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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆随堂练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆随堂练习题，共14页。
A．B．
C．相同D．无法判断
【解题思路】分别计算出两个椭圆的离心率，然后比较，谁的离心率越大且越接近于1，谁就越扁.
【解答过程】在椭圆中，，，.
在椭圆中，，，.
，椭圆的图形更为扁平一些.
故选：A.
2．（3分）已知椭圆与，则两个椭圆（ ）
A．有相同的长轴与短轴B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
【解题思路】根据椭圆的标准方程，可得以及离心率的值，即可求解.
【解答过程】将椭圆方程整理得，
其焦点在轴上，，，则，所以．
将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，，
则，所以，
故选:D．
3．（3分）与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】求出椭圆的焦点坐标，求出所求椭圆的长半轴长，结合椭圆的焦点位置可得出所求椭圆的标准方程.
【解答过程】椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点坐标为，
设所求椭圆的长半轴长为，则，
故所求椭圆的标准方程为.
故选：B.
4．（3分）下列关于曲线的结论正确的是（ ）
A．曲线是椭圆B．y的取值范围是
C．关于直线对称D．曲线所围成的封闭图形面积大于6
【解题思路】根据椭圆的标准方程即可判断A；易得，即可判断B；举出反例即可判断C；求出曲线与坐标轴的四个交点所构成的四边形的面积，即可判断D.
【解答过程】解：因为曲线，不是椭圆方程，
所以曲线不是椭圆，故A正确；
因为曲线，
所以，所以，故B错误；
曲线与轴正半轴的交点坐标为，
若曲线关于直线对称，
则点也在曲线上，
又，所以点不在曲线上，
所以曲线不关于直线对称，故C错误；
对于D，曲线与坐标轴的交点坐标为，
则以四点为顶点的四边形的面积为，
所以曲线所围成的封闭图形面积大于6，故D正确.
故选：D.
5．（3分）椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称.若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设，再根据直线的斜率之积为列式，结合椭圆的方程化简即可.
【解答过程】设且，则.
又，故，故，所以.
故选：B.
6．（3分）已知是椭圆的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为C上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由题可得椭圆，进而可得，利用向量数量积的坐标表示可得，再结合条件及二次函数的性质即求.
【解答过程】由题可得，
∴，即椭圆，
∴，直线方程为，
∴，又，
设，则，，
∴
，又，
∴当时，有最小值为.
故选：C.
7．（3分）如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为，现太阳光与地面的夹角为，则此椭圆形影子的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用球的对称性，作出截面图，从而判断，
【解答过程】
如图， 是两条与球相切的直线，分别切于点A,C，
与底面交于点B,D，
,
过C作 交于E,C,则，
在 中，
， ， , ，
，求出离心率.
那么椭圆中 ， ,
.
故选：B.
8．（3分）椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，给出以下四个命题：
①过点的直线与椭圆交于两点，则△的周长为8；
②椭圆上存在点，使得；
③椭圆的离心率为；
④为椭圆一点，为圆上一点，则点的最大距离为3.
则以下选项正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③④D．①②④
【解题思路】根据椭圆方程写出a、b、c及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断①，根据椭圆的性质及余弦定理求的最大值，进而确定其范围判断②，直接法求离心率判断③，根据圆的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断的距离范围，即可判断④.
【解答过程】由题设，椭圆参数为，且、，
①由椭圆定义知：，则△的周长为8，正确；
②当在y轴上时，，而，此时，易知为，故，存在点使得，正确；
③椭圆的离心率为，正确；
④由椭圆和圆的方程知：它们在y轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在x轴上的交点为，所以，故的最大距离为3，正确.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】分焦点在轴上、焦点在轴上两种情况求解，分别设出椭圆的方程，然后由离心率和过点求解即可.
【解答过程】①当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，
由椭圆的离心率为，得，所以椭圆的方程为，
因为椭圆过点，所以，，，椭圆的标准方程为.
②当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，
由椭圆的离心率为，得，所以椭圆的方程为，
因为椭圆过点，所以，，，椭圆的标准方程为.
故选：AC.
10．（4分）据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年11月8日1时16分，经过约6.5小时的出舱活动，神舟十三号航天员乘组密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，航天员翟志刚，王亚平安全返回天和核心舱，出舱活动取得圆满成功.已知天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面N千米，远地点距地面M千米，地球半径为R千米，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为千米B．椭圆的短轴长为千米
C．椭圆的焦距为千米D．椭圆的长轴长为千米
【解题思路】根据远地点以及近地点的距离，列出方程组，可求得，由此求得椭圆的短轴，长轴以及焦距，从而可判断每个选项的正误;
【解答过程】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
则
解得 ,
所以，
故椭圆的短轴长为千米，A正确，B错误；
，故C正确，D正确,
故选:ACD.
