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高中人教版 (2019)1 功与功率精品巩固练习
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这是一份高中人教版 (2019)1 功与功率精品巩固练习，共16页。试卷主要包含了功率等内容，欢迎下载使用。
02
预习导学
课前研读课本，梳理基础知识：
一、功
1.定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2.必要因素：力和物体在力的方向上发生的位移。
3.物理意义：功是能量转化的量度。
4.计算公式
(1)恒力F的方向与位移l的方向一致时：W＝Fl。
(2)恒力F的方向与位移l的方向成某一夹角α时：W＝Flcs__α。
5.功的正负
(1)当0≤α＜eq \f(π,2)时，W＞0，这表示力对物体做正功。
(2)当eq \f(π,2)＜α≤π时，W＜0，这表示力对物体做负功。
(3)当α＝eq \f(π,2)时，W＝0，力对物体不做功。
6.一对作用力与反作用力的功
7.一对平衡力的功
一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功一定是数值相等，一正一负或均为零。
二、功率
1.定义：功W与完成这些功所用时间t的比值。
2.物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式
(1)P＝eq \f(W,t)，P为时间t内的平均功率。
(2)P＝Fvcs_α(α为F与v的夹角)
①若F为恒力，v为平均速度，则P为平均功率；
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解。
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率。
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率。
（二）即时练习：
【小试牛刀1】如图，物块A、B在外力F的作用下一起沿水平地面做匀速直线运动的过程中，下列关于A对地面的滑动摩擦力做功和B对A的静摩擦力做功的说法正确的是( )
A．静摩擦力做正功，滑动摩擦力做负功
B．静摩擦力不做功，滑动摩擦力做负功
C．静摩擦力做正功，滑动摩擦力不做功
D．静摩擦力做负功，滑动摩擦力做正功
解析：选C 把物块A、B看成一个整体，一起沿水平地面做匀速直线运动，所以fA－地＝f地－A＝F，其中f地－A的方向与运动方向相反，故地面对A的滑动摩擦力做负功，因为地面没有位移，所以A对地面的滑动摩擦力不做功；选择A作为研究对象，A做匀速运动，所以fB－A＝f地－A＝F，其中B对A的静摩擦力的方向与运动方向相同，故B对A的静摩擦力做正功。综上可知，C正确。
【小试牛刀2】如图所示，质量为m的物体在恒力F的作用下从底端沿斜面向上一直匀速运动到顶端，斜面高h，倾斜角为θ，现把物体放在顶端，发现物体在轻微扰动后可匀速下滑，重力加速度大小为g。则在上升过程中恒力F做的功为( )
A．Fh B．mgh
C．2mgh D．无法确定
解析：选C 把物体放在顶端，发现物体在轻微扰动后可匀速下滑，则物体受力平衡，则有f＝mgsin θ，上滑过程中，物体也做匀速直线运动，受力平衡，则有F＝mgsin θ＋f＝2mgsin θ，则在上升过程中恒力F做的功W＝Fx＝2mgsin θ·eq \f(h,sin θ)＝2mgh，故C正确。
【小试牛刀3】如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，则小球落在斜面上时重力的瞬时功率为(不计空气阻力)( )
A．mgv0tan θ B．eq \f(mgv0,tan θ)
C．eq \f(mgv0,sin θ) D．mgv0cs θ
解析：选B 小球落在斜面上时重力的瞬时功率为P＝mgvy，而vytan θ＝v0，所以P＝eq \f(mgv0,tan θ)，B正确。
03
题型精讲
【题型一】恒力做功问题
【典型例题1】(多选)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下述说法正确的是( )
A．摩擦力对物体做正功
B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体不做功
D．合力对物体做功为零
解析：选ACD 取物体为研究对象，受力分析如图所示，受重力mg、沿皮带向上的静摩擦力Ff和垂直于皮带的支持力FN，由于Ff方向与运动方向一致，做正功，A正确，B错误；FN方向与运动方向垂直，不做功，C正确；由于匀速运动，合力为0，D正确。
【典型例题2】一篮球质量为m＝0.60 kg，一运动员使其从距地面高度为h1＝1.8 m处由静止自由落下，反弹高度为h2＝1.2 m。若使篮球从距地面h3＝1.5 m的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹的高度也为1.5 m。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为t＝0.20 s；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小取g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)运动员拍球过程中对篮球所做的功；
(2)运动员拍球时对篮球的作用力的大小。
解析：(1)使篮球从距地面高度为h1处由静止自由落下时，设篮球的落地速度大小为v1，根据自由落体运动的规律有v12＝2gh1，
设篮球被地面反弹时的速度大小为v2，则有v22＝2gh2，
则篮球与地面碰撞前、后的动能之比eq \f(Ek1,Ek2)＝eq \f(\f(1,2)mv12,\f(1,2)mv22)＝eq \f(h1,h2)＝eq \f(3,2)。使篮球从距地面h3的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，设篮球的落地速度大小为v3，反弹后的速度大小为v4，则有v42＝2gh3，
因为篮球每次与地面碰撞前、后的动能的比值不变，所以有eq \f(\f(1,2)mv32,\f(1,2)mv42)＝eq \f(3,2)，设运动员拍球过程中对篮球做的功为W，根据动能定理有W＋mgh3＝eq \f(1,2)mv32，解得W＝4.5 J。
(2)篮球在受到力F作用的时间内，根据牛顿第二定律得，加速度a＝eq \f(mg＋F,m)，篮球的位移x＝eq \f(1,2)at2，
运动员对篮球做的功W＝Fx，
联立解得F＝9 N。
答案：(1)4.5 J (2)9 N
【对点训练1】（多选）如图所示，质量为m的物体相对静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离l，物体相对斜面静止，则下列说法正确的是（ ）
A．重力对物体做正功B．合力对物体做功为零
C．摩擦力对物体做负功D．支持力对物体做正功
答案：BCD
解析：重力竖直向下，位移水平向右，故重力对物体不做功，故A错误；
合力为0，故合力对物体做功为零，故B正确；
摩擦力沿斜面向上，与位移的夹角为钝角，故摩擦力对物体做负功，故C正确；
支持力垂直于斜面向上，与位移的夹角为锐角，故支持力对物体做正功，故D正确。
故选BCD。
【对点训练2】如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，雪橇受到的( )
A．支持力做功为mgl
B．重力做功为mgl
C．拉力做功为Flcs θ
D．滑动摩擦力做功为－μmgl
解析 根据功的定义式，支持力和重力做功均为0，拉力做功为Flcs θ，滑动摩擦力f＝μ(mg－Fsin θ)，做功为－μ(mg－Fsin θ)l，故只有C项对。
答案 C
【题型二】功率问题
