2023-2024学年四川省雅安中学八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省雅安中学八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知x＜y，则下列结论不成立的是（ ）
A．x﹣5＜y﹣5B．﹣2x＜﹣2yC．3x+1＜3y+1D．
2．一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则此不等式组的解集是（ ）
A．x≤1B．x＞3C．x≥3D．1≤x＜3
3．已知实数x，y满足|x﹣4|，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20
C．16D．以上答案均不对
4．已知关于x的不等式（2a﹣4）x＞3的解集为x＜，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．a＜2D．a＞2
5．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2
6．如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（ ）
A．S1+S2＝S3B．S1+S2＜S3C．S1+S2＞S3D．无法确定
7．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（19﹣x）≥90B．10x﹣5（19﹣x）＞90
C．10x﹣（19﹣x）≥90D．10x﹣（19﹣x）＞90
8．如图，直线y1＝kx+b经过点A和点B，直线y2＝2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣2B．﹣2＜x＜﹣1C．﹣2＜x＜0D．﹣1＜x＜0
二、填空题（5小题，每小题4分，共20分）
9．关于x的不等式2x﹣a≤﹣3的解集如图所示，则a的值是 ．
10．如图△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，D是AB的中点，DE交AC于E点，连接BE，BC＝10cm，
△BEC的周长是24cm，那么AB的长是 ．
11．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝48°，则∠ACB＝ ．
12．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有 人．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到边AB的距离为 ．
三、解答题
14．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（1）＜﹣1
（2）．
15．如图所示，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D、E．
（1）若∠DAE＝50°，求∠BAC的度数；
（2）若△ADE的周长为19cm，求BC的长度．
16．成都高新西区体育公园即将在2021年5月底呈现，该公园的设计不仅重视健身场所的打造，还关注人文和自然的结合．现某项目组需要购买甲、乙两种树苗对公园进行绿化，已知甲种树苗每棵300元，乙种树苗每棵200元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗总金额为55000元．
（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）为保证绿化效果，项目组决定再购买甲、乙两种树苗共20棵，总费用不超过4800元，问最多可购买多少棵甲种树苗？
17．如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△ABP的面积；
（3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集．
18．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
一、填空题（每题4分，共20分）
19．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞4，则k的取值范围是 ．
20．在△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，且点A到BC的距离为8，点O到BC的距离为3，则AO的长 ．
21．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ．
22．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝ ．
23．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AE于点D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD．下列结论：①BC+CE＝AB，②，③BD＝CD，④∠ADC＝45°，⑤AC+AB＝2AM；其中正确的结论有 ．
二、解答题（共30分）
24．随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需300万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需270万元，
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
25．（1）【阅读理解】“|a|”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“|a|≥2”可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“|a|＜2”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|＞2”成立，列举的a的值为 和 ．
我们定义：形如“|x|≤m”“|x|≥m”“|x|＜m”“|x|＞m”（m为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由如图可以得出：绝对值不等式|x|＞1的解集是x＜﹣1或x＞1，
绝对值不等式|x|≤3的解集是﹣3≤x≤3．
则：①不等式|x|≥4的解集是 ．
②不等式|x|＜2的解集是 ．
（3）【拓展应用】解不等式|x+1|+|x﹣3|＞4，并画图说明．
26．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB＝BC，P为线段AB（不含A，B两点）上一点，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，M为线段CA延长线上一点，且AM＝CQ，在直线AC上方的直线AB上是否存在点N，使△QMN是以QM为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．已知x＜y，则下列结论不成立的是（ ）
