2023-2024学年广东省广州市荔湾区真光中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市荔湾区真光中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．+＝B．4﹣3＝1C．2×2＝4D．÷＝3
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．6，8，9C．1，1，D．3，4，6
4．下列二次根式中，与能合并的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝2
B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10
D．点A到直线BC的距离是2
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠ABO＝∠CBO
7．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+bB．2a﹣bC．﹣bD．b
8．有一个圆柱（如图），它的高等于12厘米，底面周长等于10厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为（ ）
A．厘米B．12.4厘米C．13厘米D．10厘米
9．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，EC＝，则BC的长度是（ ）
A．B．8C．D．
10．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④．其中正确的有（ ）
A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．要使二次根式有意义，则的取值范围是 ．
12．如图，在△ABC中，EF是△ABC的中位线，且EF＝5，则AC等于 ．
13．若，则（a+b）2024＝ ．
14．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
15．在Rt△ABC中，其中两条边的长分别是3和4，则这个三角形的面积等于 ．
16．如图，E是正方形ABCD的对角线AC上一动点，以DE为一边作正方形DEFG，H是DC的中点，连接GH，若正方形的边长AB＝2，则GH的最小值是 ．
三．解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF，求证：四边形BEDF为平行四边形．
19．先化简，再求值：，其中．
20．位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH．
22．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝25cm，D是腰AB上一点，连接CD，且CD＝24cm，BD＝7cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AB的长．
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形，并证明．
24．在△ABC和△ADE中，点D在BC边上，∠BAC＝∠DAE＝α，AD＝AE．
（1）若AB＝AC．
ⅰ）如图1，当α＝90°时，连接EC，证明：BD2+CD2＝ED2；
ⅱ）如图2，当α＝60°时，过点A作DE的垂线，交BC边于点F，若BC＝8，BD＝2，求线段CF的长；
（2）如图3，已知α＝90°，作∠DAE的角平分线交BC边于点H，若，，当CH＝1时，求线段BD的长．
25．点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE＝PB，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，连接DE交AC于点F．
①试判断△PDE的形状，并说明理由；
②若正方形边长为4，当点E为BC的中点，则PE的长为 ．
（2）如图2，当点P在线段OC上时，试探究线段AP，CP，CE的等量关系，并说明理由．
（3）若AC＝10，连接DE，取DE的中点Q，则当点P从点A运动到点C时，点Q所经过的路径长为 ．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．+＝B．4﹣3＝1C．2×2＝4D．÷＝3
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
解：A、+，无法合并，故此选项错误；
B、4﹣3＝，故此选项错误；
C、2×2＝12，故此选项错误；
D、÷＝3，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．6，8，9C．1，1，D．3，4，6
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、62+82≠92，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、32+42≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．下列二次根式中，与能合并的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
解：，
根据同类二次根式的定义可知能与合并，
故选：D．
【点评】本题考查的是同类二次根式，关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
5．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝2
B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10
D．点A到直线BC的距离是2
【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．
解：A、∵AB2＝22+42＝20，
∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
C、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵BC2＝32+42＝25，
∴BC＝5，
则×5×h＝5，
解得，h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠ABO＝∠CBO
【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
解：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当∠ABO＝∠CBO时，
由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，
∴∠ABO＝∠ADO，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
故选：B．
【点评】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．
7．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）
A．﹣2a+bB．2a﹣bC．﹣bD．b
【分析】根据数轴表示a＜0，|a|＝﹣a．＝|a﹣b|．
解：根据数轴可知：a＜0＜b，且|a|＞|b|．
∴|a|+＝﹣a﹣（a﹣b）＝﹣2a+b．
故选：A．
【点评】本题是一道考查有关二次根式的性质、有理数的减法的题目，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
8．有一个圆柱（如图），它的高等于12厘米，底面周长等于10厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为（ ）
A．厘米B．12.4厘米C．13厘米D．10厘米
【分析】根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长，求出AC，BC，根据勾股定理求出AB即可．
解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长，
由题意得：AC＝×10厘米＝5厘米，BC＝12厘米，
由勾股定理得：AB＝＝13（厘米），
故选：C．