【典型例题3】一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时速率为1 m/s。从此刻开始在与速度平行的方向上对其施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图甲、乙所示，则(两图取同一正方向，重力加速度g＝10 m/s2)( )
A．滑块的质量为0.5 kg
B．滑块与水平地面间的动摩擦因数为0.5
C．第1 s内摩擦力对滑块做功为－1 J
D．第2 s内力F的平均功率为1.5 W
解析：选D 滑块运动的加速度大小a＝eq \f(Δv,Δt)＝1 m/s2，由题图知，第1 s内有Ff＋F＝ma，第2 s内有F′－Ff＝ma，则Ff＋1 N＝3 N－Ff，故Ff＝1 N，m＝2 kg，又由Ff＝μmg可得动摩擦因数μ＝0.05，故A、B错误；第1 s内滑块的位移大小为x＝0.5 m，根据功的公式可得第1 s内摩擦力对滑块做功为－0.5 J，故C错误；根据v-t图像可知，第2 s内的平均速度大小eq \x\t(v)＝0.5 m/s，所以第2 s内力F的平均功率P＝Feq \x\t(v)＝3×0.5 W＝1.5 W，故D正确。
【典型例题4】一物体在粗糙的水平面上受到水平拉力作用，在一段时间内的速度随时间变化情况如图7所示。关于拉力的功率随时间变化的图像下图中可能正确的是( )
答案 D
解析 由题图知：在0～t0时间内，物体做初速度为零的匀加速运动，v＝at，由牛顿第二定律得F－f＝ma，则拉力的功率为P＝Fv＝(f＋ma)v＝(f＋ma)at，可知功率的图像为过原点的倾斜直线；在t0时刻以后，物体做匀速运动，v不变，则F＝f，P＝Fv＝fv，P不变，可知功率图像为水平直线，且功率的值小于加速阶段功率的最大值，故D正确。
【对点训练3】如图，某小学举行拍皮球比赛，一参赛者将皮球从0.8 m高度处以一定的初速度竖直向下拋出，皮球碰地反弹后恰好可以返回原来高度，此时参赛者立即用手竖直向下拍皮球，使皮球获得一个速度，之后皮球又恰能回到原来高度，如此反复。已知皮球每次碰地反弹的速率均为碰地前瞬间速率的0.8倍，皮球的质量为0.5 kg，重力加速度取10 m/s2，不计空气阻力和球与手、地面的接触时间。求：
(1)皮球来回运动一次的时间；
(2)参赛者拍皮球过程中做功的平均功率。
答案 (1)0.6 s (2)eq \f(15,4) W
解析 (1)设皮球被手拍出时的速率为v0，碰地前瞬间的速率为v，则皮球刚反弹回来时的速率为0.8v，皮球向上运动的时间为t1，向下运动的时间为t2，根据运动学规律可得02－(0.8v)2＝－2gh，0＝0.8v－gt1，v2－veq \\al(2,0)＝2gh，v＝v0＋gt2，皮球来回运动一次的时间为t＝t1＋t2，解得t＝0.6 s。
(2)每次拍皮球时，参赛者对皮球做的功W＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
参赛者拍皮球过程中做功的平均功率P＝eq \f(W,t)
解得P＝eq \f(15,4) W。
【对点训练4】一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度释放小球。如图所示，小球从开始运动至轻绳到达竖直位置的过程中，小球重力的瞬时功率的变化情况是( )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
解析：选C 小球在初位置重力做功的功率为零，在最低点，由于重力的方向与速度方向垂直，则重力做功的功率为零，因为初、末位置重力做功的功率都为零，则小球从开始运动至轻绳到达竖直位置的过程中重力做功的功率先增大后减小，C正确。
【题型三】涉及动滑轮的问题及临界问题
【典型例题5】如图所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力F提升原来静止的质量为m＝10 kg的物体，使其以大小为a＝2 m/s2的加速度匀加速上升，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．前3 s内力F做的功为720 J
B．前3 s内力F做的功为540 J
C．3 s末重力的功率大小为600 W
D．物体在3 s内所受合力做的功为1 080 J
解析 物体受到两个力的作用：拉力F′和重力mg，其中F′＝2F，由牛顿第二定律得F′－mg＝ma，F′＝m(g＋a)＝120 N，则F＝60 N，物体由静止开始运动，3 s内的位移为x＝eq \f(1,2)at2＝9 m，3 s末的速度为v＝at＝6 m/s，力F的作用点为绳的端点，而在物体发生9 m位移的过程中，绳的端点的位移为2l＝18 m，所以力F做的功W＝F·2x＝60×18 J＝1 080 J，A、B错误；3 s末重力的功率大小为mgv＝600 W，C正确；根据动能定理，物体在3 s内所受合力做功为W＝F合x＝max＝180 J，D错误。
答案 C
【典型例题6】一木块前端有一滑轮，轻绳的一端系在右方固定处，水平穿过滑轮，另一端用恒力F拉住，保持两股绳之间的夹角θ不变，如图所示，当用力F拉绳使木块前进s时，力F做的功(不计滑轮摩擦)是( )
A．Fscs θ B．Fs(1＋cs θ)
C．2Fscs θ D．2Fs
解析：选B 法一：如图所示，力F作用点的位移l＝2scseq \f(θ,2)，
故拉力F所做的功W＝Flcs α＝2Fscs2eq \f(θ,2)＝Fs(1＋cs θ)。
【对点训练5】如图甲所示，滑轮的质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )
A．物体的加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率为42 W
D．4 s内F的平均功率为42 W
解析：选C 由题图乙可知，v -t图像的斜率表示物体的加速度的大小，即a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可得F＝10.5 N，A、B均错误；4 s末F的作用点的速度大小为vF＝2v物＝4 m/s，故4 s 末F的功率为P＝FvF＝42 W，C正确；4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移l＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝Fl＝84 J，故平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝21 W，D错误。
【对点训练6】[多选]如图所示，轻绳一端受到大小为F的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为m、可视为质点的小物块相连。开始时绳与水平方向的夹角为θ。当小物块从水平面上的A点被拖动到水平面上的B点时，位移为L，随后从B点沿斜面被拖动到定滑轮O处，BO间距离也为L。小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数均为μ，若小物块从A点运动到O点的过程中，F对小物块做的功为WF，小物块在BO段运动过程中克服摩擦力做的功为Wf，则以下结果正确的是( )
A．WF＝FL(cs θ＋1) B．WF＝2FLcs θ
C．Wf＝μmgLcs 2θ D．Wf＝FL－mgLsin 2θ
解析：选BC 小物块从A点运动到O点，拉力F的作用点移动的距离x＝2Lcs θ，所以拉力F做的功WF＝Fx＝2FLcs θ，A错误，B正确；由几何关系知斜面的倾角为2θ，所以小物块在BO段受到的摩擦力f＝μmgcs 2θ，则Wf＝fL＝μmgLcs 2θ，C正确，D错误。
04
体系构建
1．功的正负判断方法
(1)恒力做功的判断：依据力与位移方向的夹角来判断。
(2)曲线运动中功的判断：依据F与v的方向夹角α来判断，0°≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功。
