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高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动3 简谐运动的回复力和能量课后作业题
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这是一份高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动3 简谐运动的回复力和能量课后作业题，共8页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。
(时间25分钟 满分60分)
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1．在简谐运动中，振子每次经过同一位置时，下列各组中描述振动的物理量总是相同的是( B )
A．速度、加速度和动能
B．加速度、动能、回复力和位移
C．加速度、速度、动能和位移
D．位移、动能、速度和回复力
解析：振子每次经过同一位置时，其加速度、动能、回复力和位移总相同，速度可能反向，故选B。A、C、D错误。
2．关于回复力，下列说法错误的是( D )
A．回复力是物体离开平衡位置时受到的指向平衡位置的力
B．回复力是按力的作用效果命名的，它可能由弹力提供，也可能由摩擦力提供
C．回复力可能是几个力的合力，也可能是某一个力的分力
D．振动物体在平衡位置时，其所受合力为零
解析：回复力是物体离开平衡位置时受到的指向平衡位置的力，故A正确；回复力是按力的作用效果命名的，它可能由弹力提供，也可能由摩擦力提供，故B正确；回复力可能是几个力的合力，也可能是某一个力的分力，故C正确；振动物体在平衡位置时，其所受合力不一定为零，例如单摆摆到最低点时合力不为零，故D错误。
3．(2024·山东六校联考高二段考)甲、乙为竖直悬挂的两个弹簧振子，且悬挂振子的弹簧劲度系数相同，已知两振子质量之比是4∶1，振动图像如图所示。则下列说法正确的是( B )
A．甲、乙两弹簧振子的振动频率之比是2∶1
B．甲、乙两弹簧振子在10 s内经过的路程之比是1∶1
C．甲、乙两弹簧振子最大加速度之比是2∶1
D．甲、乙两弹簧振子最大速度之比是4∶1
解析：由题图可知，甲、乙两弹簧振子的振动周期分别为T甲＝2.0 s，T乙＝1.0 s，频率f＝eq \f(1,T)，甲、乙两弹簧振子的频率之比f甲∶f乙＝T乙∶T甲＝1∶2，故A错误；由题图可知，两弹簧振子的振幅分别为A甲＝10 cm，A乙＝5 cm，一个周期内振子的路程是振幅的4倍，即4A，t＝10 s＝5T甲＝10T乙，在10 s内甲的路程s甲＝5×4×10 cm＝200 cm，乙的路程s乙＝10×4×5 cm＝200 cm,10 s内甲、乙路程之比是1∶1，故B正确；由胡克定律可知，弹簧的弹力F＝kx，弹簧的弹力和振子的重力的合力提供回复力，振子在最大位移处加速度最大，甲、乙两弹簧振子的最大加速度之比eq \f(a甲,a乙)＝eq \f(\f(kA甲,m甲),\f(kA乙,m乙))＝eq \f(A甲m乙,A乙m甲)＝eq \f(10,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，故C错误；振子经过平衡位置时速度最大，设最大速度为vmax，设振子在平衡位置时弹簧的伸长量为x0，在最低点时的弹簧伸长量为x2，在平衡位置有mg＝kx0，从最低点到平衡位置时，根据动能定理得eq \f(1,2)k(x0＋x2)(x2－x0)－mg(x2－x0)＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,max)－0，设振子振幅为A，则有A＝x2－x0，已知A甲＝10 cm，A乙＝5 cm，m甲∶m乙＝4∶1，联立以上各式得甲、乙最大速度之比v甲max∶v乙max＝1∶1，故D错误。
4.(多选)(2024·山东六校联考高二段考)如图所示，一个质量为m＝1 kg的小球连接在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定在天花板上，该弹簧的劲度系数k＝100 N/m，用手把小球向上托起，直到弹簧恢复原长时，由静止释放小球，忽略空气阻力，g取10 m/s2，小球会在竖直方向上来回振动。下列说法正确的是( CD )