【点评】本题主要考查对勾股定理，平面展开﹣最短路径问题等知识点的理解和掌握，理解题意知道蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长是解此题的关键．
9．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，EC＝，则BC的长度是（ ）
A．B．8C．D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出AB长，根据勾股定理求出BE即可．
解：∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°，
∵DE＝5，D为AB中点，
∴AB＝2DE＝10，
在Rt△ABE中，
∵AE＝8，
∴由勾股定理得：BE＝＝＝6，
在Rt△CBE中，
∵EC＝，BE＝6，
∴由勾股定理得：BC＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，掌握相关图形的性质是解题的关键．
10．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④．其中正确的有（ ）
A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG＝AD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG＝AD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG＝∠DAG．则问题得解．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴△BCE≌△CDF，
∴∠ECB＝∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG＝CD＝AD，故④正确；
连接AH，
同理可得：AH⊥DF，
∵HG＝HD＝CD，
∴DK＝GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG＝AD，故②正确；
∴∠DAG＝2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH＝∠CDF，
∵GH＝DH，
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，
∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．
故选：D．
【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．要使二次根式有意义，则的取值范围是 x≥5 ．
【分析】直接利用二次根式的定义得出答案．
解：二次根式有意义，故x﹣5≥0，
则x的取值范围是：x≥5．
故答案为：x≥5．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
12．如图，在△ABC中，EF是△ABC的中位线，且EF＝5，则AC等于 10 ．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出AC．
解：在△ABC中，
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC，
∴AC＝2EF，
∵EF＝5，
∴AC＝2×5＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键．
13．若，则（a+b）2024＝ 1 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
解：∵，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴（a+b）2024＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
14．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．
解：由图形可得：原点到A点的距离为，
则数轴上点A表示的实数是：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识，正确原点到A的距离是解题关键．
15．在Rt△ABC中，其中两条边的长分别是3和4，则这个三角形的面积等于 6或 ．
【分析】分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的面积公式计算．
解：当4是直角边时，这个三角形的面积＝×3×4＝6，
当4是斜边时，另一条直角边＝＝
这个三角形的面积＝×3×＝，
故答案为：6或．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
16．如图，E是正方形ABCD的对角线AC上一动点，以DE为一边作正方形DEFG，H是DC的中点，连接GH，若正方形的边长AB＝2，则GH的最小值是 ．
【分析】作EM⊥CD于点M，作GH⊥CD于点N，证明△DEM≌△GDN，然后设CM的长为x，把GH用含x的式子表示出来，再利用二次函数的性质即可得出答案．
解：如图，作EM⊥CD于点M，作GH⊥CD于点N，
∵∠EDG＝90°，
∴∠DEM＝∠GDN，
在△DEM和△GDN中，
，
∴△DEM≌△GDN（AAS），
∴EM＝DN，DM＝GN，
设CM＝x（0＜x＜2），则DM＝2﹣x＝DG，
由勾股定理得GD＝，
∴GH＝＝，
∵0＜x＜2，
∴当x＝时，GH取得最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查全等三角形得判定和正方形的性质，关键是要牢记正方形的性质，能作出辅助线构造全等三角形．
三．解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先算乘除法，再算减法即可．
解：（1）
＝3﹣﹣2
＝3﹣﹣2
＝﹣；
（2）
＝﹣
＝4﹣
＝3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF，求证：四边形BEDF为平行四边形．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得BE∥DF，又AF＝CE，所以四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥FB，AD＝BC，
又∵AE＝CF，
∴DE＝FB，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点评】此题主要考查平行四边形的判定和性质，解决本题的关键是熟记一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
19．先化简，再求值：，其中．
【分析】先计算括号内分式的减法、将除法转化为乘法，再约分即可化简原式，再将x的值代入计算即可．
解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当时，
原式＝
＝
＝1﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？
【分析】在Rt△ABC中用勾股定理求出AB＝15，在Rt△DBC中用勾股定理求出BD＝6，再根据AD＝AB﹣BD的出结果．
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8m，AC＝17m，
∴AB＝＝＝15（m），
∵工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，
∴CD＝17﹣0.35×20＝10（m），
∴BD＝＝＝6（m），
∴AD＝AB﹣BD＝9（m）．
答：此时游船移动的距离AD的长是9m．
【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH．
【分析】首先求出AB，再利用AB•DH＝AC•BD，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是菱形，DH⊥AB，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，
∴在Rt△AOB中，AB＝，
∴AB•DH＝AC•BD，
∴10•DH＝×16×12，
∴DH＝9.6．
