2024年重庆市中考数学高频考点训练试卷（解析卷）

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1 . 2024的倒数是（ ）
A．B．2024C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”．
【详解】解：2024的倒数．
故选：A．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，中心对称，是针对两个图形而言，是指两个图形的(位置)关系；如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解．
【详解】解：A选项，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B选项，不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C选项，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
3 . 某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．18，7.5B．18，7C．7，8D．7，7.5
【答案】D
【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为7，
因为该班有40名同学，所以中位数为第20和21名同学时间，第20名同学的时间为，第21名同学的时间为，
所以中位数为．
故选：D．
4. 估算的值在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
【答案】B
【分析】先化简，后估算计算即可．
【详解】，
∵，
∴
即，
故选B．
5 . 关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0
【答案】D
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，
则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．
故选：D．
函数与在同一坐标系中的图象如图所示，
则函数的大致图象为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察图象得：与y轴交于负半轴，反比例函数位于第一、三象限内，可得，，即可求解．
【详解】解：观察图象得：与y轴交于负半轴，反比例函数位于第一、三象限内，
∴，，
∴，
∴函数的图象经过第二、三、四象限．
故选：A
7 .如图，是的切线，，为切点，过点作交于点，连接，
若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和为，求得，根据圆周角定理得出，然后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
故选：A．
如图，在中，，，．按以下步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心、大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
②作直线MN交AC于点D，则CD的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和得到∠C=180°-75°-60°=45°，根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD，
求得∠BDC=90°，得到∠ADB=90°，利用含30度的直角三角形以及勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=60°，
∴∠C=180°-75°-60°=45°，
由作图步骤得，直线MN是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠C=45°，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADB=90°，
∵AB=2，且∠ABD=30°，
∴AD=1，BD=，
∴CD=BD，
故选：D．
9 . 如图，在正方形中，，E是的中点，F是延长线上的点，
将沿折叠得到．连接并延长分别交、于O、H两点，
若，则的长度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解：设，则，由翻折可知，，易证根据相似的性质得解得及，勾股定理求出，再证得即可求解．
【详解】解：设，则，
由翻折可知，
，
，E是的中点，
，
由题意可知：
，
，
，
即，
解得，
，
，
又，
，
，
，
，
即：，
解得：，
故选：A．
10 . 如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，
且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：
①；②；③；④一元二次方程没有实数根．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的顶点坐标和对称性可得到抛物线与与x轴的另一个交点在点和之间，又开口向下可判断①；根据对称轴方程可得到，进而可判断②；根据顶点坐标公式可判断③；由函数的最大值结合图像可判断④．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为，
∵抛物线与x轴的一个交点在点和之间，
∴抛物线与与x轴的另一个交点在点和之间，又开口向下，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，故③正确；
∵该函数的最大值为，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④错误，
综上，正确的结论有3个，
故选：C．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11 . 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，
那么小球最终停留在黑色区域的概率是___________．

【答案】
【分析】先计算黑色区域的面积，根据黑色方砖占总方砖的比例可得出概念．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖有块，共有块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
12. 计算： ．
【答案】
【分析】由算术平方根性质解得，由解得，据此解题．
【详解】解：
．
故答案为：．
13. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根的值是 ．
【答案】
【分析】由题意可把代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
【详解】解：由题意把代入一元二次方程得：
，解得：，
∴原方程为，
解方程得：，
∴方程的另一个根为；
故答案为：．
14 . 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
15 . 如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，
设法使斜边 保持水平，边与点B在同一直线上，
已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为米，
他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是 m．

【答案】
【分析】在中，根据正切定义求出，再在中根据求出，即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
在中，
，且 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为．
16 .如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在反比例函数的图象上，
顶点B在反比例函数的图象上，轴，若的面积为4，则 ．

【答案】11
【分析】根据反比例函数解析式中，k的几何意义求解．
【详解】如图，延长交y轴于点C，
，，
∵
∴，
解得

故答案为：11．
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，
将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF=__________．

【答案】
解：过E作EH⊥CF于H，则有∠HEC+∠ECH=90°，
由折叠的性质得：BE=EF，∠BEA=∠FEA，
∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴EF=CE，∴∠FEH=∠CEH，∴∠AEB+∠CEH=90°，
∴∠ECH=∠AEB，即∠ECF=∠AEB，
在矩形ABCD中，∵∠B=90°，∴ AE==10，
∴sin∠ECF=sin∠AEB= = ，
故答案为．

18 . 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，
如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为 千米．

【答案】
【分析】设直线的解析式为：，直线的解析式为：；得到直线和的解析式，求出当时，的值，即可．
【详解】由图象可知，点和在直线上，
∴设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
当时，，
∴，
∵点，点在直线上，
∴直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
∴当时，，
∴小泽距甲地的距离为：（千米）．
故答案为：．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）
19. 计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
（2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可．
【详解】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
=
20. 在平行四边形中，为边上的一点，连接，．