A．x﹣5＜y﹣5B．﹣2x＜﹣2yC．3x+1＜3y+1D．
【分析】不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质解答即可．
解：A、由x＜y，可得x﹣5＜y﹣5，成立，故本选项不合题意；
B、由x＜y，可得﹣2x＞﹣2y，故本选项符合题意；
C、由x＜y，可得3x+1＜3y+1，成立，故本选项不合题意；
D、由x＜y，可得，成立，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
2．一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则此不等式组的解集是（ ）
A．x≤1B．x＞3C．x≥3D．1≤x＜3
【分析】根据数轴上表示出的解集，找出公共部分即可．
解：根据数轴得：，
则此不等式组的解集为x＞3，
故选：B．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3．已知实数x，y满足|x﹣4|，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20
C．16D．以上答案均不对
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
解：根据题意得
，
解得，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8＝20．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
4．已知关于x的不等式（2a﹣4）x＞3的解集为x＜，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．a＜2D．a＞2
【分析】先根据不等号的方向，判断不等号两边都除以了一个正（或负）数，再解不等式确实a的范围．
解：∵关于x的不等式（2a﹣4）x＞3的解集为x＜，
∴2a﹣4＜0，
∴a＜2，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的解法及性质．不等式的性质：不等式的两边都乘（或除）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除）同一个负数，不等号的方向改变．
5．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2
【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值小于2的自变量x的取值范围．
解：由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了数形结合的数学思想，即学生利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用．易错易混点：学生往往由于不理解不等式与一次函数的关系或者不会应用数形结合，盲目答题，造成错误．
6．如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（ ）
A．S1+S2＝S3B．S1+S2＜S3C．S1+S2＞S3D．无法确定
【分析】根据角平分线的性质和三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可．
解：∵点I是△ABC三条角平分线的交点，
∴△ABI和△BIC和△AIC的高相等，
∵△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，
∴S1+S2＝，S3＝，
由△ABC的三边关系得：AB+AC＞BC，
∴S1+S2＞S3，
故选：C．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出△ABI和△BIC和△AIC的高相等解答．
7．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（19﹣x）≥90B．10x﹣5（19﹣x）＞90
C．10x﹣（19﹣x）≥90D．10x﹣（19﹣x）＞90
【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：﹣5（19﹣x），不等关系：小聪得分超过90分．
解：设他答对了x道题，根据题意，得
10x﹣5（19﹣x）＞90．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键．
8．如图，直线y1＝kx+b经过点A和点B，直线y2＝2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣2B．﹣2＜x＜﹣1C．﹣2＜x＜0D．﹣1＜x＜0
【分析】根据图象，当﹣2＜x＜﹣1时，直线y1＝kx+b在x轴的下方，且在直线y2＝2x的上方，据此即可求得不等式2x＜kx+b＜0的解集为点A与点B之间的横坐标的范围．
解：∵A（﹣1，2），B（﹣2，0），
观察图象，不等式2x＜kx+b＜0的解集为﹣2＜x＜﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数与不等式的关系，解题的关键 是根据函数图象找出满足不等式组的信息解集问题．
二、填空题（5小题，每小题4分，共20分）
9．关于x的不等式2x﹣a≤﹣3的解集如图所示，则a的值是 1 ．
【分析】首先用a表示出不等式的解集，然后解出a．
解：∵2x﹣a≤﹣3，
∴x，
∵x≤﹣1，
∴a＝1．
故答案为：1．
【点评】不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
10．如图△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，D是AB的中点，DE交AC于E点，连接BE，BC＝10cm，
△BEC的周长是24cm，那么AB的长是 14cm ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵DE⊥AB，D是AB的中点，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
△BEC的周长＝BC+CE+BE＝BC+CE+EA＝BC+CA＝24cm，
又∵BC＝10cm，
∴AC＝14cm，
∴AB＝AC＝14cm．
故答案为：14cm．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝48°，则∠ACB＝ 108° ．
【分析】由CD＝AC，∠A＝48°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD＝BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．
解：∵CD＝AC，∠A＝48°，
