人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线练习题

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A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据直线和双曲线的位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答过程】解：当“直线与双曲线有且只有一个公共点”成立时有可能是直线与双曲线的渐近线平行，
此时，“直线与双曲线相切”不成立
反之，“直线与双曲线相切”成立，一定能推出“直线与双曲线有且只有一个公共点”
所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件
故选：．
2．（3分）已知双曲线，过点作直线l，若l与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】先确定双曲线的右顶点，再分垂直轴、与轴不垂直两种情况讨论，当与轴不垂直时，可设直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元整理，再分、两种情况讨论，即可得解．
【解答过程】解：根据双曲线方程可知
右顶点为，使与有且只有一个公共点的情况为：
①当垂直轴时，此时过点的直线方程为，与双曲线只有一个公共点，
②当与轴不垂直时，可设直线方程为
联立方程可得
当即时，方程只有一个根，此时直线与双曲线只有一个公共点，
当时，，整理可得即
故选：D.
3．（3分）双曲线的左,右顶点分别是，是上任意一点（点异于），直线分别与直线交于，则的最小值是
A．B．C．2D．3
【解题思路】求出直线的方程，令求得两点的坐标，由此求得的表达式，由此求得的最小值.
【解答过程】设，，则，.依题意，所以，，令代入直线的方程，得.所以，表示双曲线上的点与点连线的斜率.设过点，双曲线的切线方程为，代入并化简得，其判别式，解得.所以的最大值为，所以的最小值为，也即的最小值为.
故选：B.
4．（3分）已知点，在双曲线上，线段的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先根据中点弦定理求出直线的斜率，然后求出直线的方程，联立后利用弦长公式求解的长.
【解答过程】设，，则可得方程组：，两式相减得：，即，其中因为的中点为，故，故，即直线的斜率为，故直线的方程为：，联立，解得：，由韦达定理得：，，则
故选：D.
5．（3分）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解
【解答过程】由题意可设双曲线方程为，，
由得，则，，
不妨假设，则，
由图象的对称性可知，
可化为，
即，解得，
故双曲线方程为：，
故选：C.
6．（3分）已知直线l：与双曲线C：交于P，Q两点，QH⊥x轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则（ ）
A．B．C．1D．2
【解题思路】利用点差法，能得到的值，则通过就可以推导出，然后就可以推出的值.
【解答过程】
设，，，，则.
由得，，
则，.
，∴，∴.
故选：B.
7．（3分）已知直线与双曲线交于P，Q两点，轴于点H，直线与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（ ）
A．且B．C．为定值D．的最小值为2
【解题思路】由已知，可由双曲线方程推导结论，选项A，根据双曲线方程，可以求得渐近线方程，然后直线与双曲线交于P，Q两点，即可求解出的取值范围；选项B，利用坐标表示出，从而找到与之间的关系；选项C，由可知；选项D，利用借助基本不等式可得，故该选项错误.
【解答过程】参考结论：已知双曲线方程为：，，是双曲线上关于原点对称的两点，点也在双曲线上，则．
推导：由得，，
则，，所以
解析：，，，，则
选项A，双曲线，所以渐近线方程为，直线与双曲线交于P，Q两点，所以，由已知，，所以该选项正确；
选项B，，所以该选项正确；
选项C，，∴，∴，所以该选项正确；
选项D，因为，所以，故该选项错误；
故选：D.
8．（3分）已知双曲线与直线交于两点，点为上一动点，记直线的斜率分别为，曲线的左、右焦点分别为．若，且的焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线的离心率为
C．若，则的面积为
D．若的面积为，则为钝角三角形
【解题思路】由题意可求得双曲线的离心率以及求得a,b的值，故可判断A,B;根据，求得焦半径，，即可求得的面积，判断C;根据的面积可求得点P的坐标，进而利用余弦定理求得，判断D.
【解答过程】设点，，，，，，
则，且，两式相减得，所以,
因为，所以，, ,
故双曲线的渐近线方程为;
因为焦点到渐近线的距离为1，所以，，
即有 ，所以，，离心率为，故A，B 错误．
对于，不妨设在的右支上，
记，则．因为，所以，
解得或（舍去），
所以的面积为，故不正确．
对于，设，，因为，所以，
将代入，得，即．
由对称性，不妨取的坐标为，则，
因为
所以为钝角，所以为钝角三角形，故正确,
故选：．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）在平面直角坐标系中，已知点和曲线，则对于直线下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则直线与曲线没有交点
B．若，，，则直线与曲线有二个交点
C．若，，，则直线与曲线有一个交点
D．直线与曲线的位置关系和在哪里无关
【解题思路】通过、、的值，判断曲线与直线的位置关系，逐项检验，即可得到结果．
【解答过程】当，，时，曲线，则对于直线，圆的圆心 到直线的距离为，所以直线与曲线没有交点，故A正确；
当，，时，则曲线，直线，联立方程组，消去可得即，可知，所以直线与曲线有二个交点，故B正确；
当，，时，直线与曲线，联立方程组，消去可得：，解得，所以直线与曲线 有一个交点，所以C正确；
由B、C选项，可知直线与曲线的位置关系和在哪里有关，所以D不正确．
故选：ABC．
10．（4分）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，，则（ ）
A．若在双曲线右支上，则的最短长度为1
B．若，同在双曲线右支上，则的斜率大于
C．的最短长度为6
D．满足的直线有4条
【解题思路】由双曲线的方程求出的值，在双曲线右支上，则的最短长度为可判断A；求出双曲线的渐近线方程，由直线的斜率与渐近线斜率的关系可判断B，讨论的斜率不存在和斜率为时弦长，即可得的最短长度可判断C，由的斜率不存在和斜率为时弦长，结合双曲线的对称性可判断D，进而可得正确选项.
