浙江省钱塘联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简，再根据复数模的公式计算可得.
【详解】，
，
.
故选：D
2. 将水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为（ ）

A. B. 6C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用斜二测画法，确定的特征，求出即可.
【详解】依题意，在中，，
所以.
故选：C
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示，求得的充要条件，结合集合之间的包含关系，判断即可.
【详解】根据题意，等价于，解得或；
又是的真子集，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过分析正比例函数和对数函数的特征可得解.
【详解】函数，由对数函数可知，且，
当时，为过原点的减函数，为减函数，则B错误，D正确；
当时，为过原点的增函数，为增函数，则A错误，C错误；
故选：D.
5. 如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据的范围即可求出的范围.
【详解】
以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
因为在矩形中，，
则，
又点在边上运动（包含端点），
设，则，
，
则，
因为，所以，
故选：D.
6. 已知向量在的投影向量为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的定义及模长公式的坐标表示求解即可.
【详解】因为，所以，
在的投影向量为，所以，
即，解得.
故选：B.
7. 在中，三个内角对应的边为，且．若仅有唯一解，则下列关于的取值不一定成立的是（ ）
A. 或B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理得，因为仅有唯一解，所以的值确定，进而通过讨论的值，得到的取值范围，则可得到关于的取值不一定成立的选项.
【详解】由正弦定理得：，所以，
因为，所以，
因为仅有唯一解，所以的值确定，
当时，仅有唯一解，
此时，则，
当时，，仅有唯一解，此时，
当，且时，有两解，不符合题意，
综上：若仅有唯一解，则或.
故选：B．
8. 如图，一个正三棱台的上、下底面边长分别为和，高是，则正三棱台的侧面积及外接球体积分别为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，结合正三棱台的结构特征求出斜高，进而求出侧面积；利用球的截面小圆性质求出球半径，再求出球的体积.
【详解】在正三棱台中，分别是上、下底面中心，则cm，

连接并延长交于，连接并延长交于，连接，过作于，
，
在中，，，三棱台斜高，
所以正三棱台的侧面积（）；
显然正三棱台的外接球球心在射线上，令球半径为，
球截平面、平面所得圆半径，
设，显然，则球心在正三棱台外，，
于是，解得，
所以正三棱台的外接球体积（）.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列四个结论正确的有（ ）
A. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台；
B. 斜棱柱的侧面可能有矩形；
C. 正棱锥的底面是正多边形；
D. 球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面．
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，根据圆台的定义可判断；对B，根据斜棱柱的结构特征，举例说明；对C，根据正棱锥的定义可判断；对D，根据球的定义判断.
【详解】对于A，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故A错误；
对于B，斜棱柱的侧面是平行四边形，也有可能是矩形，如图三棱柱，侧面为矩形，故B正确；

对于C，根据正棱锥的定义，正棱锥的底面是正多边形，故C正确；
对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确．
故选：BCD.
10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（ ）
A 若，则一定有；
B. 若是锐角三角形，则一定有成立；
C. 若，则一定是直角三角形；
D. 若，则一定是锐角三角形．
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用正弦定理边角互化可以判断出A正确；由三角形内角和为，结合诱导公式可推得B正确；利用正弦定理及余弦定理即可判断出C正确；利用同角三角函数的基本关系式及正弦定理及余弦定理结合三角形知识判断出D.
【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得（为外接圆的半径），所以，所以A正确；
对于B，若为锐角三角形，可得且，
可得，且，
即，
根据正弦函数在上单调递增，可得，
所以，又，所以，所以，
所以，故B正确；
对于C，因为，由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，
因为，，则，所以，则，
所以为直角三角形，故C正确；
对于D，若，则，
由正弦定理得，
由余弦定理，所以角为锐角，但不一定是锐角三角形，故D错误；
故选：ABC.
11. 已知函数．则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为偶函数；
B. 若，则单调递增；
C. 若，则函数的最小值为2；
D. 若时，函数在区间上有且仅有一个零点，则．
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，利用奇偶性的定义即可判断；对于B，利用导数的正负即可判断；对于C，化简后利用基本不等式即可判断；对于D，利用函数在区间上的单调性，得到不等式组，求解即可.
【详解】若，，则，所以为偶函数，故A正确；
若，，
因为，所以函数和都是减函数，所以是减函数，故B错误；
若，则，当且仅当时，即时等号成立，故C正确；
若时，，，
函数和均为减函数，所以为减函数，
则在区间上为减函数，
要函数在区间上有且仅有一个零点，
则或
由，即，
即，即，解得，
由 ，即，
即，解得，则无解，
由上可知，时，，时，则无解，故D错误.
故选：AC.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数为纯虚数，则=______.
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据复数的分类求解．
【详解】由题意，解得．
故答案为：－1
【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题．
13. 若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件求出，再将所求式子弦化切代入运算得解.
【详解】因为，所以，
.
故答案为：.
14. 如图，在中，是的中点，与交于点．设，则______；若，则______．