11．（4分）已知椭圆C的两个焦点分别为，，离心率为，且点P是椭圆上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为
B．的最大值为
C．当时，
D．椭圆的形状比椭圆C的形状更接近于圆
【解题思路】根据离心率计算得到，，得到椭圆方程，计算的最大值，B错误，根据椭圆性质得到C正确，根据离心率的大小关系得到D错误，得到答案.
【解答过程】，，故，，故椭圆C的方程为，A正确；
的最大值为为，B错误；
，故当时，，C正确；
椭圆的离心率为，故椭圆C的形状更接近于圆，D错误.
故选：AC.
12．（4分）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）
A．该椭圆的离心率为B．该椭圆的离心率为
C．该椭圆的焦距为D．该椭圆的焦距为
【解题思路】先求得，结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而求得椭圆的离心率和焦距.
【解答过程】，
如图，分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆的左焦点，是圆的直径，为该圆的圆心.
因为，所以，
设椭圆的长轴长为，焦距为，则.
因为，
由正弦定理得，
解得，所以，
所以.
故选：BC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）若椭圆的焦距为6，则k的值为 31或49 ．
【解题思路】讨论椭圆焦点的位置，然后根据焦距，列等式求.
【解答过程】因为椭圆的焦距为6，所以c＝3．
当椭圆的焦点在x轴上时，因为，，所以，解得k＝31；
当椭圆的焦点在y轴上时，因为，，所以，解得k＝49．
综上所述，k的值为31或49．
故答案为：31或49.
14．（4分）以椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点为四个顶点的椭圆的标准方程为．
【解题思路】求出椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，进而可以得出答案.
【解答过程】椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点分别为，
则该椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，
则，
所以以此为四个顶点的椭圆的标准方程为，
故答案为：.
15．（4分）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为F，直线BF与椭圆的另一个交点为M，且，则该椭圆的离心率是．
【解题思路】设出M的坐标，由得，从而得到，把点M的坐标代入椭圆的方程，求解即可．
【解答过程】设M的坐标为，由题知
，
，即，
把点M的坐标代入椭圆的方程得
，，．
故答案为：．
16．（4分）若、是椭圆C：的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是②④．（填序号）
①椭圆C的离心率为； ②存在点A使得；
③若，则； ④面积的最大值为12．
【解题思路】对于①，根据方程求出，再求离心率，对于②，设，表示出，然后求，判断方程是否有解即可，对于③，利用椭圆的定义求解，对于④，利用椭圆的性质求解.
【解答过程】对①，由题得a＝5，b＝3，c＝4，离心率为，故①错误．
对②，设，得椭圆的参数方程为（t为参数），，，所以，．若存在点A使，则，即，得有解，故存在点A使，故②正确．
对③，因为，故③错误．
对④，当A位于短轴端点时，此时的面积最大，所以，故④正确．
故答案为：②④.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
(1)；
(2)．
【解题思路】把椭圆方程化为标准方程，结合的值求出长轴长，短轴长，离心率及焦点坐标，顶点坐标.
【解答过程】(1)
整理为：，焦点在x轴上，则，，，所以长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为与，顶点坐标为，，，
(2)
，整理为：，焦点在y轴上，则
，，
所以，长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为，顶点坐标为.
18．（6分）求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
(3)经过点，两点；
(4)与椭圆有相同离心率，且经过点.
【解题思路】（1）分焦点在x轴、焦点在y轴上，设椭圆方程并代入点坐标可得答案；
（2）根据和可得答案；
（3）设方程为，代入坐标可得答案；
（4）椭圆的离心率是，所以，分焦点在x轴、焦点在y轴，利用和过点可得答案.
【解答过程】（1）
若焦点在x轴上，设方程为，
∵椭圆过点，∴得，
∵，∴，∴方程为，
若焦点在y轴上，
设方程为，
∵椭圆过点，∴得，
又，∴，∴方程为.
综上所述，椭圆方程为或；
（2）
由已知，有解得，，
若焦点在y轴上，则，
若焦点在x轴上，，
∴所求椭圆方程为或；
（3）
设方程为，
则有，解得，
则所求椭圆方程为；
（4）
椭圆的离心率是，所以，，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是，
∴，解得，
∴所求椭圆方程为；
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为，
∴，解得，
∴椭圆的标准方程为，
故所求椭圆标准方程为或.