【解答过程】由双曲线可得，，所以，
对于A：若在双曲线右支上，则的最短长度为，故选项A正确；
对于B：双曲线的渐近线方程为：，若，同在双曲线右支上，则的斜率大于或小于，故选项B不正确；
对于C：当，同在双曲线右支上时，轴时，最短，将代入可得，此时，当，在双曲线两支上时，最短为实轴长，所以的最短长度为，故选项C不正确；
对于D：当，同在双曲线右支上时，，当，在双曲线两支上时，，根据双曲线对称性可知：满足的直线有4条，故选项D正确；
故选：AD.
11．（4分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，且双曲线的右焦点在直线上，、分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记、的斜率分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的方程为
C．为定值D．存在点，使得
【解题思路】对于AB，利用双曲线的概念及几何性质可以容易判断；对于C，利用点在双曲线上得到，进而直接化简即可；对于D，利用的范围可以判断得范围，进而可以判断存在点与否.
【解答过程】因为双曲线的右焦点在直线上，易得右焦点坐标为，故，
由于离心率为，则，所以，所以双曲线方程为，故B正确；
易得双曲线渐近线方程为，故A正确；
设点，又、，则，即，故，故C错误；
因为在第一象限，则，即，即，，所以，故存在点，使得，故D正确.
故选：ABD.
12．（4分）已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（ ）
A．该双曲线的方程为B．若，则直线的斜率为
C．的最小值为25D．面积的最小值为12
【解题思路】由题知，，进而可求得双曲线的方程判断A；设直线，由已知可知，联立直线与双曲线方程结合可判断B；利用两点之间的距离公式化简计算可判断C；利用面积公式及弦长公式可求得面积，再利用函数思想求得最值可判断D.
【解答过程】对于A，依题意可知，，，结合，得，，所以双曲线的方程为，故A正确；
对于B，易知，抛物线渐近线的斜率为，设，，
直线，由直线与双曲线的右支交于两点，所以，从而，
联立，得，则，，，
若，则，即，解得，不满足，故B错误；
对于C，由，则，，
所以
因为，所以，故C正确；
对于D，，
设，则，，令，函数在上单调递减，因此，
故D正确，
故选：ACD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）若过点P（0，1）作直线l，使l与双曲线有且仅有一个公共点，则直线l的方程为 2x－y＋1＝0，2x＋y－1＝0，，．
【解题思路】当直线斜率不存在时，直线与双曲线没有交点.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，消去得到，根据二次项系数和判别式进行分类讨论，由此求得直线的方程.
【解答过程】当直线斜率不存在时，显然不合题意
所以可设直线方程为，
联立，得，
①当，即或，方程只有一解，
直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时，直线方程为，
②当，即，要使直线与双曲线有且仅有一个公共点，
则，解得，
此时，直线方程为，
综上所述，直线的方程为或.
故答案为：2x－y＋1＝0，2x＋y－1＝0，，.
14．（4分）一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当前拱桥的最高点离水面5米时，量得水面宽度米，则当水面升高1米后，水面宽度为 26.5 米(精确到0.1米).
【解题思路】建立坐标系，设出双曲线的方程，由点在双曲线上，可求得，再代入点可求得水面的宽.
【解答过程】以双曲线的实轴为y轴，双曲线的对称中心为原点建立平面直角坐标系，设等轴双曲线的方程为，则点在双曲线上，所以解得，所以双曲线的方程为，点，当水面上升1米后，即点的纵坐标为，代入到双曲线方程中得，所以水面宽度为，
故答案为：26.5.
15．（4分）已知双曲线，，，是坐标原点，过点的直线交双曲线于，两点，若直线上存在点满足，则的最小值是 6 .
【解题思路】设OA的中点为N,根据已知条件，利用向量的加法的模的几何意义可得N到直线l的距离小于等于2.当直线l与双曲线的左右支各交于一个交点时，根据双曲线的几何性质即可得到|MN|的最小值为2a=6,接下来验证在当直线l与双曲线的右支交于两点时，且在N到直线l的距离小于等于2时，|MN|的长度大于6即可.