(3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。
2．恒力做功的计算方法
3．总功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W总＝F合lcs α求功，此法要求F合为恒力。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再求和。
4.平均功率的计算方法
(1)利用eq \a\vs4\al(\(P,\s\up6(－)) )＝eq \f(W,t)。
(2)利用eq \(P,\s\up6(－))＝F·eq \(v,\s\up6(－)) cs α，其中eq \(v,\s\up6(－))为物体运动的平均速度，F是恒力。
5.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcs α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
05
记忆清单
1．功的正负判断方法
2．恒力做功的计算方法
3．总功的计算方法
4. 平均功率的计算方法
5. 瞬时功率的计算方法
0601
强化训练
1．如图所示，质量m＝2 kg的滑块以v0＝16 m/s的初速度沿倾角θ＝37°的斜面上滑，经t＝2 s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求滑块：
(1)最大位移值x；
(2)与斜面间的动摩擦因数μ；
(3)从最高点返回到出发点的过程中重力的平均功率eq \x\t(P)。
解析：(1)滑块向上做匀减速直线运动，有x＝eq \f(v0,2)t
得x＝16 m。
(2)以沿斜面向下为正方向，加速度a1＝eq \f(Δv,t)＝8 m/s2
上滑过程a1＝eq \f(mgsin θ＋μmgcs θ,m)＝gsin θ＋μgcs θ
解得μ＝0.25。
(3)下滑过程a2＝eq \f(mgsin θ－μmgcs θ,m)＝gsin θ－μgcs θ＝4 m/s2，由运动学公式vt＝eq \r(2a2x)＝8eq \r(2) m/s≈11.3 m/s
重力的平均功率eq \x\t(P)＝mgeq \x\t(v)cs(90°－θ)＝48eq \r(2) W≈67.9 W。
答案：(1)16 m (2)0.25 (3)67.9 W
2.高台跳水被认为是世界上最难、最美的运动项目之一。运动员在十米跳台跳水比赛中，触水时重力的功率约为( )
A．7 000 W B．700 W
C．70 W D．7 W
解析：选A 运动员入水前的运动过程可看成自由落体运动，故触水时的速度为：v＝eq \r(2gh)＝10eq \r(2) m/s，运动员的质量约为：m＝50 kg，故触水时重力的瞬时功率为：P＝mgv≈7 000 W，故A正确。
3.如图甲所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图乙、丙所示。取g＝10 m/s2，则( )
A.第1 s内推力做功为1 J
B.第2 s内物体克服摩擦力做的功为W＝2.0 J
C.第1.5 s时推力F的功率为2 W
D.第2 s内推力F做功的平均功率eq \(P,\s\up6(－))＝1.5 W
答案 B
解析 由v－t图可知第1 s内物体速度为零没有运动，所以推力做的功为零，故A错误；由v－t图和F－t图可知第3 s内物体匀速则f＝F＝2 N，第2 s内位移为1 m，由P＝fL＝2×1 J＝2.0 J，故B正确；1.5 s时的瞬时速度为1 m/s，推力为3 N，则由P＝Fv＝3×1 W＝3 W，故C错误；第2 s内的推力为3 N，第2 s内物体做匀加速直线运动平均速度为1 m/s，由eq \(P,\s\up6(－))＝Feq \(v,\s\up6(－))＝3×1 W＝3 W，故D错误。
4.据《科技日报》报道，上海中车公司生产的全球最大马力无人遥控潜水器在上海下线。该潜水器自重5×103 kg，主要用于深海搜寻和打捞等。若在某次作业中，潜水器带着4×103 kg的重物从3 000 m 深的海底一起匀速上升到了海面，已知上升过程中潜水器的机械功率恒为180 kW，水对潜水器(含重物)的浮力和阻力相互平衡(g取10 m/s2)，则潜水器上升的时间为( )
A．0.5×103 s B．1.0×103 s
C．1.5×103 s D．2.0×103 s
解析：选C 由题意可知，潜水器(含重物)匀速运动，动力等于重力，F＝(m潜＋m重)g，由P＝Fv可得上升速度为v＝2 m/s，由h＝vt解得潜水器上升的时间为t＝1.5×103 s，C正确。
5.我国自主研制的绞吸挖泥船“天鲲号”达到世界先进水平。若某段工作时间内，“天鲲号”的泥泵输出功率恒为1×104 kW，排泥量为1.4 m3/s，排泥管的横截面积为0.7 m2。则泥泵对排泥管内泥浆的推力为( )
A．5×106 N B．2×107 N
C．2×109 N D．5×109 N
解析：选A 由排泥量和排泥管横截面积可求排泥速度v＝2 m/s。由P＝Fv可得F＝eq \f(P,v)＝5×106 N。
6.仰卧起坐是《国家学生体质健康标准》中规定的女生测试项目之一。根据该标准高三女生一分钟内完成55个以上仰卧起坐记为满分。若某女生一分钟内做了 50个仰卧起坐，其质量为50 kg，上半身质量为总质量的0.6 倍，仰卧起坐时下半身重心位置不变，g取10 m/s2。则测试过程中该女生克服重力做功的平均功率约为( )
A.10 W B.40 W
C.100 W D.200 W
答案 C
解析 该同学身高约1.6 m，则每次上半身重心上升的距离约为h＝eq \f(1,4)×1.6 m＝0.4 m，则她每一次克服重力做的功W＝0.6mgh＝0.6×50×10×0.4 J＝120 J，1 min内她克服重力所做的总功W总＝50W＝50×120 J＝6 000 J，她克服重力做功的平均功率为P＝eq \f(W,t)＝eq \f(6 000,60) W＝100 W，故C正确，A、B、D错误。
7.风力发电是一种环保的电能获取方式。某风力发电机的叶片转动形成的圆面积为S，某时间风的速度大小为v，风向恰好跟此圆面垂直；此时空气的密度为ρ，该风力发电机将空气动能转化为电能的效率为η，则风力发电机发电的功率为( )
A.ηρSv2 B.eq \f(1,2)ηρSv2
C.ηρSv3 D.eq \f(1,2)ηρSv3
答案 D
解析 时间t内，撞击到风力发电机上的空气的动能为Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)ρvtSv2，故风力发电机的功率为P＝eq \f(W,t)＝eq \f(ηEk,t)＝eq \f(1,2)ηρSv3，故D正确。
8.如图所示，质量为M、长度为L的木板放在光滑的水平地面上，在木板的右端放置质量为m的小木块，用一根不可伸长的轻绳通过光滑的定滑轮分别与木块、木板连接，木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块和木板静止，现用水平向右的拉力F作用在木板上，将木块拉向木板左端的过程中，拉力至少做功为( )
A．2μmgL B．eq \f(1,2)μmgL
C．μ(M＋m)gL D．μmgL
解析：选D 拉力做功最小时，木块应做匀速运动，对木块m受力分析，由平衡条件可得FT＝μmg。对木板M受力分析，由平衡条件可得：F＝FT＋μmg，又因当木块从木板右端拉向左端的过程中，木板向右移动的位移l＝eq \f(L,2)，故拉力F所做的功W＝Fl＝μmgL，或者根据功能关系求解，在木块运动到木板左端的过程，因摩擦产生热量为μmgL，D正确。
9.在水平地面上方某处，把质量相同的P、Q两小球以相同速率沿竖直方向抛出，P向上，Q向下，不计空气阻力，两球从抛出到落地的过程中( )
A.P球重力做功较多
B.两球重力的平均功率相等
C.落地前瞬间，P球重力的瞬时功率较大
D.落地前瞬间，两球重力的瞬时功率相等
答案 D
