说法正确的是( )
A．环状物质是天王星的组成部分
B．天王星的自转周期为eq \f(2πr0,v0)
C．v2-r－1关系图像的斜率等于天王星的质量
D．天王星表面的重力加速度为eq \f(v02,r0)
解析：选D 若环状物质是天王星的组成部分，则环状物质与天王星同轴转动，角速度相同是定值，由线速度公式v＝ωr可得v∝r，A、B错误；若环状物质是天王星的卫星群，由天王星对环状物质的引力提供环状物质做圆周运动的向心力，则有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可得v2＝GMr－1，则有v2∝r－1，由图像特点可知，环状物质是天王星的卫星群，可得v2-r－1图像的斜率等于GM，C错误；由v2-r－1的关系图像可知r－1的最大值是r0－1，则天王星的卫星群转动的最小半径为r0，即天王星的半径是r0，卫星群在天王星的表面运行的线速度为v0，天王星表面的重力加速度，即卫星群的向心加速度为eq \f(v02,r0)，D正确。
【典型例题6】(多选)(2020·江苏卷，7)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有( )
A.由v＝eq \r(gR)可知，甲的速度是乙的eq \r(2)倍
B.由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C.由F＝eq \f(GMm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq \f(1,4)
D.由eq \f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq \r(2)倍
解析 两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)，可得v＝eq \r(\f(GM,r))，则乙的速度是甲的eq \r(2)倍，选项A错误；由eq \f(GMm,r2)＝ma，可得a＝eq \f(GM,r2)，则乙的向心加速度是甲的4倍，选项B错误；由F＝eq \f(GMm,r2)，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的eq \f(1,4)，选项C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2eq \r(2)倍，选项D正确。
答案 CD
【对点训练5】(多选)卫星绕某行星做匀速圆周运动的速率的平方(v2)与卫星的轨道半径的倒数(eq \f(1,r))的关系如图所示，图中b为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k，万有引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A.行星的半径为kb
B.行星的质量为eq \f(k,G)
C.行星的密度为eq \f(3b3,4πGk2)
D.行星的第一宇宙速度为eq \r(b)
答案 BCD
解析 卫星绕行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，
则有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v2＝GM·eq \f(1,r)
设行星的半径为R，由图知，当r＝R时，v2＝b，GM＝k，解得R＝eq \f(k,b)，故A错误；由上知，GM＝k，得行星的质量为M＝eq \f(k,G)，故B正确；行星的体积V＝eq \f(4,3)πR3，密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3b3,4πGk2)，故C正确；卫星在行星表面做匀速圆周运动时，运行速度为第一宇宙速度Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(b)，故D正确。
【对点训练6】科幻电影《流浪地球》讲述了这样的故事：太阳即将毁灭，人类在地球上建造出巨大的推进器，使地球经历了停止自转、加速逃逸、匀速滑行、减速入轨等阶段，最后成为比邻星的一颗行星。假设若干年后，地球流浪成功。设比邻星的质量为太阳质量的eq \f(1,4)，地球质量在流浪过程中损失了eq \f(1,4)，地球绕比邻星运行的轨道半径为地球绕太阳运行轨道半径的eq \f(1,2)，则地球绕比邻星运行与绕太阳运行相比较，下列关系正确的是( )
A.公转周期之比为T比∶T日＝1∶1
B.向心加速度之比为a比∶a日＝3∶4
C.动能之比为Ek比∶Ek日＝3∶8
D.万有引力之比为F比∶F日＝3∶8
答案 C
解析 万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，故T比∶T日＝eq \r(2)∶2，故A错误；万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Geq \f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq \f(GM,r2)，故a比∶a日＝1∶1，故B错误；万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，动能Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(GMm,2r)，代入数据计算解得动能之比为Ek比∶Ek日＝3∶8，故C正确；根据万有引力F＝eq \f(GMm,r2)，代入数据计算解得F比∶F日＝3∶4，故D错误。
04
体系构建
1．重力与万有引力的关系
2．天体质量、密度的计算
3．对比问题
4．地球卫星
05
记忆清单
一、天体质量、密度的计算
二、对比问题
1.线速度：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)⇒v＝eq \r(\f(GM,r))
2.角速度：Geq \f(Mm,r2)＝mω2r⇒ω＝eq \r(\f(GM,r3))
3.周期：Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r⇒T＝2πeq \r(\f(r3,GM))