A．小球速度最大时，弹簧处于原长
B．小球运动到最低点时，弹簧的弹性势能是1 J
C．以小球运动到的最低点为重力势能零参考面，小球运动到最高点时重力势能为2 J
D．小球的最大速度是1 m/s
解析：小球速度最大时，弹簧的弹力等于小球的重力，则弹簧不处于原长位置，故A错误；小球在平衡位置时弹簧的伸长量x＝eq \f(mg,k)＝eq \f(10,100) m＝0.1 m，小球运动到最低点，弹性势能等于重力势能的减小量，即E弹＝mg·2x＝1×10×0.2 J＝2 J，故B错误；以小球运动到的最低点为重力势能零参考面，小球运动到最高点时重力势能为Ep＝mg·2x＝1×10×0.2 J＝2 J，故C正确；小球在平衡位置速度最大，则由能量关系mgx＝E弹′＋eq \f(1,2)mveq \\al( 2,m)，其中E弹′＝eq \f(1,4)E弹＝0.5 J，解得小球的最大速度vm＝1 m/s，故D正确。
5．(多选)如图，水平轻质弹簧右端固定，左端与物体b连接，物体b静止在光滑水平面上，弹簧处于原长状态。物体a以水平初速度v0滑上物体b，最终两者相对静止。用v－t图像表示两者的运动情况，可能发生的是( BC )
A B C D
解析：A、B两图中，a、b达到共速时，由于惯性，ab将继续运动，弹簧发生形变，加速度不为零，只要ab间静摩擦力足够大，ab可一起做简谐运动，故A错误，B正确；C、D两图中，由图可知，达到共速前，a相对b超前，a受到的滑动摩擦力方向保持向左，做匀减速运动；达到共速前，b物体受到弹簧弹力和大小不变、方向向右的滑动摩擦力，可知b做简谐运动。当达到共速时，两者恰好速度为零，此时弹簧恢复原长，物体加速度为零，故两者保持静止，故C正确，D错误。
6．(多选)如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端连接一轻质薄板。t＝0时刻，一物块从其正上方某处由静止下落，落至薄板上后和薄板始终粘连，其位置随时间变化的图像(x－t)如图乙所示，其中t＝0.2 s时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不计，则( ACD )
A．t＝0.2 s后物块做简谐运动
B．t＝0.4 s时物块的加速度可能小于重力加速度
C．若增大物块质量，同时减小自由下落的高度，则物块与薄板粘连后振动的周期增大
D．t＝0.2 s后物块坐标位置随时间变化关系为x＝0.3 m＋0.2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(10π,3)t－0.2－\f(π,6)))(m)
解析：t＝0.2 s后，物块和薄板粘连，在竖直方向构成弹簧振子，从图像可以看出是正弦函数，故选项A正确；t＝0.4 s时，物块在最低点，根据牛顿第二定律和简谐运动的对称性可知，在最高点受到重力和弹簧向下的弹力，故加速度大于重力加速度，所以在最低点加速度也大于重力加速度，故选项B错误；弹簧振子做简谐运动的周期为T＝2πeq \r(\f(m,k))，可得，m增加，物块与薄板粘连后振动的周期增大，故选项C正确；由图像可知，周期为0.6 s，圆频率ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(10π,3) rad/s，振幅为0.2 m，t＝0.2 s后物块坐标位置随时间变化关系x＝0.3 m＋0.2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(10π,3)t－0.2－φ0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))，当t＝0.4 s时，x＝0.5 m，带入上式得φ0＝eq \f(π,6)，所以x＝0.3 m＋0.2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(10π,3)t－0.2－\f(π,6)))(m)，故选项D正确。
二、非选择题(共24分)