19．（8分）已知椭圆C的离心率为，焦点、．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知、，是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且∠APB是钝角，求的取值范围．
【解题思路】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）由，结合椭圆方程来求得的取值范围.
【解答过程】（1）
依题意，，
所以椭圆的方程为.
（2）
依题意，，
由于∠APB是钝角，所以①，
由于是椭圆C在第一象限部分上的一动点，
所以，且②，
将②代入①得，，则
所以的取值范围是.
20．（8分）已知椭圆的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点，点B在椭圆C上，求线段长度的最大值.
【解题思路】（1）由题意可得，，求出，再由 求出，从而可求得椭圆方程，
（2）设，然后利用距离公式和二次函数的性质求解即可
【解答过程】(1)
依题意，得，离心率，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
(2)
设，则，则有
所以，
由两点间的距离公式，得
，
因为，
所以当时，线段的长度最大，为.
21．（8分）某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求椭圆C的方程；
(2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）．
【解题思路】（1）首先椭圆的标准方程为，根据题意得到，，再计算的值即可得到答案.
（2）根据已知条件得到，，设，得到，再解方程组即可.
【解答过程】（1）
设椭圆的标准方程为，
因为，，
所以，，，
于是椭圆的方程为．
（2）
易知，．
因为，，
所以，．
设，则，解得
所以点的坐标为或．
22．（8分）圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线论》，对圆锥曲线的性质做了系统性的研究，之所以称为圆锥曲线，是因为这些曲线是由一个平面截一个正圆锥面得到的，其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一些曲线．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别切于点，，该平面与圆柱侧面的交线为椭圆，求这个椭圆的离心率．
【解题思路】作出截面，根据平面与球相切的性质，结合直角三角形中各边的关系与勾股定理等，求解椭圆的基本量即可.
【解答过程】设椭圆的方程为．
作出几何体的轴截面图，如图所示，
点M，N是P圆柱内两个内切球的球心，，是椭圆的两个焦点，其中O是与的交点，．
根据圆的切线的性质，可得，，
由题意，可知，，
所以，
所以，即，
所以在中，，则，
所以，
所以，即a＝4，
所以椭圆的离心率．
A．B．
C．相同D．无法判断
【解题思路】分别计算出两个椭圆的离心率，然后比较，谁的离心率越大且越接近于1，谁就越扁.
【解答过程】在椭圆中，，，.
在椭圆中，，，.
，椭圆的图形更为扁平一些.
故选：A.
2．（3分）已知椭圆与，则两个椭圆（ ）
A．有相同的长轴与短轴B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
【解题思路】根据椭圆的标准方程，可得以及离心率的值，即可求解.
【解答过程】将椭圆方程整理得，
其焦点在轴上，，，则，所以．
将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，，
则，所以，
故选:D．
3．（3分）与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】求出椭圆的焦点坐标，求出所求椭圆的长半轴长，结合椭圆的焦点位置可得出所求椭圆的标准方程.
【解答过程】椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点坐标为，
设所求椭圆的长半轴长为，则，
故所求椭圆的标准方程为.
故选：B.
4．（3分）下列关于曲线的结论正确的是（ ）
A．曲线是椭圆B．y的取值范围是
C．关于直线对称D．曲线所围成的封闭图形面积大于6
【解题思路】根据椭圆的标准方程即可判断A；易得，即可判断B；举出反例即可判断C；求出曲线与坐标轴的四个交点所构成的四边形的面积，即可判断D.
【解答过程】解：因为曲线，不是椭圆方程，
所以曲线不是椭圆，故A正确；
因为曲线，
所以，所以，故B错误；
曲线与轴正半轴的交点坐标为，
若曲线关于直线对称，
则点也在曲线上，
又，所以点不在曲线上，
所以曲线不关于直线对称，故C错误；
对于D，曲线与坐标轴的交点坐标为，
则以四点为顶点的四边形的面积为，
所以曲线所围成的封闭图形面积大于6，故D正确.
故选：D.
5．（3分）椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称.若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设，再根据直线的斜率之积为列式，结合椭圆的方程化简即可.
【解答过程】设且，则.
又，故，故，所以.
故选：B.
6．（3分）已知是椭圆的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为C上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由题可得椭圆，进而可得，利用向量数量积的坐标表示可得，再结合条件及二次函数的性质即求.