4.向心加速度：Geq \f(Mm,r2)＝ma⇒a＝eq \f(GM,r2)
结论：r越大，v、ω、a越小，T越大。
0601
强化训练
1． (2020·全国卷Ⅰ，15)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A.0.2 B.0.4
C.2.0 D.2.5
答案 B
解析 由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝Geq \f(M地m,Req \\al(2,地))，质量为m的物体在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝Geq \f(M火m,Req \\al(2,火))，二者的比值eq \f(F火,F地)＝eq \f(M火Req \\al(2,地),M地Req \\al(2,火))＝0.4，B正确，A、C、D错误。
2.将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出( )
A．g0小于g
B．地球的质量为eq \f(gR2,G)
C．地球自转的角速度为ω＝eq \r(\f(g0－g,R))
D．地球的平均密度为eq \f(3g,4πGR)
答案 C
解析 设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上的重力和物体随地球自转的向心力是万有引力的分力．有Geq \f(Mm,R2)－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力Geq \f(Mm,R2)＝mg0，所以g0＞g，故A错误；在两极mg0＝Geq \f(Mm,R2)，解得M＝eq \f(g0R2,G)，故B错误；由Geq \f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq \f(Mm,R2)，解得ω＝eq \r(\f(g0－g,R))，故C正确；地球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g0,4πGR)，故D错误．
3.宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′。他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T。假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为( )
A．Teq \r(\a\vs4\al(\f(F′,F))) B．Teq \r(\f(F,F′))
C．T eq \r(\a\vs4\al(\f(F－F′,F))) D．T eq \r(\f(F,F－F′))
解析：选D 设星球和探测器质量分别为m、m′
在两极点，有：Geq \f(Mm,R2)＝F，
在赤道，有：Geq \f(Mm,R2)－F′＝MReq \f(4π2,T自2)，
探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T，则有：Geq \f(mm′,R2)＝m′ Req \f(4π2,T2)；联立以上三式解得T自＝Teq \r(\f(F,F－F′))。故D正确，A、B、C错误。
4.我国航空航天技术已居于世界前列。如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ。已知万有引力常量G，下列说法正确的是( )
A.轨道半径越大，周期越小
B.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
C.若测得周期和张角，可得到星球的质量
D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
答案 B
解析 根据开普勒第三定律可知eq \f(r3,T2)＝k，轨道半径越大，飞行器的周期越大，故A错误；设星球的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，张角为θ，飞行器的质量为m，轨道半径为r，周期为T。对于飞行器，根据万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r，解得星球质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)，由几何关系有R＝rsin eq \f(θ,2)，若测得周期和张角，因为星球的半径和轨道半径均未知，则不能得到星球的质量，星球的平均密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)))\s\up12(3))，即若测得周期和张角，可得到星球的平均密度，故B正确，C错误；由上述分析可知，若测得周期和轨道半径可以得到星球质量，不能得到星球的平均密度，故D错误。
5.近地卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，若其轨道半径近似等于地球半径R，运行周期为T，地球质量为M，引力常量为G，则( )
A.近地卫星绕地球运动的向心加速度大小近似为eq \f(2π2R,T2)
B.近地卫星绕地球运动的线速度大小近似为eq \r(\f(R,GM))
C.地球表面的重力加速度大小近似为eq \f(M,GR2)
D.地球的平均密度近似为eq \f(3π,GT2)
答案 D
解析 由向心加速度公式可知，近地卫星绕地球运动的向心加速度大小an＝ω2R＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)R＝eq \f(4π2R,T2)，故A错误；近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得Geq \f(Mm,R2)＝eq \f(mv2,R)，解得近地卫星绕地球运动的线速度大小v＝eq \r(\f(GM,R))，故B错误；地球表面的重力等于万有引力，所以有mg＝Geq \f(Mm,R2)，地球表面的重力加速度大小为g＝eq \f(GM,R2)，故C错误；近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得Geq \f(Mm,R2)＝mrω2＝mReq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)，解得地球的质量为M＝eq \f(4πR3,GT2)，地球的平均密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3π,GT2)，故D正确。