7．(12分)如图所示，一质量为M的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的顶部，另一端挂着用细线连接在一起的两物体A和B，mA＝mB＝m。剪断A、B间的细线后，A做简谐运动，求当A运动到最高点时，木箱对地面的压力大小。
答案：Mg
解析：剪断细线前，对A、B整体，由力的平衡条件可知，弹簧对A的弹力F满足F＝2mg，此时弹簧的伸长量为Δx1＝eq \f(F,k)＝eq \f(2mg,k)。剪断细线后，A做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为Δx2＝eq \f(mg,k)处，最低点即刚剪断细线时的位置，与平衡位置的距离为振幅A＝Δx1－Δx2＝eq \f(mg,k)，由简谐运动的对称性可知，当A运动到最高点时与平衡位置的距离也为eq \f(mg,k)，所以最高点的位置恰好在弹簧的原长处，此时弹簧对木箱作用力为零，所以此时木箱对地面的压力大小为Mg。
8．(12分)如图所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块，压缩弹簧使其长度为eq \f(3,4)L时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态，重力加速度为g。
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
(3)求弹簧的最大伸长量。
答案：(1)L＋eq \f(mgsin α,k) (2)见解析
(3)eq \f(L,4)＋eq \f(2mgsin α,k)
解析：(1)因物块处于平衡位置时，有kΔx＝mgsin α，则Δx＝eq \f(mgsin α,k)
弹簧长度L′＝L＋Δx＝L＋eq \f(mgsin α,k)。
(2)取沿斜面向下为正方向，物块相对于平衡位置的位移为x时，回复力F合＝mgsin α－k(x＋Δx)
其中kΔx＝mgsin α，解得F合＝－kx，可判定物块做简谐运动。
(3)开始时的压缩量为eq \f(1,4)L，振幅A＝eq \f(L,4)＋Δx＝eq \f(L,4)＋eq \f(mgsin α,k)，据简谐运动的对称性，其最大伸长量
x＝A＋Δx＝eq \f(L,4)＋eq \f(2mgsin α,k)。
能力提升练
(时间15分钟 满分40分)
一、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
1.如图所示，物体A、B叠放在光滑水平面上，轻质弹簧的一端固定在墙面上，另一端与A相连，弹簧的轴线与水平面平行。开始时弹簧处于伸长状态，释放后物体A、B一起运动，第一次向右通过平衡位置开始计时，取向右为正方向，则物体A受的摩擦力Ff与时间t的关系图像正确的是( A )
解析：以A、B整体为研究对象，根据牛顿第二定律得，加速度与振子位移的关系为a＝－eq \f(kx,mA＋mB)，再以B为研究对象，Ff＝mBa＝－eq \f(kmB,mA＋mB)·x，根据牛顿第三定律可知，A受到的摩擦力Ff′＝eq \f(kmB,mA＋mB)·x。振子做简谐运动时，x随时间按正弦规律变化，第一次向右通过平衡位置开始计时，t＝0时振子的位移为零，则A受到的摩擦力为零；然后物体A向右运动，则物体A所受摩擦力的方向也向右，所以图像为过坐标原点的正弦函数图像。
2.如图所示，有一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻弹簧，左端固定，右端与小球连接。小球质量为m，带电荷量为＋q。开始时小球静止在光滑绝缘水平面上，施加水平向右的匀强电场E后小球开始做简谐运动。小球经过O时加速度为零，A、B为小球能够到达的最大位移处。在小球做简谐运动过程中，下列判断正确的是( D )
A．小球的速度为零时，弹簧伸长量是eq \f(qE,k)
B．小球和弹簧系统的机械能守恒
C．小球做简谐运动的振幅是eq \f(2qE,k)
D．小球由O到B过程中，弹力做功的绝对值大于电场力做功的绝对值
解析：当小球受到的弹力与电场力平衡时，kx0＝qE。振幅为A＝x0＝eq \f(qE,k)，当小球速度为0时，弹簧伸长量为零(A点时)或eq \f(2qE,k)(B点时)，故A、C错误；因为在运动过程中存在电场力对系统做功，所以系统机械能不守恒，故B错误；小球从O到B的过程中，设弹力做功大小为W1，电场力做功大小为W2，小球经过O点时的动能为Ek，根据动能定理得：W2－W1＝－Ek，即W1＝W2＋Ek>W2，故D正确。