【解答过程】由题可得，
∴，即椭圆，
∴，直线方程为，
∴，又，
设，则，，
∴
，又，
∴当时，有最小值为.
故选：C.
7．（3分）如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为，现太阳光与地面的夹角为，则此椭圆形影子的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用球的对称性，作出截面图，从而判断，
【解答过程】
如图， 是两条与球相切的直线，分别切于点A,C，
与底面交于点B,D，
,
过C作 交于E,C,则，
在 中，
， ， , ，
，求出离心率.
那么椭圆中 ， ,
.
故选：B.
8．（3分）椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，给出以下四个命题：
①过点的直线与椭圆交于两点，则△的周长为8；
②椭圆上存在点，使得；
③椭圆的离心率为；
④为椭圆一点，为圆上一点，则点的最大距离为3.
则以下选项正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③④D．①②④
【解题思路】根据椭圆方程写出a、b、c及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断①，根据椭圆的性质及余弦定理求的最大值，进而确定其范围判断②，直接法求离心率判断③，根据圆的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断的距离范围，即可判断④.
【解答过程】由题设，椭圆参数为，且、，
①由椭圆定义知：，则△的周长为8，正确；
②当在y轴上时，，而，此时，易知为，故，存在点使得，正确；
③椭圆的离心率为，正确；
④由椭圆和圆的方程知：它们在y轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在x轴上的交点为，所以，故的最大距离为3，正确.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】分焦点在轴上、焦点在轴上两种情况求解，分别设出椭圆的方程，然后由离心率和过点求解即可.
【解答过程】①当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，
由椭圆的离心率为，得，所以椭圆的方程为，
因为椭圆过点，所以，，，椭圆的标准方程为.
②当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，
由椭圆的离心率为，得，所以椭圆的方程为，
因为椭圆过点，所以，，，椭圆的标准方程为.
故选：AC.
10．（4分）据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年11月8日1时16分，经过约6.5小时的出舱活动，神舟十三号航天员乘组密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，航天员翟志刚，王亚平安全返回天和核心舱，出舱活动取得圆满成功.已知天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面N千米，远地点距地面M千米，地球半径为R千米，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为千米B．椭圆的短轴长为千米
C．椭圆的焦距为千米D．椭圆的长轴长为千米
【解题思路】根据远地点以及近地点的距离，列出方程组，可求得，由此求得椭圆的短轴，长轴以及焦距，从而可判断每个选项的正误;
【解答过程】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
则
解得 ,
所以，
故椭圆的短轴长为千米，A正确，B错误；
，故C正确，D正确,
故选:ACD.
11．（4分）已知椭圆C的两个焦点分别为，，离心率为，且点P是椭圆上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为
B．的最大值为
C．当时，
D．椭圆的形状比椭圆C的形状更接近于圆
【解题思路】根据离心率计算得到，，得到椭圆方程，计算的最大值，B错误，根据椭圆性质得到C正确，根据离心率的大小关系得到D错误，得到答案.
【解答过程】，，故，，故椭圆C的方程为，A正确；
的最大值为为，B错误；
，故当时，，C正确；
椭圆的离心率为，故椭圆C的形状更接近于圆，D错误.
故选：AC.
12．（4分）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）
A．该椭圆的离心率为B．该椭圆的离心率为
C．该椭圆的焦距为D．该椭圆的焦距为
【解题思路】先求得，结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而求得椭圆的离心率和焦距.
【解答过程】，
如图，分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆的左焦点，是圆的直径，为该圆的圆心.
因为，所以，
设椭圆的长轴长为，焦距为，则.
因为，
由正弦定理得，
解得，所以，
所以.
故选：BC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）若椭圆的焦距为6，则k的值为 31或49 ．
【解题思路】讨论椭圆焦点的位置，然后根据焦距，列等式求.
【解答过程】因为椭圆的焦距为6，所以c＝3．
当椭圆的焦点在x轴上时，因为，，所以，解得k＝31；
当椭圆的焦点在y轴上时，因为，，所以，解得k＝49．
综上所述，k的值为31或49．
故答案为：31或49.
14．（4分）以椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点为四个顶点的椭圆的标准方程为．
【解题思路】求出椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，进而可以得出答案.
【解答过程】椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点分别为，
则该椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，
则，
所以以此为四个顶点的椭圆的标准方程为，
故答案为：.