解析 根据W＝mgh可知两球重力做功相同，选项A错误；上抛的小球运动时间长，根据P＝eq \f(W,t)可知两球重力的平均功率不相等，选项B错误；根据机械能守恒定律mgh＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝eq \f(1,2)mv2可知，两球落地的速度相同，由P＝mgv可知落地前瞬间，两球重力的瞬时功率相等，选项C错误，D正确。
10.两个相同物块P、Q分别在大小相等、方向如图所示的恒力F1和F2作用下沿水平面向右运动，物块与水平面间的动摩擦因数相同。在它们前进相同距离的过程中，F1和F2做功分别为W1和W2，P、Q两物块克服摩擦力所做的功分别为Wf1和Wf2，则有( )
A．W1＞W2，Wf1＞Wf2
B．W1＝W2，Wf1＞Wf2
C．W1＞W2，Wf1＝Wf2
D．W1＝W2，Wf1＝Wf2
解析：选A 设物块运动的位移大小为l，F2与水平方向的夹角为θ，由功的公式可知W1＝F1l，W2＝F2lcs θ，因为F1＝F2，则W1＞W2，Wf1＝μmgl，Wf2＝μ(mg－F2sin θ)l，则Wf1＞Wf2，A正确。
11.一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s 内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是( )
A.W1＝W2＝W3 B.W1＜W2＜W3
C.W1＜W3＜W2 D.W1＝W2＜W3
答案 B
解析 在第1 s内，滑块的位移大小为x1＝eq \f(1,2)×1×1 m＝0.5 m，力F做的功为W1＝F1x1＝1×0.5 J＝0.5 J；第2 s内，滑块的位移大小为x2＝eq \f(1,2)×1×1 m＝0.5 m，力F做的功为W2＝F2x2＝3×0.5 J＝1.5 J；第3 s内，滑块的位移大小为x3＝1×1 m＝1 m，力F做的功为W3＝F3x3＝2×1 J＝2 J，所以W1＜W2＜W3，故选项B正确。
12.(2021·浙江1月选考)如图所示，质量m＝2 kg的滑块以v0＝16 m/s的初速度沿倾角θ＝37°的斜面上滑，经t＝2 s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求滑块：
(1)最大位移值x；
(2)与斜面间的动摩擦因数μ；
(3)从最高点返回到出发点的过程中重力的平均功率eq \x\t(P)。
解析：(1)滑块向上做匀减速直线运动，有x＝eq \f(v0,2)t
得x＝16 m。
(2)以沿斜面向下为正方向，加速度a1＝eq \f(Δv,t)＝8 m/s2
上滑过程a1＝eq \f(mgsin θ＋μmgcs θ,m)＝gsin θ＋μgcs θ
解得μ＝0.25。
(3)下滑过程a2＝eq \f(mgsin θ－μmgcs θ,m)＝gsin θ－μgcs θ＝4 m/s2，由运动学公式vt＝eq \r(2a2x)＝8eq \r(2) m/s≈11.3 m/s
重力的平均功率eq \x\t(P)＝mgeq \x\t(v)cs(90°－θ)＝48eq \r(2) W≈67.9 W。
答案：(1)16 m (2)0.25 (3)67.9 W
13.如图所示，滑板静止在水平轨道上，质量m＝2 kg，板长L＝0.6 m，左端A点到轨道上B点距离x＝6 m，滑板与轨道间的动摩擦因数μ＝0.2。现对滑板施加水平向右的推力F＝10 N，作用一段时间后撤去，滑板右端恰能到达B点，求：
(1)推力F作用的时间；
(2)推力F的最大功率。
解析：(1)在外力F作用下，根据牛顿第二定律可知：
F－μmg＝ma1，
解得：a1＝eq \f(F－μmg,m)＝eq \f(10－0.2×2×10,2) m/s2＝3 m/s2
经历的时间为t，则v＝a1t＝3t，
通过的位移为：x1＝eq \f(1,2)a1t2＝eq \f(3,2)t2
撤去外力后的加速度大小为：a′＝eq \f(μmg,m)＝μg＝2 m/s2，
减速通过的位移为：x′＝eq \f(v2,2a′)＝eq \f(9t2,4)
x1＋x′＝x－L
联立解得：t＝1.2 s，v＝3.6 m/s。
(2)推力的最大功率P＝Fv＝10×3.6 W＝36 W。
答案：(1)1.2 s (2)36 W
14.质量m＝20 kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做直线运动。0～2 s 内F与运动方向相反，2～4 s 内F与运动方向相同，物体的v t图像如图所示。g取10 m/s2，则( )
A．拉力F的大小为100 N
B．物体在4 s时拉力的瞬时功率为120 W
C．4 s内拉力所做的功为480 J
D．4 s内物体克服摩擦力做的功为320 J
解析：选B 取物体初速度方向为正方向，由题图可知物体与水平面间存在摩擦力，由题图可知0～2 s内，－F－f＝ma1且a1＝－5 m/s2; 2～4 s内，－F＋f＝ma2且a2＝－1 m/s2，联立以上两式解得F＝60 N，f＝40 N，A错误；由P＝Fv得4 s时拉力的瞬时功率为120 W，B正确；由W＝Fx，0～2 s内，W1＝－Fx1,2～4 s内，W2＝Fx2，由题图可知x1＝10 m，x2＝2 m，代入数据解得，4 s内拉力所做的功为－480 J，C错误；摩擦力做功W＝fs，摩擦力始终与速度方向相反，故s为路程，由题图可求得总路程为12 m，4 s 内物体克服摩擦力做的功为480 J，D错误。
15.[多选]在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为m1、m2，弹簧劲度系数为k，C为一固定挡板，系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，当物块B刚要离开C时，物块A运动的距离为d，速度为v，重力加速度大小为g，则此时( )
A．m2gsin θ＝kd
B．物块A加速度大小为eq \f(F－kd,m1)
C．重力对物块A做功的功率为(kd－m2gsin θ)v
D．弹簧的弹力对物块A做功的功率为(kd－m2gsin θ)v
解析：选BC 开始系统处于静止状态，弹簧弹力等于A的重力沿斜面向下的分力，当B刚离开C时，弹簧的弹力等于B的重力沿斜面向下的分力，故m2gsin θ＝kx2，但由于开始时弹簧是压缩的，故d＞x2，故m2gsin θ＜kd，故A错误；物块A的加速度a＝eq \f(F－kx2－m1gsin θ,m1)，开始弹簧处于压缩状态，压缩量x1＝eq \f(m1gsin θ,k)，又x1＋x2＝d，解得a＝eq \f(F－kd,m1)，故B正确；由于速度v与重力夹角不为零，故重力的瞬时功率等于m1gvsin θ，则由m1gsin θ＝kx1、m2gsin θ＝kx2及x1＋x2＝d得，m1gsin θ＋m2gsin θ＝kd，所以重力做功的功率P＝(kd－m2gsin θ)v，故C正确；当物块B刚要离开C时，弹簧的弹力为m2gsin θ，则弹力对物块A做功的功率为m2sin θ·v，故D错误。
16．飞船返回舱进入大气层后，在离地面20 km处打开减速伞，如图所示。在返回舱减速下降的过程中( )
A．合力做负功
B．重力做负功
C．空气阻力做正功
D．伞绳拉力做正功
解析 飞船返回舱在减速下降过程中，空气阻力向上，重力向下，合力向上，绳拉力向上，而位移向下，故合力做负功，重力做正功，空气阻力做负功，绳的拉力做负功，故A正确，B、C、D错误。
答案 A
课程标准
学习目标
理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。
1、理解功的概念，掌握功的计算式。
2、知道功是标量，理解正功、负功的含义。知道几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体做功的代数和。
3、理解功率的概念，会运用极限思想得到瞬时功率表达式P=Fv。关注生产生活中常见机械做功、功率大小及其意义。
4、能分析汽车发动机功率一定时，牵引力与速度之间的关系，并能分析、解释实际生活中的现象。
做功情形
图例
备注
都做正功
(1)一对相互作用力做的总功与参考系无关
(2)一对相互作用力做的总功W＝Flcs α。l是相对位移，α是F与l间的夹角