6.我国发射的第三十二颗北斗导航卫星属于倾斜地球同步轨道卫星，卫星入轨并完成在轨测试后，将接入北斗卫星导航系统，为用户提供更可靠服务。通过查询，倾斜地球同步轨道卫星是运转轨道面与地球赤道面有夹角的轨道卫星，它的运转周期也是24小时，如图所示，关于该北斗导航卫星说法正确的是( )
A．该卫星可定位在北京的正上空
B．该卫星与地球静止轨道卫星的向心加速度大小是不等的
C．该卫星的发射速度v≤7.9 km/s
D．该卫星的角速度与放在北京地面上物体随地球自转的角速度大小相等
解析：选D 根据题意，该卫星是倾斜轨道，故不可能定位在北京的正上空，A错误；由于该卫星的运转周期也是24小时，与地球静止轨道卫星的周期相同，故轨道半径、向心加速度大小均相同，B错误；第一宇宙速度7.9 km/s是最小的发射速度，C错误；根据ω＝eq \f(2π,T)可知，该卫星的角速度与放在北京地面上物体随地球自转的角速度大小相等，D正确。
7.(多选)我国计划在2030年之前实现飞船载人登月计划，假设你有幸成为登上月球的第一位中国人，如果告知万有引力常量，你可以完成以下哪项工作( )
A. 测出一个石块的质量，以及它在月球表面上方自由下落的高度和时间，求出月球表面上该石块的重力
B.测出一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，求出月球的质量
C.从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，求出月球的平均密度
D.测出飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期，求出月球的平均密度
答案 AD
解析 根据h＝eq \f(1,2)gt2 得g＝eq \f(2h,t2)，则月球表面上该石块的重力G′＝mg＝meq \f(2h,t2)，故A正确；一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，同样有竖直方向h＝eq \f(1,2)gt2，得g＝eq \f(2h,t2)，又根据任意一星球表面物体重力等于万有引力Geq \f(Mm,R2)＝mg，得M＝eq \f(2hR2,Gt2)，因不知道月球半径，则求不出月球的质量，故B错误；从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，只能大体测出月球上石头的密度，但月球密度不一定与月球上石头的密度相同，故C错误；由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝m(eq \f(2π,T))2R，得M＝eq \f(4π2R3,GT2)，又M＝ρeq \f(4,3)πR3，联立解得ρ＝eq \f(3π,gT2)，故D正确。
8．(多选)我国北斗卫星导航系统(BDS)已经开始提供全球服务，具有定位、导航、授时、5G传输等功能。A、B为“北斗”系统中的两颗工作卫星，其中A是高轨道的地球静止同步轨道卫星，B是中轨道卫星。已知地球表面的重力加速度为g，地球的自转周期为T0，下列判断正确的是( )
A.卫星A可能经过江苏上空
B.卫星B可能经过江苏上空
C.周期大小TA＝T0＞TB
D.向心加速度大小aA＜aB＜g
答案 BCD
解析 A是高轨道的地球静止同步轨道卫星，静止在赤道上空，不可能经过江苏上空，故A错误；B是中轨道卫星不是静止同步轨道卫星，所以卫星B可能经过江苏上空，故B正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(4π2mr,T2)，可得T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，半径越大，周期越大，所以TA＝T0＞TB，故C正确；根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝ma，a＝Geq \f(M,r2)，半径越大，向心加速度越小，所以向心加速度大小aA＜aB＜g，故D正确。
9.我国将于2020年年底前后发射嫦娥五号，实现区域软着陆及采样返回，完成探月工程“绕、落、回”三步走目标。嫦娥五号由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成，其中着陆器将进行月面软着陆，轨道器留在近月轨道绕月飞行。设着陆器月面着陆后以初速v0竖直向上弹射一小物体，小物体上升的最大高度为h，已知月球的半径R，则轨道器环月飞行的速度为( )
A.v0eq \r(\f(R,2h)) B.v0eq \r(\f(2R,h))
C.v0eq \r(\f(2h,R)) D.v0eq \r(\f(h,2R))
答案 A
解析 由竖直上抛运动可得veq \\al(2,0)＝2gh，所以月球表面的重力加速度为g＝eq \f(veq \\al(2,0),2h)
由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)
由黄金代换gR2＝GM
联立得v＝eq \r(gR)＝eq \r(\f(veq \\al(2,0),2h)·R)＝v0eq \r(\f(R,2h))，故选项A正确。
10．(2020·山东卷，7)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A.meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g－\f(v0,t0))) B.meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g＋\f(v0,t0)))
C.meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g－\f(v0,t0))) D.meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g＋\f(v0,t0)))