3．装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示，把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得振动周期为0.5 s，以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅，对于玻璃管(包括管内液体)，下列说法错误的是( C )
A．回复力等于玻璃管所受重力和浮力的合力
B．位移表达式为x＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(5,6)π)) cm
C．振动频率与按压的深度有关
D．在t1～t2时间内，玻璃管位移减小，加速度减小，速度增大
解析：玻璃管只受重力和水的浮力，所以回复力等于重力和浮力的合力，故A正确；振动的周期为0.5 s，则ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,0.5) rad/s＝4π rad/s，又A＝4 cm；t＝0时刻，x0＝－eq \f(A,2)＝Asin φ0，结合t＝0时刻玻璃管振动的方向向下，可知φ0＝eq \f(7,6)π，则玻璃管的振动位移表达式为x＝Asin(ωt＋φ0)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt＋\f(7,6)π)) cm＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(5,6)π)) cm，故B正确；简谐运动的周期和频率与振幅无关，故C错误；在t1～t2时间内，位移减小，回复力F＝－kx减小，加速度a＝eq \f(F,m)＝－eq \f(kx,m)减小；玻璃管向着平衡位置做加速运动，所以速度增大，故D正确。
二、非选择题(共22分)
4．(10分)如图所示，光滑的水平面上放有一弹簧振子，已知小球质量m＝0.5 kg，弹簧劲度系数k＝240 N/m，将小球从平衡位置O向左平移，将弹簧压缩5 cm，由静止释放后小球在A、B间滑动，则：
(1)小球加速度最大是在A、B、O三点中哪点？此时小球加速度多大？
(2)小球速度最大是在A、B、O三点中哪点？此时小球速度多大？(整个系统具有的最大弹性势能为0.3 J)
答案：(1)A、B两点，24 m/s2 (2)O点，1.1 m/s
解析：(1)由题意可知弹簧振子振幅A＝5 cm，由F＝－kx可知，振子在A、B两点回复力最大，由牛顿第二定律可知，此时加速度最大，大小为a＝eq \f(kA,m)＝24 m/s2。
(2)在平衡位置O小球的速度最大。根据机械能守恒，有Epm＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)，故vm＝eq \r(\f(2Epm,m))＝eq \r(\f(2×0.3,0.5)) m/s≈1.1 m/s。
5．(12分)如图所示，将质量为mA＝100 g的物体A放在弹簧上端并与之连接，弹簧下端连接一质量为mB＝200 g的物体B，物体B放在地面上，形成竖直方向的弹簧振子，使A上下振动。弹簧原长为10 cm，弹簧是劲度系数为k＝50 N/m。A、B的厚度可忽略不计，g取10 m/s2。
(1)当系统做简谐运动时，求A的平衡位置离地面的高度；
(2)若物体A在振动过程中弹簧始终不拉伸，当物体A以最大振幅振动时，求物体B对地面的最大压力；
(3)在第(2)问的基础上，从平衡位置到最低点过程中弹簧弹力对物体A做了多少功？
答案：(1)8 cm (2)4 N (3)0.03 J
解析：(1)A在平衡位置时，所受合力为零，弹簧被压缩的长度为
l1＝eq \f(mg,k)＝eq \f(0.1×10,50) m＝0.02 m＝2 cm，
A的平衡位置离地面的高度
h＝l－l1＝10 cm－2 cm＝8 cm。
(2)当A在向下的最大位移处时，弹簧的弹力最大，物体B对地面的压力最大，根据对称性可知，此时弹簧被压缩