(3)一对相互作用力做的总功可正、可负，也可为零
都做负功
一正一负
一为零
一为正
一为负
02
预习导学
课前研读课本，梳理基础知识：
一、功
1.定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2.必要因素：力和物体在力的方向上发生的位移。
3.物理意义：功是能量转化的量度。
4.计算公式
(1)恒力F的方向与位移l的方向一致时：W＝Fl。
(2)恒力F的方向与位移l的方向成某一夹角α时：W＝Flcs__α。
5.功的正负
(1)当0≤α＜eq \f(π,2)时，W＞0，这表示力对物体做正功。
(2)当eq \f(π,2)＜α≤π时，W＜0，这表示力对物体做负功。
(3)当α＝eq \f(π,2)时，W＝0，力对物体不做功。
6.一对作用力与反作用力的功
7.一对平衡力的功
一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功一定是数值相等，一正一负或均为零。
二、功率
1.定义：功W与完成这些功所用时间t的比值。
2.物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式
(1)P＝eq \f(W,t)，P为时间t内的平均功率。
(2)P＝Fvcs_α(α为F与v的夹角)
①若F为恒力，v为平均速度，则P为平均功率；
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解。
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率。
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率。
（二）即时练习：
【小试牛刀1】如图，物块A、B在外力F的作用下一起沿水平地面做匀速直线运动的过程中，下列关于A对地面的滑动摩擦力做功和B对A的静摩擦力做功的说法正确的是( )
A．静摩擦力做正功，滑动摩擦力做负功
B．静摩擦力不做功，滑动摩擦力做负功
C．静摩擦力做正功，滑动摩擦力不做功
D．静摩擦力做负功，滑动摩擦力做正功
解析：选C 把物块A、B看成一个整体，一起沿水平地面做匀速直线运动，所以fA－地＝f地－A＝F，其中f地－A的方向与运动方向相反，故地面对A的滑动摩擦力做负功，因为地面没有位移，所以A对地面的滑动摩擦力不做功；选择A作为研究对象，A做匀速运动，所以fB－A＝f地－A＝F，其中B对A的静摩擦力的方向与运动方向相同，故B对A的静摩擦力做正功。综上可知，C正确。
【小试牛刀2】如图所示，质量为m的物体在恒力F的作用下从底端沿斜面向上一直匀速运动到顶端，斜面高h，倾斜角为θ，现把物体放在顶端，发现物体在轻微扰动后可匀速下滑，重力加速度大小为g。则在上升过程中恒力F做的功为( )
A．Fh B．mgh
C．2mgh D．无法确定
解析：选C 把物体放在顶端，发现物体在轻微扰动后可匀速下滑，则物体受力平衡，则有f＝mgsin θ，上滑过程中，物体也做匀速直线运动，受力平衡，则有F＝mgsin θ＋f＝2mgsin θ，则在上升过程中恒力F做的功W＝Fx＝2mgsin θ·eq \f(h,sin θ)＝2mgh，故C正确。
【小试牛刀3】如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，则小球落在斜面上时重力的瞬时功率为(不计空气阻力)( )
A．mgv0tan θ B．eq \f(mgv0,tan θ)
C．eq \f(mgv0,sin θ) D．mgv0cs θ
解析：选B 小球落在斜面上时重力的瞬时功率为P＝mgvy，而vytan θ＝v0，所以P＝eq \f(mgv0,tan θ)，B正确。
03
题型精讲
【题型一】恒力做功问题
【典型例题1】(多选)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下述说法正确的是( )
A．摩擦力对物体做正功
B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体不做功
D．合力对物体做功为零
解析：选ACD 取物体为研究对象，受力分析如图所示，受重力mg、沿皮带向上的静摩擦力Ff和垂直于皮带的支持力FN，由于Ff方向与运动方向一致，做正功，A正确，B错误；FN方向与运动方向垂直，不做功，C正确；由于匀速运动，合力为0，D正确。
【典型例题2】一篮球质量为m＝0.60 kg，一运动员使其从距地面高度为h1＝1.8 m处由静止自由落下，反弹高度为h2＝1.2 m。若使篮球从距地面h3＝1.5 m的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹的高度也为1.5 m。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为t＝0.20 s；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小取g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)运动员拍球过程中对篮球所做的功；
(2)运动员拍球时对篮球的作用力的大小。
解析：(1)使篮球从距地面高度为h1处由静止自由落下时，设篮球的落地速度大小为v1，根据自由落体运动的规律有v12＝2gh1，
设篮球被地面反弹时的速度大小为v2，则有v22＝2gh2，
则篮球与地面碰撞前、后的动能之比eq \f(Ek1,Ek2)＝eq \f(\f(1,2)mv12,\f(1,2)mv22)＝eq \f(h1,h2)＝eq \f(3,2)。使篮球从距地面h3的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，设篮球的落地速度大小为v3，反弹后的速度大小为v4，则有v42＝2gh3，
因为篮球每次与地面碰撞前、后的动能的比值不变，所以有eq \f(\f(1,2)mv32,\f(1,2)mv42)＝eq \f(3,2)，设运动员拍球过程中对篮球做的功为W，根据动能定理有W＋mgh3＝eq \f(1,2)mv32，解得W＝4.5 J。
(2)篮球在受到力F作用的时间内，根据牛顿第二定律得，加速度a＝eq \f(mg＋F,m)，篮球的位移x＝eq \f(1,2)at2，
运动员对篮球做的功W＝Fx，
联立解得F＝9 N。
答案：(1)4.5 J (2)9 N
【对点训练1】（多选）如图所示，质量为m的物体相对静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离l，物体相对斜面静止，则下列说法正确的是（ ）
A．重力对物体做正功B．合力对物体做功为零
C．摩擦力对物体做负功D．支持力对物体做正功
答案：BCD
解析：重力竖直向下，位移水平向右，故重力对物体不做功，故A错误；
合力为0，故合力对物体做功为零，故B正确；
摩擦力沿斜面向上，与位移的夹角为钝角，故摩擦力对物体做负功，故C正确；
支持力垂直于斜面向上，与位移的夹角为锐角，故支持力对物体做正功，故D正确。
故选BCD。
【对点训练2】如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，雪橇受到的( )
A．支持力做功为mgl
B．重力做功为mgl
C．拉力做功为Flcs θ
D．滑动摩擦力做功为－μmgl
解析 根据功的定义式，支持力和重力做功均为0，拉力做功为Flcs θ，滑动摩擦力f＝μ(mg－Fsin θ)，做功为－μ(mg－Fsin θ)l，故只有C项对。
答案 C
【题型二】功率问题
【典型例题3】一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时速率为1 m/s。从此刻开始在与速度平行的方向上对其施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图甲、乙所示，则(两图取同一正方向，重力加速度g＝10 m/s2)( )