【解答过程】设OA的中点为N,则N的坐标为.
由已知可得直线l上存在点P,使得
即使得，即N到直线l的距离小于等于2.
当直线l与双曲线的左右支各交于一个交点时，由双曲线的几何性质可得弦长|MN|的最小值为2a=6,此时直线l即为x轴，N到l的距离为0，符合题意.
当直线l与双曲线的右支交于两点时，弦越短，直线的斜率的绝对值越大，
当斜率不存在时，即MN为通径时，|MN|的长度取得最小值但此时点M到直线l的距离为,
当直线的斜率存在时，直线的斜率的取值范围,直线的方程为,.
由N到直线l的距离小于等于2，即：，解得，
∴,直线的方程为代入双曲线的方程并整理化简得：,
,
易得,设M,N的横坐标分别为,则,
,
,∴
综上所述，|MN|的最小值为6，
故答案为：6.
16．（4分）已知双曲线C：1的左､右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于P，Q两点，当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q的面积为.
【解题思路】联立直线y=x+m与双曲线的方程，运用判别式大于0和韦达定理，由弦长公式求得|PQ|，求出|PQ|的最小值，再由四边形F1PF2Q为平行四边形，结合点到直线的距离公式，计算四边形F1PF2Q的面积即可.
【解答过程】由，可得，
则，
设P，Q的横坐标分别为x1，x2，
可得，
则
，
当且仅当m=0时，|PQ|取得最小值4，
当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q为平行四边形，
由F2（3，0）到直线y=x的距离为，
所以四边形F1PF2Q的面积为.
故答案为：12.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）已知双曲线，直线，求直线l与双曲线C的公共点的坐标．
【解题思路】由，解之即得.
【解答过程】直线l与双曲线C的公共点的坐标就是方程组
的解，
解之得，，
∴直线l与双曲线C的公共点的坐标为.
18．（6分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的弦AB．求：
(1)AB的长；
(2)的周长．
【解题思路】（1）设，，，，求出双曲线的焦点坐标，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，将直线的方程代入双曲线的方程，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式即可得解；
（2）求出，的坐标，由两点的距离，即可得到△的周长．
【解答过程】(1)
解：双曲线的左焦点为，设，，，，
则直线的方程为，
代入方程得，，
，，
；
(2)
解：，不妨设，
由（1）可得，，，，
则的周长为．
19．（8分）设A、B是双曲线上的两点，点是线段的中点．
(1)求直线的方程；
(2)若线段的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，则A、B、C、D四点是否共圆？判断并说明理由．
【解题思路】（1）点差法求解中点弦的斜率及方程；（2）求出AB两点坐标，求出AB的垂直平分线，联立后求出CD点的坐标，得到CD的中点M的坐标，计算得到，从而得到四点共圆.
【解答过程】(1)
设，显然，
由题意得：，
两式相减得：，
即，
因为点是线段的中点，
所以，
所以，
即直线的斜率为1，
所以直线的方程为，整理得：
(2)
联立与，得到：
，
解得：，当时，，
当时，，
不妨设，
直线AB的垂直平分线为，与联立得：，
解得：，当时，，
当时，，
不妨设，
则CD的中点为，
又，，
，
所以，
故A、B、C、D四点共圆，圆心为，半径为.
20．（8分）在平面直角坐标系中中，已知双曲线的一条渐近线方程为，过焦点垂直于实轴的弦长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且，若的面积为，求直线的方程.
【解题思路】（1）由已知得，，求得，即可求得方程；
（2）分析设直线OA的方程为，联立直线与双曲线的方程，结合可求得，
再分类讨论直线OA、OB的斜率为、和直线OA、OB的斜率为、，进而求得直线方程.
【解答过程】（1）
过C的焦点垂直于实轴的弦长为6，将代入双曲线，得，则①，
又C的一条渐近线方程为，则②，
由①②解得，，
所以双曲线C的方程为．
（2）
显然，当直线OA斜率为0或不存在时均不符合题意．
当直线OA斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则方程为．
联立，整理得，于是得
则，同理可得，
因为
整理得，解得．
即或 （满足）．
考虑到，只需分以下两种情形：
①当OA、OB的斜率为、时，
结合得或，
同理可得或，
于是由点、，据直线的两点式方程并化简可得AB方程，
同理可得AB的方程为或或．
②同理，当OA、OB的斜率为、时，
直线AB的方程为，或或或，
综上，直线AB的方程为或.
21．（8分）某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6km；C在B的北偏西30°方向，相距4km；P为航天员的着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4s后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1km/s，求在A处发现P的方位角．
【解题思路】结合双曲线的定义求得点的轨迹方程，求得点的坐标，进而求得在处发现的方位角.
【解答过程】因为B，C同时接收到信号，
所以PC＝PB，则P在BC的中垂线上．
因为B，C比A处晚4s收到信号，
所以有PB－PA＝4×1