答案 B
解析 由Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值eq \f(g火,g)＝eq \f(M火Req \\al(2,地),M地Req \\al(2,火))＝0.1×22＝0.4，即火星表面的重力加速度g火＝0.4g。着陆器着陆过程可视为竖直向下的匀减速直线运动，由v0－at0＝0可得a＝eq \f(v0,t0)。由牛顿第二定律有F－mg火＝ma，解得F＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g＋\f(v0,t0)))，选项B正确。
11．2019年12月7日10时55分，我国在太原卫星发射中心用“快舟一号”甲运载火箭，成功将“吉林一号”高分02B卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，绕地球做匀速圆周运动。已知地球质量为M、引力常量为G，卫星与地心的连线在时间t(小于其运动周期)内扫过的面积为S，则卫星绕地球运动的轨道半径为( )
A.eq \f(4S2,GMt2) B.eq \f(2S,t\r(GM))
C.eq \f(GMt2,4S2) D.eq \f(t\r(GM),2S)
答案 A
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可知eq \f(GMm,r2)＝mω2r，根据几何关系可知，卫星与地心连线在时间t内扫过的面积S＝eq \f(ωt,2π)πr2，联立解得卫星绕地球的轨道半径r＝eq \f(4S2,GMt2)，故A正确，B、C、D错误。
12.(多选)2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面。着陆前的部分运动过程简化如下：在距月面15 km高处绕月做匀速圆周运动，然后减速下降至距月面100 m处悬停，再缓慢降落到月面。已知万有引力常量和月球的第一宇宙速度，月球半径约为1.7×103 km，由上述条件能估算出( )
A.月球质量
B.月球表面的重力加速度
C.探测器在15 km高处绕月运动的周期
D.探测器悬停时发动机产生的推力
答案 ABC
解析 第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(gR)，已知万有引力常量和月球的第一宇宙速度，月球半径约为1.7×103 km，所以可以求出月球质量M和月球表面的重力加速度g，故A、B正确；根据万有引力提供环绕天体的向心力得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，r＝R＋h，解得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，所以可以求出探测器在15 km高处绕月运动的周期T，故C正确；探测器悬停时发动机产生的推力大小等于探测器的重力，由于不知道探测器的质量，所以无法求出探测器悬停时发动机产生的推力，故D错误。
13.由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二。若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G。“蛟龙”下潜深度为d，天宫一号轨道距离地面高度为h。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。求：
(1)“天宫一号”绕地心转一周的时间是多少？
(2)“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为多少？
答案 (1)2πeq \r(\f(（R＋h）3,gR2)) (2)eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R－d))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋h))2,R3)
解析 (1)根据万有引力提供向心力得
eq \f(GMm,（R＋h）2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)
地球表面的物体受到的万有引力等于重力，即
mg＝eq \f(GMm,R2)
联立解得T＝2πeq \r(\f(（R＋h）3,gR2))。
(2)令地球的密度为ρ，对地球表面的物体g＝eq \f(GM,R2)
由于地球的质量为M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
所以重力加速度的表达式可写成
g＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(Gρ·\f(4,3)πR3,R2)＝eq \f(4,3)πGρR
根据万有引力提供向心力eq \f(GMm,（R＋h）2)＝mg1
“天宫一号”的加速度为g1＝eq \f(GM,（R＋h）2)
eq \f(g1,g)＝eq \f(R2,（R＋h）2)
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故海底的重力加速度g2＝eq \f(4,3)πGρ(R－d)
所以有eq \f(g2,g)＝eq \f(R－d,R)
所以eq \f(g2,g1)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R－d))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R＋h))2,R3)。
14.(多选)2019年11月我国首颗亚米级高分辨率光学传输型立体测绘卫星高分七号成功发射，高分七号在距地约600 km的圆轨道运行，先期发射的高分四号在距地约36 000 km的地球同步轨道运行，关于两颗卫星下列说法正确的是( )
A.高分七号比高分四号运行速率大
B.高分七号比高分四号运行周期大
C.高分七号比高分四号向心加速度小
D.相同时间内高分七号与地心连线扫过的面积比高分四号小
答案 AD