A．滑块的质量为0.5 kg
B．滑块与水平地面间的动摩擦因数为0.5
C．第1 s内摩擦力对滑块做功为－1 J
D．第2 s内力F的平均功率为1.5 W
解析：选D 滑块运动的加速度大小a＝eq \f(Δv,Δt)＝1 m/s2，由题图知，第1 s内有Ff＋F＝ma，第2 s内有F′－Ff＝ma，则Ff＋1 N＝3 N－Ff，故Ff＝1 N，m＝2 kg，又由Ff＝μmg可得动摩擦因数μ＝0.05，故A、B错误；第1 s内滑块的位移大小为x＝0.5 m，根据功的公式可得第1 s内摩擦力对滑块做功为－0.5 J，故C错误；根据v-t图像可知，第2 s内的平均速度大小eq \x\t(v)＝0.5 m/s，所以第2 s内力F的平均功率P＝Feq \x\t(v)＝3×0.5 W＝1.5 W，故D正确。
【典型例题4】一物体在粗糙的水平面上受到水平拉力作用，在一段时间内的速度随时间变化情况如图7所示。关于拉力的功率随时间变化的图像下图中可能正确的是( )
答案 D
解析 由题图知：在0～t0时间内，物体做初速度为零的匀加速运动，v＝at，由牛顿第二定律得F－f＝ma，则拉力的功率为P＝Fv＝(f＋ma)v＝(f＋ma)at，可知功率的图像为过原点的倾斜直线；在t0时刻以后，物体做匀速运动，v不变，则F＝f，P＝Fv＝fv，P不变，可知功率图像为水平直线，且功率的值小于加速阶段功率的最大值，故D正确。
【对点训练3】如图，某小学举行拍皮球比赛，一参赛者将皮球从0.8 m高度处以一定的初速度竖直向下拋出，皮球碰地反弹后恰好可以返回原来高度，此时参赛者立即用手竖直向下拍皮球，使皮球获得一个速度，之后皮球又恰能回到原来高度，如此反复。已知皮球每次碰地反弹的速率均为碰地前瞬间速率的0.8倍，皮球的质量为0.5 kg，重力加速度取10 m/s2，不计空气阻力和球与手、地面的接触时间。求：
(1)皮球来回运动一次的时间；
(2)参赛者拍皮球过程中做功的平均功率。
答案 (1)0.6 s (2)eq \f(15,4) W
解析 (1)设皮球被手拍出时的速率为v0，碰地前瞬间的速率为v，则皮球刚反弹回来时的速率为0.8v，皮球向上运动的时间为t1，向下运动的时间为t2，根据运动学规律可得02－(0.8v)2＝－2gh，0＝0.8v－gt1，v2－veq \\al(2,0)＝2gh，v＝v0＋gt2，皮球来回运动一次的时间为t＝t1＋t2，解得t＝0.6 s。
(2)每次拍皮球时，参赛者对皮球做的功W＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
参赛者拍皮球过程中做功的平均功率P＝eq \f(W,t)
解得P＝eq \f(15,4) W。
【对点训练4】一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度释放小球。如图所示，小球从开始运动至轻绳到达竖直位置的过程中，小球重力的瞬时功率的变化情况是( )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
解析：选C 小球在初位置重力做功的功率为零，在最低点，由于重力的方向与速度方向垂直，则重力做功的功率为零，因为初、末位置重力做功的功率都为零，则小球从开始运动至轻绳到达竖直位置的过程中重力做功的功率先增大后减小，C正确。
【题型三】涉及动滑轮的问题及临界问题
【典型例题5】如图所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力F提升原来静止的质量为m＝10 kg的物体，使其以大小为a＝2 m/s2的加速度匀加速上升，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．前3 s内力F做的功为720 J
B．前3 s内力F做的功为540 J
C．3 s末重力的功率大小为600 W
D．物体在3 s内所受合力做的功为1 080 J
解析 物体受到两个力的作用：拉力F′和重力mg，其中F′＝2F，由牛顿第二定律得F′－mg＝ma，F′＝m(g＋a)＝120 N，则F＝60 N，物体由静止开始运动，3 s内的位移为x＝eq \f(1,2)at2＝9 m，3 s末的速度为v＝at＝6 m/s，力F的作用点为绳的端点，而在物体发生9 m位移的过程中，绳的端点的位移为2l＝18 m，所以力F做的功W＝F·2x＝60×18 J＝1 080 J，A、B错误；3 s末重力的功率大小为mgv＝600 W，C正确；根据动能定理，物体在3 s内所受合力做功为W＝F合x＝max＝180 J，D错误。
答案 C
【典型例题6】一木块前端有一滑轮，轻绳的一端系在右方固定处，水平穿过滑轮，另一端用恒力F拉住，保持两股绳之间的夹角θ不变，如图所示，当用力F拉绳使木块前进s时，力F做的功(不计滑轮摩擦)是( )
A．Fscs θ B．Fs(1＋cs θ)
C．2Fscs θ D．2Fs
解析：选B 法一：如图所示，力F作用点的位移l＝2scseq \f(θ,2)，
故拉力F所做的功W＝Flcs α＝2Fscs2eq \f(θ,2)＝Fs(1＋cs θ)。
【对点训练5】如图甲所示，滑轮的质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )
A．物体的加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率为42 W
D．4 s内F的平均功率为42 W
解析：选C 由题图乙可知，v -t图像的斜率表示物体的加速度的大小，即a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可得F＝10.5 N，A、B均错误；4 s末F的作用点的速度大小为vF＝2v物＝4 m/s，故4 s 末F的功率为P＝FvF＝42 W，C正确；4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移l＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝Fl＝84 J，故平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝21 W，D错误。
【对点训练6】[多选]如图所示，轻绳一端受到大小为F的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为m、可视为质点的小物块相连。开始时绳与水平方向的夹角为θ。当小物块从水平面上的A点被拖动到水平面上的B点时，位移为L，随后从B点沿斜面被拖动到定滑轮O处，BO间距离也为L。小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数均为μ，若小物块从A点运动到O点的过程中，F对小物块做的功为WF，小物块在BO段运动过程中克服摩擦力做的功为Wf，则以下结果正确的是( )
A．WF＝FL(cs θ＋1) B．WF＝2FLcs θ
C．Wf＝μmgLcs 2θ D．Wf＝FL－mgLsin 2θ
解析：选BC 小物块从A点运动到O点，拉力F的作用点移动的距离x＝2Lcs θ，所以拉力F做的功WF＝Fx＝2FLcs θ，A错误，B正确；由几何关系知斜面的倾角为2θ，所以小物块在BO段受到的摩擦力f＝μmgcs 2θ，则Wf＝fL＝μmgLcs 2θ，C正确，D错误。
04
体系构建
1．功的正负判断方法
(1)恒力做功的判断：依据力与位移方向的夹角来判断。
(2)曲线运动中功的判断：依据F与v的方向夹角α来判断，0°≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功。
(3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。
2．恒力做功的计算方法
3．总功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W总＝F合lcs α求功，此法要求F合为恒力。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再求和。