∴∠ADC＝48°，
由作图知MN是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝24°，
则∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝108°，
故答案为：108°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
12．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有 34或38 人．
【分析】设安排住宿的房间有x间，则学生有4x+10人，根据“每间住4人，则还余10人无宿舍住和；每间住6人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答即可．
解：设安排住宿的房间有x间，则学生有（4x+10）人，
根据题意得：，
解得：5.5≤x≤7.5，
又因为x只能取正整数，
所以x＝6或x＝7，
当x＝6时，4×6+10＝34（人），
当x＝7时，4×7+10＝38（人），
故答案为：34或38．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系式正确列出一元一次不等式组是解决本题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到边AB的距离为 2cm ．
【分析】根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD，设OE＝x，然后利用三角形面积公式得到S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，于是可得到关于x的方程，从而可得到OF的长度．
解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，CA＝6cm，
∴AB＝＝10（cm），
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
设OE＝OF＝OD＝x，
∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，
∴×6×8＝OF×10+OE×6+OD×8，
∴5x+3x+4x＝24，
∴x＝2，
∴点O到AB的距离等于2cm．
故答案为：2cm．
【点评】本题考查了勾股定理和角平分线的性质，掌握角平分线上的点到这个角两边的距离相等，面积法的应用是解题的关键．
三、解答题
14．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（1）＜﹣1
（2）．
【分析】（1）先去分母，再去括号得到4x+4＜5x﹣5﹣6，然后移项后合并，再把x的系数化为1得到x＞15，最后用数轴表示解集；
（2）先分别解两个不等式得到x≥7和x＜2，再利用大大小小找不到确定不等式组的解集，然后利用数轴表示解集．
解：（1）去分母得4（x+1）＜5（x﹣1）﹣6，
去括号得4x+4＜5x﹣5﹣6，
移项得4x﹣5x＜﹣5﹣6﹣4，
合并得﹣x＜﹣15，
系数化为1得x＞15，
用数轴表示为：
（2），
解①得x≥7，
解②得x＜2，
所以不等式组无解，
用数轴表示为：
【点评】本题考查了解元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
15．如图所示，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D、E．
（1）若∠DAE＝50°，求∠BAC的度数；
（2）若△ADE的周长为19cm，求BC的长度．
【分析】（1）根据DM、EN分别垂直平分AB和AC，可知AD＝BD，AE＝EC，进而得到∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，即可求解；
（2）依据DM、EN分别垂直平分AB和AC，得出AD＝BD，AE＝EC，进而得到BC的长即△ADE周长．
解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，
∵∠BAC＝∠DAE+∠BAD+∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE+∠B+∠C；
又∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠DAE＝50°，
∴∠BAC＝115°．
（2）∵△ADE的周长为19cm，
∴AD+AE+DE＝19cm，
由（1）知，AD＝BD，AE＝EC，
∴BD+DE+EC＝19，即BC＝19cm．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键要明确：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
16．成都高新西区体育公园即将在2021年5月底呈现，该公园的设计不仅重视健身场所的打造，还关注人文和自然的结合．现某项目组需要购买甲、乙两种树苗对公园进行绿化，已知甲种树苗每棵300元，乙种树苗每棵200元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗总金额为55000元．
（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）为保证绿化效果，项目组决定再购买甲、乙两种树苗共20棵，总费用不超过4800元，问最多可购买多少棵甲种树苗？
【分析】（1）设购买甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，根据“购买乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，且购买两种树苗总金额为55000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设再次购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（20﹣m）棵，根据总价＝单价×数量，结合总费用不超过4800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：（1）设购买甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，
依题意得：，
解得：．
答：购买甲种树苗90棵，乙种树苗140棵．
（2）设再次购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（20﹣m）棵，
依题意得：300m+200（20﹣m）≤4800，
解得：m≤8．
答：最多可购买8棵甲种树苗．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
17．如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△ABP的面积；