l2＝2l1＝4 cm，
则物体B对地面的最大压力
FN＝mBg＋kl2＝4 N。
(3)根据机械能守恒定律可得平衡位置到最低点过程中弹簧弹力对物体A所做的功为
W＝eq \f(F1＋F2,2)l1＝eq \f(kl1＋kl2,2)l1＝0.03 J。
(时间25分钟 满分60分)
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1．在简谐运动中，振子每次经过同一位置时，下列各组中描述振动的物理量总是相同的是( B )
A．速度、加速度和动能
B．加速度、动能、回复力和位移
C．加速度、速度、动能和位移
D．位移、动能、速度和回复力
解析：振子每次经过同一位置时，其加速度、动能、回复力和位移总相同，速度可能反向，故选B。A、C、D错误。
2．关于回复力，下列说法错误的是( D )
A．回复力是物体离开平衡位置时受到的指向平衡位置的力
B．回复力是按力的作用效果命名的，它可能由弹力提供，也可能由摩擦力提供
C．回复力可能是几个力的合力，也可能是某一个力的分力
D．振动物体在平衡位置时，其所受合力为零
解析：回复力是物体离开平衡位置时受到的指向平衡位置的力，故A正确；回复力是按力的作用效果命名的，它可能由弹力提供，也可能由摩擦力提供，故B正确；回复力可能是几个力的合力，也可能是某一个力的分力，故C正确；振动物体在平衡位置时，其所受合力不一定为零，例如单摆摆到最低点时合力不为零，故D错误。
3．(2024·山东六校联考高二段考)甲、乙为竖直悬挂的两个弹簧振子，且悬挂振子的弹簧劲度系数相同，已知两振子质量之比是4∶1，振动图像如图所示。则下列说法正确的是( B )
A．甲、乙两弹簧振子的振动频率之比是2∶1
B．甲、乙两弹簧振子在10 s内经过的路程之比是1∶1
C．甲、乙两弹簧振子最大加速度之比是2∶1
D．甲、乙两弹簧振子最大速度之比是4∶1
解析：由题图可知，甲、乙两弹簧振子的振动周期分别为T甲＝2.0 s，T乙＝1.0 s，频率f＝eq \f(1,T)，甲、乙两弹簧振子的频率之比f甲∶f乙＝T乙∶T甲＝1∶2，故A错误；由题图可知，两弹簧振子的振幅分别为A甲＝10 cm，A乙＝5 cm，一个周期内振子的路程是振幅的4倍，即4A，t＝10 s＝5T甲＝10T乙，在10 s内甲的路程s甲＝5×4×10 cm＝200 cm，乙的路程s乙＝10×4×5 cm＝200 cm,10 s内甲、乙路程之比是1∶1，故B正确；由胡克定律可知，弹簧的弹力F＝kx，弹簧的弹力和振子的重力的合力提供回复力，振子在最大位移处加速度最大，甲、乙两弹簧振子的最大加速度之比eq \f(a甲,a乙)＝eq \f(\f(kA甲,m甲),\f(kA乙,m乙))＝eq \f(A甲m乙,A乙m甲)＝eq \f(10,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，故C错误；振子经过平衡位置时速度最大，设最大速度为vmax，设振子在平衡位置时弹簧的伸长量为x0，在最低点时的弹簧伸长量为x2，在平衡位置有mg＝kx0，从最低点到平衡位置时，根据动能定理得eq \f(1,2)k(x0＋x2)(x2－x0)－mg(x2－x0)＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,max)－0，设振子振幅为A，则有A＝x2－x0，已知A甲＝10 cm，A乙＝5 cm，m甲∶m乙＝4∶1，联立以上各式得甲、乙最大速度之比v甲max∶v乙max＝1∶1，故D错误。
4.(多选)(2024·山东六校联考高二段考)如图所示，一个质量为m＝1 kg的小球连接在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定在天花板上，该弹簧的劲度系数k＝100 N/m，用手把小球向上托起，直到弹簧恢复原长时，由静止释放小球，忽略空气阻力，g取10 m/s2，小球会在竖直方向上来回振动。下列说法正确的是( CD )
A．小球速度最大时，弹簧处于原长
B．小球运动到最低点时，弹簧的弹性势能是1 J
C．以小球运动到的最低点为重力势能零参考面，小球运动到最高点时重力势能为2 J
D．小球的最大速度是1 m/s