4.平均功率的计算方法
(1)利用eq \a\vs4\al(\(P,\s\up6(－)) )＝eq \f(W,t)。
(2)利用eq \(P,\s\up6(－))＝F·eq \(v,\s\up6(－)) cs α，其中eq \(v,\s\up6(－))为物体运动的平均速度，F是恒力。
5.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcs α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
05
记忆清单
1．功的正负判断方法
2．恒力做功的计算方法
3．总功的计算方法
4. 平均功率的计算方法
5. 瞬时功率的计算方法
0601
强化训练
1．如图所示，质量m＝2 kg的滑块以v0＝16 m/s的初速度沿倾角θ＝37°的斜面上滑，经t＝2 s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求滑块：
(1)最大位移值x；
(2)与斜面间的动摩擦因数μ；
(3)从最高点返回到出发点的过程中重力的平均功率eq \x\t(P)。
解析：(1)滑块向上做匀减速直线运动，有x＝eq \f(v0,2)t
得x＝16 m。
(2)以沿斜面向下为正方向，加速度a1＝eq \f(Δv,t)＝8 m/s2
上滑过程a1＝eq \f(mgsin θ＋μmgcs θ,m)＝gsin θ＋μgcs θ
解得μ＝0.25。
(3)下滑过程a2＝eq \f(mgsin θ－μmgcs θ,m)＝gsin θ－μgcs θ＝4 m/s2，由运动学公式vt＝eq \r(2a2x)＝8eq \r(2) m/s≈11.3 m/s
重力的平均功率eq \x\t(P)＝mgeq \x\t(v)cs(90°－θ)＝48eq \r(2) W≈67.9 W。
答案：(1)16 m (2)0.25 (3)67.9 W
2.高台跳水被认为是世界上最难、最美的运动项目之一。运动员在十米跳台跳水比赛中，触水时重力的功率约为( )
A．7 000 W B．700 W
C．70 W D．7 W
解析：选A 运动员入水前的运动过程可看成自由落体运动，故触水时的速度为：v＝eq \r(2gh)＝10eq \r(2) m/s，运动员的质量约为：m＝50 kg，故触水时重力的瞬时功率为：P＝mgv≈7 000 W，故A正确。
3.如图甲所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图乙、丙所示。取g＝10 m/s2，则( )
A.第1 s内推力做功为1 J
B.第2 s内物体克服摩擦力做的功为W＝2.0 J
C.第1.5 s时推力F的功率为2 W
D.第2 s内推力F做功的平均功率eq \(P,\s\up6(－))＝1.5 W
答案 B
解析 由v－t图可知第1 s内物体速度为零没有运动，所以推力做的功为零，故A错误；由v－t图和F－t图可知第3 s内物体匀速则f＝F＝2 N，第2 s内位移为1 m，由P＝fL＝2×1 J＝2.0 J，故B正确；1.5 s时的瞬时速度为1 m/s，推力为3 N，则由P＝Fv＝3×1 W＝3 W，故C错误；第2 s内的推力为3 N，第2 s内物体做匀加速直线运动平均速度为1 m/s，由eq \(P,\s\up6(－))＝Feq \(v,\s\up6(－))＝3×1 W＝3 W，故D错误。
4.据《科技日报》报道，上海中车公司生产的全球最大马力无人遥控潜水器在上海下线。该潜水器自重5×103 kg，主要用于深海搜寻和打捞等。若在某次作业中，潜水器带着4×103 kg的重物从3 000 m 深的海底一起匀速上升到了海面，已知上升过程中潜水器的机械功率恒为180 kW，水对潜水器(含重物)的浮力和阻力相互平衡(g取10 m/s2)，则潜水器上升的时间为( )
A．0.5×103 s B．1.0×103 s
C．1.5×103 s D．2.0×103 s
解析：选C 由题意可知，潜水器(含重物)匀速运动，动力等于重力，F＝(m潜＋m重)g，由P＝Fv可得上升速度为v＝2 m/s，由h＝vt解得潜水器上升的时间为t＝1.5×103 s，C正确。
5.我国自主研制的绞吸挖泥船“天鲲号”达到世界先进水平。若某段工作时间内，“天鲲号”的泥泵输出功率恒为1×104 kW，排泥量为1.4 m3/s，排泥管的横截面积为0.7 m2。则泥泵对排泥管内泥浆的推力为( )
A．5×106 N B．2×107 N
C．2×109 N D．5×109 N
解析：选A 由排泥量和排泥管横截面积可求排泥速度v＝2 m/s。由P＝Fv可得F＝eq \f(P,v)＝5×106 N。
6.仰卧起坐是《国家学生体质健康标准》中规定的女生测试项目之一。根据该标准高三女生一分钟内完成55个以上仰卧起坐记为满分。若某女生一分钟内做了 50个仰卧起坐，其质量为50 kg，上半身质量为总质量的0.6 倍，仰卧起坐时下半身重心位置不变，g取10 m/s2。则测试过程中该女生克服重力做功的平均功率约为( )
A.10 W B.40 W
C.100 W D.200 W
答案 C
解析 该同学身高约1.6 m，则每次上半身重心上升的距离约为h＝eq \f(1,4)×1.6 m＝0.4 m，则她每一次克服重力做的功W＝0.6mgh＝0.6×50×10×0.4 J＝120 J，1 min内她克服重力所做的总功W总＝50W＝50×120 J＝6 000 J，她克服重力做功的平均功率为P＝eq \f(W,t)＝eq \f(6 000,60) W＝100 W，故C正确，A、B、D错误。
7.风力发电是一种环保的电能获取方式。某风力发电机的叶片转动形成的圆面积为S，某时间风的速度大小为v，风向恰好跟此圆面垂直；此时空气的密度为ρ，该风力发电机将空气动能转化为电能的效率为η，则风力发电机发电的功率为( )
A.ηρSv2 B.eq \f(1,2)ηρSv2
C.ηρSv3 D.eq \f(1,2)ηρSv3
答案 D
解析 时间t内，撞击到风力发电机上的空气的动能为Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)ρvtSv2，故风力发电机的功率为P＝eq \f(W,t)＝eq \f(ηEk,t)＝eq \f(1,2)ηρSv3，故D正确。
8.如图所示，质量为M、长度为L的木板放在光滑的水平地面上，在木板的右端放置质量为m的小木块，用一根不可伸长的轻绳通过光滑的定滑轮分别与木块、木板连接，木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块和木板静止，现用水平向右的拉力F作用在木板上，将木块拉向木板左端的过程中，拉力至少做功为( )
A．2μmgL B．eq \f(1,2)μmgL
C．μ(M＋m)gL D．μmgL
解析：选D 拉力做功最小时，木块应做匀速运动，对木块m受力分析，由平衡条件可得FT＝μmg。对木板M受力分析，由平衡条件可得：F＝FT＋μmg，又因当木块从木板右端拉向左端的过程中，木板向右移动的位移l＝eq \f(L,2)，故拉力F所做的功W＝Fl＝μmgL，或者根据功能关系求解，在木块运动到木板左端的过程，因摩擦产生热量为μmgL，D正确。
9.在水平地面上方某处，把质量相同的P、Q两小球以相同速率沿竖直方向抛出，P向上，Q向下，不计空气阻力，两球从抛出到落地的过程中( )
A.P球重力做功较多
B.两球重力的平均功率相等
C.落地前瞬间，P球重力的瞬时功率较大
D.落地前瞬间，两球重力的瞬时功率相等
答案 D
解析 根据W＝mgh可知两球重力做功相同，选项A错误；上抛的小球运动时间长，根据P＝eq \f(W,t)可知两球重力的平均功率不相等，选项B错误；根据机械能守恒定律mgh＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝eq \f(1,2)mv2可知，两球落地的速度相同，由P＝mgv可知落地前瞬间，两球重力的瞬时功率相等，选项C错误，D正确。