15．（4分）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为F，直线BF与椭圆的另一个交点为M，且，则该椭圆的离心率是．
【解题思路】设出M的坐标，由得，从而得到，把点M的坐标代入椭圆的方程，求解即可．
【解答过程】设M的坐标为，由题知
，
，即，
把点M的坐标代入椭圆的方程得
，，．
故答案为：．
16．（4分）若、是椭圆C：的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是②④．（填序号）
①椭圆C的离心率为； ②存在点A使得；
③若，则； ④面积的最大值为12．
【解题思路】对于①，根据方程求出，再求离心率，对于②，设，表示出，然后求，判断方程是否有解即可，对于③，利用椭圆的定义求解，对于④，利用椭圆的性质求解.
【解答过程】对①，由题得a＝5，b＝3，c＝4，离心率为，故①错误．
对②，设，得椭圆的参数方程为（t为参数），，，所以，．若存在点A使，则，即，得有解，故存在点A使，故②正确．
对③，因为，故③错误．
对④，当A位于短轴端点时，此时的面积最大，所以，故④正确．
故答案为：②④.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
(1)；
(2)．
【解题思路】把椭圆方程化为标准方程，结合的值求出长轴长，短轴长，离心率及焦点坐标，顶点坐标.
【解答过程】(1)
整理为：，焦点在x轴上，则，，，所以长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为与，顶点坐标为，，，
(2)
，整理为：，焦点在y轴上，则
，，
所以，长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为，顶点坐标为.
18．（6分）求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
(3)经过点，两点；
(4)与椭圆有相同离心率，且经过点.
【解题思路】（1）分焦点在x轴、焦点在y轴上，设椭圆方程并代入点坐标可得答案；
（2）根据和可得答案；
（3）设方程为，代入坐标可得答案；
（4）椭圆的离心率是，所以，分焦点在x轴、焦点在y轴，利用和过点可得答案.
【解答过程】（1）
若焦点在x轴上，设方程为，
∵椭圆过点，∴得，
∵，∴，∴方程为，
若焦点在y轴上，
设方程为，
∵椭圆过点，∴得，
又，∴，∴方程为.
综上所述，椭圆方程为或；
（2）
由已知，有解得，，
若焦点在y轴上，则，
若焦点在x轴上，，
∴所求椭圆方程为或；
（3）
设方程为，
则有，解得，
则所求椭圆方程为；
（4）
椭圆的离心率是，所以，，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是，
∴，解得，
∴所求椭圆方程为；
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为，
∴，解得，
∴椭圆的标准方程为，
故所求椭圆标准方程为或.
19．（8分）已知椭圆C的离心率为，焦点、．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知、，是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且∠APB是钝角，求的取值范围．
【解题思路】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）由，结合椭圆方程来求得的取值范围.
【解答过程】（1）
依题意，，
所以椭圆的方程为.
（2）
依题意，，
由于∠APB是钝角，所以①，
由于是椭圆C在第一象限部分上的一动点，
所以，且②，
将②代入①得，，则
所以的取值范围是.
20．（8分）已知椭圆的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点，点B在椭圆C上，求线段长度的最大值.
【解题思路】（1）由题意可得，，求出，再由 求出，从而可求得椭圆方程，
（2）设，然后利用距离公式和二次函数的性质求解即可
【解答过程】(1)
依题意，得，离心率，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
(2)
设，则，则有
所以，
由两点间的距离公式，得
，
因为，
所以当时，线段的长度最大，为.
21．（8分）某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求椭圆C的方程；
(2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）．
【解题思路】（1）首先椭圆的标准方程为，根据题意得到，，再计算的值即可得到答案.
（2）根据已知条件得到，，设，得到，再解方程组即可.
【解答过程】（1）
设椭圆的标准方程为，
因为，，
所以，，，
于是椭圆的方程为．
（2）
易知，．
因为，，
所以，．
设，则，解得
所以点的坐标为或．
22．（8分）圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线论》，对圆锥曲线的性质做了系统性的研究，之所以称为圆锥曲线，是因为这些曲线是由一个平面截一个正圆锥面得到的，其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一些曲线．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别切于点，，该平面与圆柱侧面的交线为椭圆，求这个椭圆的离心率．
【解题思路】作出截面，根据平面与球相切的性质，结合直角三角形中各边的关系与勾股定理等，求解椭圆的基本量即可.
【解答过程】设椭圆的方程为．
作出几何体的轴截面图，如图所示，
点M，N是P圆柱内两个内切球的球心，，是椭圆的两个焦点，其中O是与的交点，．
根据圆的切线的性质，可得，，
由题意，可知，，
所以，
所以，即，
所以在中，，则，
所以，
所以，即a＝4，
所以椭圆的离心率．
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