解析：小球速度最大时，弹簧的弹力等于小球的重力，则弹簧不处于原长位置，故A错误；小球在平衡位置时弹簧的伸长量x＝eq \f(mg,k)＝eq \f(10,100) m＝0.1 m，小球运动到最低点，弹性势能等于重力势能的减小量，即E弹＝mg·2x＝1×10×0.2 J＝2 J，故B错误；以小球运动到的最低点为重力势能零参考面，小球运动到最高点时重力势能为Ep＝mg·2x＝1×10×0.2 J＝2 J，故C正确；小球在平衡位置速度最大，则由能量关系mgx＝E弹′＋eq \f(1,2)mveq \\al( 2,m)，其中E弹′＝eq \f(1,4)E弹＝0.5 J，解得小球的最大速度vm＝1 m/s，故D正确。
5．(多选)如图，水平轻质弹簧右端固定，左端与物体b连接，物体b静止在光滑水平面上，弹簧处于原长状态。物体a以水平初速度v0滑上物体b，最终两者相对静止。用v－t图像表示两者的运动情况，可能发生的是( BC )
A B C D
解析：A、B两图中，a、b达到共速时，由于惯性，ab将继续运动，弹簧发生形变，加速度不为零，只要ab间静摩擦力足够大，ab可一起做简谐运动，故A错误，B正确；C、D两图中，由图可知，达到共速前，a相对b超前，a受到的滑动摩擦力方向保持向左，做匀减速运动；达到共速前，b物体受到弹簧弹力和大小不变、方向向右的滑动摩擦力，可知b做简谐运动。当达到共速时，两者恰好速度为零，此时弹簧恢复原长，物体加速度为零，故两者保持静止，故C正确，D错误。
6．(多选)如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端连接一轻质薄板。t＝0时刻，一物块从其正上方某处由静止下落，落至薄板上后和薄板始终粘连，其位置随时间变化的图像(x－t)如图乙所示，其中t＝0.2 s时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不计，则( ACD )
A．t＝0.2 s后物块做简谐运动
B．t＝0.4 s时物块的加速度可能小于重力加速度
C．若增大物块质量，同时减小自由下落的高度，则物块与薄板粘连后振动的周期增大
D．t＝0.2 s后物块坐标位置随时间变化关系为x＝0.3 m＋0.2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(10π,3)t－0.2－\f(π,6)))(m)
解析：t＝0.2 s后，物块和薄板粘连，在竖直方向构成弹簧振子，从图像可以看出是正弦函数，故选项A正确；t＝0.4 s时，物块在最低点，根据牛顿第二定律和简谐运动的对称性可知，在最高点受到重力和弹簧向下的弹力，故加速度大于重力加速度，所以在最低点加速度也大于重力加速度，故选项B错误；弹簧振子做简谐运动的周期为T＝2πeq \r(\f(m,k))，可得，m增加，物块与薄板粘连后振动的周期增大，故选项C正确；由图像可知，周期为0.6 s，圆频率ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(10π,3) rad/s，振幅为0.2 m，t＝0.2 s后物块坐标位置随时间变化关系x＝0.3 m＋0.2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(10π,3)t－0.2－φ0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))，当t＝0.4 s时，x＝0.5 m，带入上式得φ0＝eq \f(π,6)，所以x＝0.3 m＋0.2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(10π,3)t－0.2－\f(π,6)))(m)，故选项D正确。
二、非选择题(共24分)
7．(12分)如图所示，一质量为M的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的顶部，另一端挂着用细线连接在一起的两物体A和B，mA＝mB＝m。剪断A、B间的细线后，A做简谐运动，求当A运动到最高点时，木箱对地面的压力大小。
答案：Mg