10.两个相同物块P、Q分别在大小相等、方向如图所示的恒力F1和F2作用下沿水平面向右运动，物块与水平面间的动摩擦因数相同。在它们前进相同距离的过程中，F1和F2做功分别为W1和W2，P、Q两物块克服摩擦力所做的功分别为Wf1和Wf2，则有( )
A．W1＞W2，Wf1＞Wf2
B．W1＝W2，Wf1＞Wf2
C．W1＞W2，Wf1＝Wf2
D．W1＝W2，Wf1＝Wf2
解析：选A 设物块运动的位移大小为l，F2与水平方向的夹角为θ，由功的公式可知W1＝F1l，W2＝F2lcs θ，因为F1＝F2，则W1＞W2，Wf1＝μmgl，Wf2＝μ(mg－F2sin θ)l，则Wf1＞Wf2，A正确。
11.一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s 内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是( )
A.W1＝W2＝W3 B.W1＜W2＜W3
C.W1＜W3＜W2 D.W1＝W2＜W3
答案 B
解析 在第1 s内，滑块的位移大小为x1＝eq \f(1,2)×1×1 m＝0.5 m，力F做的功为W1＝F1x1＝1×0.5 J＝0.5 J；第2 s内，滑块的位移大小为x2＝eq \f(1,2)×1×1 m＝0.5 m，力F做的功为W2＝F2x2＝3×0.5 J＝1.5 J；第3 s内，滑块的位移大小为x3＝1×1 m＝1 m，力F做的功为W3＝F3x3＝2×1 J＝2 J，所以W1＜W2＜W3，故选项B正确。
12.(2021·浙江1月选考)如图所示，质量m＝2 kg的滑块以v0＝16 m/s的初速度沿倾角θ＝37°的斜面上滑，经t＝2 s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求滑块：
(1)最大位移值x；
(2)与斜面间的动摩擦因数μ；
(3)从最高点返回到出发点的过程中重力的平均功率eq \x\t(P)。
解析：(1)滑块向上做匀减速直线运动，有x＝eq \f(v0,2)t
得x＝16 m。
(2)以沿斜面向下为正方向，加速度a1＝eq \f(Δv,t)＝8 m/s2
上滑过程a1＝eq \f(mgsin θ＋μmgcs θ,m)＝gsin θ＋μgcs θ
解得μ＝0.25。
(3)下滑过程a2＝eq \f(mgsin θ－μmgcs θ,m)＝gsin θ－μgcs θ＝4 m/s2，由运动学公式vt＝eq \r(2a2x)＝8eq \r(2) m/s≈11.3 m/s
重力的平均功率eq \x\t(P)＝mgeq \x\t(v)cs(90°－θ)＝48eq \r(2) W≈67.9 W。
答案：(1)16 m (2)0.25 (3)67.9 W
13.如图所示，滑板静止在水平轨道上，质量m＝2 kg，板长L＝0.6 m，左端A点到轨道上B点距离x＝6 m，滑板与轨道间的动摩擦因数μ＝0.2。现对滑板施加水平向右的推力F＝10 N，作用一段时间后撤去，滑板右端恰能到达B点，求：
(1)推力F作用的时间；
(2)推力F的最大功率。
解析：(1)在外力F作用下，根据牛顿第二定律可知：
F－μmg＝ma1，
解得：a1＝eq \f(F－μmg,m)＝eq \f(10－0.2×2×10,2) m/s2＝3 m/s2
经历的时间为t，则v＝a1t＝3t，
通过的位移为：x1＝eq \f(1,2)a1t2＝eq \f(3,2)t2
撤去外力后的加速度大小为：a′＝eq \f(μmg,m)＝μg＝2 m/s2，
减速通过的位移为：x′＝eq \f(v2,2a′)＝eq \f(9t2,4)
x1＋x′＝x－L
联立解得：t＝1.2 s，v＝3.6 m/s。
(2)推力的最大功率P＝Fv＝10×3.6 W＝36 W。
答案：(1)1.2 s (2)36 W
14.质量m＝20 kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做直线运动。0～2 s 内F与运动方向相反，2～4 s 内F与运动方向相同，物体的v t图像如图所示。g取10 m/s2，则( )
A．拉力F的大小为100 N
B．物体在4 s时拉力的瞬时功率为120 W
C．4 s内拉力所做的功为480 J
D．4 s内物体克服摩擦力做的功为320 J
解析：选B 取物体初速度方向为正方向，由题图可知物体与水平面间存在摩擦力，由题图可知0～2 s内，－F－f＝ma1且a1＝－5 m/s2; 2～4 s内，－F＋f＝ma2且a2＝－1 m/s2，联立以上两式解得F＝60 N，f＝40 N，A错误；由P＝Fv得4 s时拉力的瞬时功率为120 W，B正确；由W＝Fx，0～2 s内，W1＝－Fx1,2～4 s内，W2＝Fx2，由题图可知x1＝10 m，x2＝2 m，代入数据解得，4 s内拉力所做的功为－480 J，C错误；摩擦力做功W＝fs，摩擦力始终与速度方向相反，故s为路程，由题图可求得总路程为12 m，4 s 内物体克服摩擦力做的功为480 J，D错误。
15.[多选]在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为m1、m2，弹簧劲度系数为k，C为一固定挡板，系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，当物块B刚要离开C时，物块A运动的距离为d，速度为v，重力加速度大小为g，则此时( )
A．m2gsin θ＝kd
B．物块A加速度大小为eq \f(F－kd,m1)
C．重力对物块A做功的功率为(kd－m2gsin θ)v
D．弹簧的弹力对物块A做功的功率为(kd－m2gsin θ)v
解析：选BC 开始系统处于静止状态，弹簧弹力等于A的重力沿斜面向下的分力，当B刚离开C时，弹簧的弹力等于B的重力沿斜面向下的分力，故m2gsin θ＝kx2，但由于开始时弹簧是压缩的，故d＞x2，故m2gsin θ＜kd，故A错误；物块A的加速度a＝eq \f(F－kx2－m1gsin θ,m1)，开始弹簧处于压缩状态，压缩量x1＝eq \f(m1gsin θ,k)，又x1＋x2＝d，解得a＝eq \f(F－kd,m1)，故B正确；由于速度v与重力夹角不为零，故重力的瞬时功率等于m1gvsin θ，则由m1gsin θ＝kx1、m2gsin θ＝kx2及x1＋x2＝d得，m1gsin θ＋m2gsin θ＝kd，所以重力做功的功率P＝(kd－m2gsin θ)v，故C正确；当物块B刚要离开C时，弹簧的弹力为m2gsin θ，则弹力对物块A做功的功率为m2sin θ·v，故D错误。
16．飞船返回舱进入大气层后，在离地面20 km处打开减速伞，如图所示。在返回舱减速下降的过程中( )
A．合力做负功
B．重力做负功
C．空气阻力做正功
D．伞绳拉力做正功
解析 飞船返回舱在减速下降过程中，空气阻力向上，重力向下，合力向上，绳拉力向上，而位移向下，故合力做负功，重力做正功，空气阻力做负功，绳的拉力做负功，故A正确，B、C、D错误。
答案 A
课程标准
学习目标
理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。
1、理解功的概念，掌握功的计算式。
2、知道功是标量，理解正功、负功的含义。知道几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体做功的代数和。
3、理解功率的概念，会运用极限思想得到瞬时功率表达式P=Fv。关注生产生活中常见机械做功、功率大小及其意义。
4、能分析汽车发动机功率一定时，牵引力与速度之间的关系，并能分析、解释实际生活中的现象。
做功情形
图例
备注
都做正功
(1)一对相互作用力做的总功与参考系无关
(2)一对相互作用力做的总功W＝Flcs α。l是相对位移，α是F与l间的夹角
(3)一对相互作用力做的总功可正、可负，也可为零
都做负功
一正一负
一为零
一为正
一为负
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