【点评】本题考查菱形的性质、面积、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝25cm，D是腰AB上一点，连接CD，且CD＝24cm，BD＝7cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AB的长．
【分析】（1）由BC＝25cm，CD＝24cm，BD＝7cm，知道BC2＝BD2+CD2，根据勾股定理的逆定理可得△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝x cm，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程可求出AB的长．
【解答】（1）证明：∵BC＝25cm，CD＝24cm，BD＝7cm，
∴BC2＝132＝169，
BD2+CD2＝52+122＝25+144＝169，
即BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB＝x cm，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x cm．
∵△BDC为直角三角形，
∴△ADC为直角三角形，
∴AD2+CD2＝AC2，
即x2＝（x﹣7）2+242，
解得：，
故AB的长为：．
【点评】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理解答．
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形，并证明．
【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE＝90°，可以证明四边形ADCE为矩形；
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD＝BC，由已知可得，DC＝BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．
【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝，
∵AN是∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝，
∴∠DAE＝，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，理由如下；
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴DC＝AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形，
故当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
24．在△ABC和△ADE中，点D在BC边上，∠BAC＝∠DAE＝α，AD＝AE．
（1）若AB＝AC．
ⅰ）如图1，当α＝90°时，连接EC，证明：BD2+CD2＝ED2；
ⅱ）如图2，当α＝60°时，过点A作DE的垂线，交BC边于点F，若BC＝8，BD＝2，求线段CF的长；
（2）如图3，已知α＝90°，作∠DAE的角平分线交BC边于点H，若，，当CH＝1时，求线段BD的长．
【分析】（1）ⅰ）用SAS证明△BAD≌△CAE，进而证得△CDE是直角三角形，即可得结论；
ⅱ）连接EF、CE，作EG⊥BC交BC的延长线于点G，用SAS证明△BAD≌△CAE，得∠BAD＝∠CAE，△ABC、△ADE都是等边三角形，再利用等边三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解；
（2）延长AC至N，使CN＝AC，连接EN，交BC的延长线于点M，连接HE，作AP⊥BC于P，用SAS证明△BAD≌△NAE，再利用等腰三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解；
【解答】（1）ⅰ）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
∴BD2+CD2＝ED2；
ⅱ）解：连接EF、CE，作EG⊥BC交BC的延长线于点G，
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，△ABC、△ADE都是等边三角形，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°，
∴∠ECG＝180°﹣∠BCE＝60°，
∴∠CEG＝30°，
∴，
∵BC＝8，BD＝2，
∴BD＝CE＝2，
∴，
∵AF⊥DE，
∴AF是DE的垂直平分线，
∴DF＝EF，
设CF＝x，则DF＝EF＝8﹣2﹣x＝6﹣x，
在Rt△EFG中，EF2＝EG2+FG2，
即，
解得，
即线段CF的长为．
（2）解：延长AC至N，使CN＝AC，连接EN，交BC的延长线于点M，连接HE，
作AP⊥BC于P，
∵，
∴，
∵，
∴AB＝AN，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ANE中，
，
∴△BAD≌△NAE（SAS），
∴BD＝NE，∠B＝∠N，
∵∠ACB＝∠NCM，∠B+∠ACB＝90°，
∴∠N+∠NCM＝90°，
∴NE⊥BM，
∵Rt△ABC中，，，
∴，
∴，即，
∴AP＝4，
∵∠ACB＝∠NCM，∠APC＝∠NMC＝90°，AC＝NC，
∴△APC≌△NMC（AAS），
∴AP＝NM＝4，
∴，
∴HM＝3，Rt△HEM
∵AH是∠DAE的角平分线，AD＝AE，
∴AH是线段DE的垂直平分线，
∴DH＝EH，
设BD＝NE＝x，则DH＝HE＝BC﹣BD﹣CH＝9﹣x，ME＝x﹣4，
在Rt△HEM中，HE2＝HM2+ME2，
即（9﹣x）2＝32+（x﹣4）2，
解得，x＝5.6，
∴线段BD的长为5.6．
【点评】本题是考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE＝PB，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，连接DE交AC于点F．
①试判断△PDE的形状，并说明理由；
②若正方形边长为4，当点E为BC的中点，则PE的长为 ．
（2）如图2，当点P在线段OC上时，试探究线段AP，CP，CE的等量关系，并说明理由．
（3）若AC＝10，连接DE，取DE的中点Q，则当点P从点A运动到点C时，点Q所经过的路径长为 ．
【分析】（1）①根据点P在线段AO上，利用三角形的全等判定可以得出问题；
②勾股定理得出DE，根据①的结论即可求解；
（2）过点P作MG⊥AB交AB于点M，交DC于点G，过点P作PN⊥BC于点N，设NC＝a，BN＝b，分别求得，CE＝b﹣a，即可求解；
（3）根据题意得出点Q的起始点，进而根据三角形的中位线的性质即可求解．
解：（1）①△PDE是等腰直角三角形，理由如下：
连接DE，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，
∵PC＝PC，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴PD＝PE，∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
由四边形PECD内角和为360°，
∴∠DPE+∠DCE＝180°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DPE＝90°，
∴PD＝PE且PD⊥PE；
∴△PDE是等腰直角三角形；
②若正方形边长为4，当点E为BC的中点，
则CE＝2，
在Rt△DCE中，，
∵△PDE是等腰直角三角形，
∴PE＝，
故答案为：．
（2）如图所示，过点P作MG⊥AB交AB于点M，交DC于点G，过点P作PN⊥BC于点N，
∴△AMP，△PNC是等腰直角三角形，四边形BMPN是矩形，
设NC＝a，BN＝b
则AM＝MP＝b，PN＝NC＝a
∴，
∵PB＝PE，PN⊥BC，
∴BN＝NE，
∴CE＝NE﹣NC＝NB﹣NC＝b﹣a，
∴；
（3）如图所示，作B关于CD的对称点H，连接DH，取中点K，连接OK，
当点P与点A重合时，点Q与点O重合，当点P与点C重合时，点Q与点K重合，
∴当点P从点A运动到点C时，点Q所经过的路径长为OK的长，
∵AC＝10，
∴，
则
∵，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．