解析 万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，可得v＝eq \r(\f(GM,r))，运行轨道半径越大，运行的速度越小，高分七号比高分四号运行速率大，故A正确；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，运行轨道半径越大，运行的周期越大，所以高分七号比高分四号运行周期小，故B错误；Geq \f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq \f(GM,r2)，运行轨道半径越大，运行的加速度越小，所以高分七号比高分四号向心加速度大，故C错误；卫星与地心连线扫过的面积为S＝eq \f(1,2)r2θ＝eq \f(1,2)rvt＝eq \f(t,2)eq \r(GMr)，相同时间内，运行轨道半径越大，与地心连线扫过的面积越大，相同时间内高分七号与地心连线扫过的面积比高分四号小，故D正确。
15.有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是( )
A.a的向心加速度大于b的向心加速度
B.四颗卫星的速度大小关系是：va＞vb＞vc＞vd
C.在相同时间内d转过的弧长最长
D.d的运动周期可能是30 h
答案 D
解析 因为a、c的角速度相同，根据a＝ω2r，因a离地心的距离小于c离地心的距离，所以a的向心加速度小于c；b、c是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq \f(GM,r2)，因b的轨道半径小于c的轨道半径，所以b的向心加速度大于c，综上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A错误；因为a、c的角速度相同，根据v＝ωr，知a的速度小于c；b、c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，因b的轨道半径最小，d的轨道半径最大，所以b的速度大于c，c的速度大于d，则vb＞vc＞vd，vb＞vc＞va，故B错误；因b的速度最大，则在相同时间内b转过的弧长最长，故C错误；c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，可知因d的轨道半径大于c的轨道半径，d的周期大于c，而c的周期是24 h，则d的运动周期可能是30 h，故D正确。
16．(2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有Geq \f(Mm,r2)≥mreq \f(4π2,T2)，又知M＝ρ·eq \f(4,3)πr3，整理得密度ρ≥eq \f(3π,GT2)＝eq \f(3×3.14,6.67×10－11×5.19×10－32) kg/m3≈5.2×1015 kg/m3，故选C.
17．科技日报北京2017年9月6日电，英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞．科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的eq \r(2)倍)超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1, 光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )
A.eq \f(2v12R,kc2) B.eq \f(2kc2R,v12)
C.eq \f(kv12R,2c2) D.eq \f(2kv12R,c2)
答案 D
解析 地球的第一宇宙速度为v1＝eq \r(\f(GM,R))，则黑洞的第一宇宙速度为v2＝eq \r(\f(GkM,r))，并且有eq \r(2)v2>c，联立解得r18．一火箭从地面由静止开始以5 m/s2的加速度竖直向上匀加速运动，火箭中有一质量为1.6 kg的科考仪器，在上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为9 N，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面处的重力加速度g取10 m/s2)( )
A.eq \f(1,2)倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
答案 C
解析 在上升到距地面某一高度时，根据牛顿第二定律可得FN－mg′＝ma，解得g′＝
eq \f(10,16) m/s2＝eq \f(g,16)，因为Geq \f(M,r2)＝g′，可得r＝4R，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径R的3倍，选C.课程标准
学习目标
认识万有引力定律的重要意义。
1、理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
2、理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。
3、认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认识运动与相互作用观念。
轨道面一定
轨道平面与赤道平面共面
周期一定
与地球自转周期相同，即T＝24 h
角速度一定
与地球自转的角速度相同
高度一定
由Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)得同步卫星离地面的高度h＝ eq \r(3,\f(GMT2,4π2))－R≈6R(恒量)
速率一定
运行速率v＝eq \r(\f(GM,R＋h))
绕行方向一定
与地球自转的方向一致
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的计算
利用运行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得到中心天体的质量
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
密度的计算
利用运行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时
ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)