解析：剪断细线前，对A、B整体，由力的平衡条件可知，弹簧对A的弹力F满足F＝2mg，此时弹簧的伸长量为Δx1＝eq \f(F,k)＝eq \f(2mg,k)。剪断细线后，A做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为Δx2＝eq \f(mg,k)处，最低点即刚剪断细线时的位置，与平衡位置的距离为振幅A＝Δx1－Δx2＝eq \f(mg,k)，由简谐运动的对称性可知，当A运动到最高点时与平衡位置的距离也为eq \f(mg,k)，所以最高点的位置恰好在弹簧的原长处，此时弹簧对木箱作用力为零，所以此时木箱对地面的压力大小为Mg。
8．(12分)如图所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块，压缩弹簧使其长度为eq \f(3,4)L时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态，重力加速度为g。
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
(3)求弹簧的最大伸长量。
答案：(1)L＋eq \f(mgsin α,k) (2)见解析
(3)eq \f(L,4)＋eq \f(2mgsin α,k)
解析：(1)因物块处于平衡位置时，有kΔx＝mgsin α，则Δx＝eq \f(mgsin α,k)
弹簧长度L′＝L＋Δx＝L＋eq \f(mgsin α,k)。
(2)取沿斜面向下为正方向，物块相对于平衡位置的位移为x时，回复力F合＝mgsin α－k(x＋Δx)
其中kΔx＝mgsin α，解得F合＝－kx，可判定物块做简谐运动。
(3)开始时的压缩量为eq \f(1,4)L，振幅A＝eq \f(L,4)＋Δx＝eq \f(L,4)＋eq \f(mgsin α,k)，据简谐运动的对称性，其最大伸长量
x＝A＋Δx＝eq \f(L,4)＋eq \f(2mgsin α,k)。
能力提升练
(时间15分钟 满分40分)
一、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
1.如图所示，物体A、B叠放在光滑水平面上，轻质弹簧的一端固定在墙面上，另一端与A相连，弹簧的轴线与水平面平行。开始时弹簧处于伸长状态，释放后物体A、B一起运动，第一次向右通过平衡位置开始计时，取向右为正方向，则物体A受的摩擦力Ff与时间t的关系图像正确的是( A )
解析：以A、B整体为研究对象，根据牛顿第二定律得，加速度与振子位移的关系为a＝－eq \f(kx,mA＋mB)，再以B为研究对象，Ff＝mBa＝－eq \f(kmB,mA＋mB)·x，根据牛顿第三定律可知，A受到的摩擦力Ff′＝eq \f(kmB,mA＋mB)·x。振子做简谐运动时，x随时间按正弦规律变化，第一次向右通过平衡位置开始计时，t＝0时振子的位移为零，则A受到的摩擦力为零；然后物体A向右运动，则物体A所受摩擦力的方向也向右，所以图像为过坐标原点的正弦函数图像。
2.如图所示，有一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻弹簧，左端固定，右端与小球连接。小球质量为m，带电荷量为＋q。开始时小球静止在光滑绝缘水平面上，施加水平向右的匀强电场E后小球开始做简谐运动。小球经过O时加速度为零，A、B为小球能够到达的最大位移处。在小球做简谐运动过程中，下列判断正确的是( D )
A．小球的速度为零时，弹簧伸长量是eq \f(qE,k)
B．小球和弹簧系统的机械能守恒
C．小球做简谐运动的振幅是eq \f(2qE,k)
D．小球由O到B过程中，弹力做功的绝对值大于电场力做功的绝对值
解析：当小球受到的弹力与电场力平衡时，kx0＝qE。振幅为A＝x0＝eq \f(qE,k)，当小球速度为0时，弹簧伸长量为零(A点时)或eq \f(2qE,k)(B点时)，故A、C错误；因为在运动过程中存在电场力对系统做功，所以系统机械能不守恒，故B错误；小球从O到B的过程中，设弹力做功大小为W1，电场力做功大小为W2，小球经过O点时的动能为Ek，根据动能定理得：W2－W1＝－Ek，即W1＝W2＋Ek>W2，故D正确。