用尺规完成以下基本作图：过点作垂直于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
在（1）所作的图形中，连接，若，证明：四边形为菱形．
证明：∵四边形是平行四边形
∴ ①
∵
∴
即 ②
∵
即且
∴四边形为 ③
又∵ ④
∴四边形AFCE为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)①； ②；③；平行四边形； ④
【分析】（1）根据作线段垂直平分线的作法即可；
（2）先证明四边形为平行四边形，根据（1）可得对角线互相垂直，进而即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，过点作垂直于点，交于点；
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴
即
∵
即且
∴四边形为平行四边形
又∵
∴四边形为菱形．
21 .某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中m= ，n= ，并把条形统计图补充完整．
（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，
请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．
（男生分别用代码 A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示）
【答案】（1）40，20，30，作图见试题解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）由题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），然后根据扇形统计图的知识，可求得m，n的值，继而补全统计图；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A等级中一男一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），∵n%=×100%=30%，∴m%=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%，∴m=20，n=30；
如图：
故答案为40，20，30；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，∴A等级中一男一女参加比赛的概率为：=．
某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，
B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，
若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．
求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2） 若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，
药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，
在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？
【答案】（1）1.8元；2.5元 （2）2000个
【分析】（1）设A种品牌的口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，根据用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍列出方程，解方程即可．
（2）先设B种品牌口罩购进m件，则A品牌口罩购进（6000-m）个，根据全部出售后所获利润不低于3000元列出不等式，求解即可．
【详解】（1）设A种品牌的口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，依题意得：
解得x=1.8，
经检验x=1.8是原方程的解，
x+1.8=2.5（元），
答：A种品牌的口罩每个的进价为1.8元，B种品牌的口罩每个的进价为2.5元．
（2）设购进B种品牌的口罩m个，则A品牌口罩购进（6000-m）个，根据题意得，
（2-1.8）（6000-m）+（3-2.5）m≥1800，
解得m≥2000，
∵m为整数，
∴m的最小值为2000．
答：最少购进种B品牌的口罩2000个．
23. 如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，
测量知，．当AB，BC转动到，时，
求点C到直线AE的距离．
（精确到0．1cm，参考数据：，，）

解：如图所示：过点作垂足为
过点作垂足为
过点作垂足为

∴四边形是矩形，
在中，
在中，
即
∴点C到直线AE的距离为
24 . 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．

求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
点为轴上一动点，试确定点并求出它的坐标，使最小；
利用函数图象直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)
(3)或
【分析】（1）把代入即可求出，把代入即可求出得到，
把，代入即可求得一次函数解析式；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长度就是的最小值，
求出直线与轴的交点即为点的坐标；
（3）由函数的图象即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
反比例函数解析式为：，
把代入得：，
解得：，
，
把，代入得：，
解得：，
一次函数解析式为：；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
，
由轴对称的性质可得：，，则的长度就是的最小值，
设直线的解析式为：，
将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
解得：，
；
（3）解：观察图象可得：
关于的不等式的解集为：或．
25. . 如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，
如图2，线段DG与BE之间的数量关系是_________；位置关系是________；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，
猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
[应用]：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），
若GE//AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长

【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG；（2）DG＝2 BE，BE⊥DG，理由见详解；（3）4
【分析】（1）先判断出△ABE≌△DAG，进而得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△DAG，得出∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（3）先求出BE，进而得出BE＝AB，即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出∠AEB＝90°，求出BE，借助（2）得出的相似，即可得出结论．
【详解】解：（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
AB＝AD，∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG；
②如图，延长BE交AD于Q，交DG于H，
由①知，△ABE≌△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠AQB＋∠ABE＝90°，
∴∠AQB＋∠ADG＝90°，
∵∠AQB＝∠DQH，
∴∠DQH＋∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）如图，延长BE交AD于I，交DG于H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
∴，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG，，
即： DG＝2 BE，
∵∠AIB＋∠ABE＝90°，
∴∠AIB＋∠ADG＝90°，
∵∠AIB＝∠DIH，
∴∠DIH＋∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图3，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）
EG与AD的交点记作M，
∵EG∥AB，
∴∠DME＝∠DAB＝90°，
在Rt△AEG中，AE＝1，
∴AG＝2AE＝2，
根据勾股定理得，EG＝，
∵AB＝，
∴EG＝AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG∥BE，
∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上如图4，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝2，
由（2）知，△ABE∽△ADG，
∴，
∴，
∴DG＝4．
26 . 如图1，抛物线y=ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．

求抛物线的函数解析式；
(2) 在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？
若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
(3) 如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP =∠ACB ？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，周长的最小值为；
(3)存在，．
【分析】（1）运用待定系数法即可确定a、b的值．
（2）根据△ACM的周长最小值为，分别求出AC，BC的长即可；
（3）过点 作直线l∥x轴，过点 作EF⊥直线l于点 ，交 轴于点 ．证明∆BDF∽∆DCE，得出，求出点D的坐标，运用待定系数法求出直线CP的解析式，最后联立方程组，求出方程组的解即可得出结论．
【详解】（1）将点，代入中，得：
，
解得 ，
∴，
（2）存在，
抛物线对称轴：直线 ，
将代入中，得，
连接BC，交抛物线对称轴于点M，
当C，M，B三点共线时，周长最小 ，
∴AM+CM=BM+CM=BC，
∵，
∴，
∴的最小值为.
（3）存在,
∵，
∴，
∵，
∴，
如图，过点作于点，
过点作直线轴，过点作于点，交轴于点．
∵
∴，
∵，
∴，
∴=，
又∵
∴
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，解得，
∴ ，
设直线CP的解析式为，
把（0，3），（）代入得，
解得，，
∴直线：，
联立，
解得，，，
∴.
时间/h
6
7
8
9
人数
2
18
14
6