【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算，结合共线向量定理、平面向量基本定理求出即可；再利用数量积的运算律结合已知求出.
【详解】由是的中点，得，而在上，即，
于是，又，则，又 E，O，C三点共线，
因此，解得，则，而，不共线，
所以，；
显然，
则，
因此，解得，所以．
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量.
（1）已知，求向量与的夹角；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用向量坐标夹角公式进行求解；
（2）先计算得到，，再利用向量垂直，数量积为0列出方程，求出的值.
【小问1详解】
因为，所以，
故，
因为，所以向量与的夹角；
【小问2详解】
，
，
由于，
所以，
解得：或，
从而或
16. 如图所示，在边长为的正三角形中，E、F依次是、的中点，，，，D、H、G为垂足，若将绕旋转，
（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.
（2）求阴影部分形成的几何体的体积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，根据数据利用面积公式和体积公式，可求其表面积与体积.
【详解】
由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，
且圆锥的底面半径为4，高为，圆柱的底面半径为2，高为，
所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面.
圆锥的底面积为，圆锥的侧面积为，
圆柱侧面积为，
故所求几何体的表面积为.
阴影部分形成的几何体的体积为.
【点睛】本题考查组合体的面积问题，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.
17. 中，内角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）若点为边上靠近的三等分点，且，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）依题意可得，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，从而求出面积的最大值.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理，又，所以.
【小问2详解】
因为点是边上靠近的三等分点，
即，所以，
在中、，由余弦定理，
即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
即面积的最大值.

18. 已知平面向量．设函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到，且关于的方程在上恰有三个不同的实数根，求实数的取值范围和的值．
【答案】（1）；
（2），.
【解析】
【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出，再利用二倍角公式、辅助角公式化简并求出周期.
（2）求出函数的解析式，作出函数在上的图象及直线，数形结合求出实数的范围及的值.
【小问1详解】
由，
得，
所以的最小正周期.
【小问2详解】
由（1）知，，则，
关于的方程在上恰有三个不同的实数根，
于是直线与函数在上的图象有3个不同的公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图，
显然，当时，直线与函数在上的图象有3个不同的公共点，
且点关于直线对称，点关于直线对称，
因此，，，
所以实数的取值范围是，.
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
19. 杭州世纪中心是杭州最高楼，同时是浙江省最高的双子塔楼，建筑高度310米，以杭州拼音首字母“”为外形蓝本，被称为杭州之门，双塔的设计像一对翅膀，结合了杭州文化的城市之形，拱桥之意。某位高中生想运用所学知识测量验证一下高度，通过查阅资料获取了两种测量方案．
方案一（“两次测角法”）：如图一，在双子塔附近广场上的点测得双子塔顶部的仰角为，正对双子塔前进了米后，到达点，在点测得双子塔顶部的仰角为，然后计算出双子塔的高度.
方案二（“镜面反射法”）：如图二，在双子塔附近广场上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于地面上，人后退至从镜中能看到双子塔的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对双子塔，将镜子后移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米．然后计算出双子塔的高度.
实际操作中，方案一测量数据为米，，测得双子塔高度为；方案二测量数据为米，米，米，测得双子塔高度为；假设测量者的“眼高”都为1.6米.
（1）试用表示出；
（2）计算的实际测量值（结果取整，参考数据：）．
【答案】（1）
（2）（米），（米）
【解析】
【分析】（1）在，中，分别解三角形求出，结合，求出，进而得解；
（2）根据（1）结果代入数据求得，由，可得，，可得，结合可求得即.
小问1详解】
在中，，
在中，，又，
所以，，
所以.
【小问2详解】
由（1）得（米）；
由，可得，即，
，可得，即，
又，所以，
解得，（米）.