3．装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示，把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得振动周期为0.5 s，以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅，对于玻璃管(包括管内液体)，下列说法错误的是( C )
A．回复力等于玻璃管所受重力和浮力的合力
B．位移表达式为x＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(5,6)π)) cm
C．振动频率与按压的深度有关
D．在t1～t2时间内，玻璃管位移减小，加速度减小，速度增大
解析：玻璃管只受重力和水的浮力，所以回复力等于重力和浮力的合力，故A正确；振动的周期为0.5 s，则ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,0.5) rad/s＝4π rad/s，又A＝4 cm；t＝0时刻，x0＝－eq \f(A,2)＝Asin φ0，结合t＝0时刻玻璃管振动的方向向下，可知φ0＝eq \f(7,6)π，则玻璃管的振动位移表达式为x＝Asin(ωt＋φ0)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt＋\f(7,6)π)) cm＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(5,6)π)) cm，故B正确；简谐运动的周期和频率与振幅无关，故C错误；在t1～t2时间内，位移减小，回复力F＝－kx减小，加速度a＝eq \f(F,m)＝－eq \f(kx,m)减小；玻璃管向着平衡位置做加速运动，所以速度增大，故D正确。
二、非选择题(共22分)
4．(10分)如图所示，光滑的水平面上放有一弹簧振子，已知小球质量m＝0.5 kg，弹簧劲度系数k＝240 N/m，将小球从平衡位置O向左平移，将弹簧压缩5 cm，由静止释放后小球在A、B间滑动，则：
(1)小球加速度最大是在A、B、O三点中哪点？此时小球加速度多大？
(2)小球速度最大是在A、B、O三点中哪点？此时小球速度多大？(整个系统具有的最大弹性势能为0.3 J)
答案：(1)A、B两点，24 m/s2 (2)O点，1.1 m/s
解析：(1)由题意可知弹簧振子振幅A＝5 cm，由F＝－kx可知，振子在A、B两点回复力最大，由牛顿第二定律可知，此时加速度最大，大小为a＝eq \f(kA,m)＝24 m/s2。
(2)在平衡位置O小球的速度最大。根据机械能守恒，有Epm＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)，故vm＝eq \r(\f(2Epm,m))＝eq \r(\f(2×0.3,0.5)) m/s≈1.1 m/s。
5．(12分)如图所示，将质量为mA＝100 g的物体A放在弹簧上端并与之连接，弹簧下端连接一质量为mB＝200 g的物体B，物体B放在地面上，形成竖直方向的弹簧振子，使A上下振动。弹簧原长为10 cm，弹簧是劲度系数为k＝50 N/m。A、B的厚度可忽略不计，g取10 m/s2。
(1)当系统做简谐运动时，求A的平衡位置离地面的高度；
(2)若物体A在振动过程中弹簧始终不拉伸，当物体A以最大振幅振动时，求物体B对地面的最大压力；
(3)在第(2)问的基础上，从平衡位置到最低点过程中弹簧弹力对物体A做了多少功？
答案：(1)8 cm (2)4 N (3)0.03 J
解析：(1)A在平衡位置时，所受合力为零，弹簧被压缩的长度为
l1＝eq \f(mg,k)＝eq \f(0.1×10,50) m＝0.02 m＝2 cm，
A的平衡位置离地面的高度
h＝l－l1＝10 cm－2 cm＝8 cm。
(2)当A在向下的最大位移处时，弹簧的弹力最大，物体B对地面的压力最大，根据对称性可知，此时弹簧被压缩
l2＝2l1＝4 cm，
则物体B对地面的最大压力
FN＝mBg＋kl2＝4 N。
(3)根据机械能守恒定律可得平衡位置到最低点过程中弹簧弹力对物体A所做的功为
W＝eq \f(F1＋F2,2)l1＝eq \f(kl1＋kl2,2)l1＝0.03 J。
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