（3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集．
【分析】（1）把点P（﹣2，﹣5）分别代入函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3，求出a、b的值即可；
（2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论．
解：（1）∵将点P （﹣2，﹣5）代入y1＝2x+b，得﹣5＝2×（﹣2）+b，解得b＝﹣1，将点P （﹣2，﹣5）代入y2＝ax﹣3，得﹣5＝a×（﹣2）﹣3，解得a＝1，
∴这两个函数的解析式分别为y1＝2x﹣1和y2＝x﹣3；
（2）∵在y1＝2x﹣1中，令y1＝0，得x＝，
∴A（，0）．
∵在y2＝x﹣3中，令y2＝0，得x＝3，
∴B（3，0）．
∴S△ABP＝AB×5＝××5＝．
（3）由函数图象可知，当x＜﹣2时，2x+b＜ax﹣3．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．
18．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
x×1+12＝2x，
解得：x＝12；
（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵三角形AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
一、填空题（每题4分，共20分）
19．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞4，则k的取值范围是 k＞1 ．
【分析】把方程组的解求出，即用k表示出x、y，代入不等式x﹣y＞4，转化为关于k的一元一次不等式，可求得k的取值范围．
解：
由①+②可得：3（x+y）＝3k﹣3，
所以：x+y＝k﹣1③
①﹣③得：x＝2k，
②﹣③得：y＝﹣k﹣1，
代入x﹣y＞4可得：2k+k+1＞4，
解得：k＞1，
故填：k＞1．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题的关键是求出方程组的解代入不等式可化为关于k的一元一次不等式求解．
20．在△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，且点A到BC的距离为8，点O到BC的距离为3，则AO的长 5或11 ．
【分析】先利用AB＝AC，OB＝OC可判断点A、O都在BC的垂直平分线上，然后分类讨论：当点O在△ABC的内部时，易得AO＝5；当点O在△ABC的外部时，易得AO＝11．
解：∵OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
而AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC，
当点O在△ABC的内部时，AO＝8﹣3＝5；
当点O在△ABC的外部时，AO＝8+3＝11．
故答案为：5或11．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等，等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
21．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ﹣2≤P＜﹣ ．
【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围．
解：∵T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，
∴＝﹣2，＝1，
解得：a＝1，b＝3，
T（2m，5﹣4m）＝≤4，解得m≥﹣，
T（m，3﹣2m）＝＞P，解得m＜，
∵关于m的不等式组恰好有3个整数解，
∴2＜≤3，
∴﹣2≤P＜﹣，
∴实数P的取值范围是﹣2≤P＜﹣，
故答案为：﹣2≤P＜﹣．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键．
22．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝ 4∠BPC﹣360° ．
【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BAC＝2∠BPC﹣180°；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝2∠BAC，进而得出∠BOC和∠BPC的数量关系．
解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（ ∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；
如图，连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC
＝2（2∠BPC﹣180°）
＝4∠BPC﹣360°，
故答案为：4∠BPC﹣360°．
【点评】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AE于点D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD．下列结论：①BC+CE＝AB，②，③BD＝CD，④∠ADC＝45°，⑤AC+AB＝2AM；其中正确的结论有 ①②③④⑤ ．
【分析】过E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN＝∠BCD，交AD于N，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线性质求出CE＝EQ，DM＝DH，根据勾股定理求出AC＝AQ，AM＝AH，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ＝QE，即可求出①；根据三角形外角性质求出∠CND＝45°，证△ACN≌△BCD，推出CD＝CN，即可求出②④；证△DCM≌△DBH，得到CM＝BH，AM＝AH，即可求出⑤．
解：过E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，
∴CE＝EQ，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA＝∠EQB＝90°，
由勾股定理得：AC＝AQ，
∴∠QEB＝45°＝∠CBA，
∴EQ＝BQ，AC＝BC，
∴AB＝AQ+BQ＝AC+CE＝BC+CE，
∴①正确；
作∠ACN＝∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD＝∠CAB＝22.5°＝∠BAD，
∴∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠CAD，
在△ACN和△BCD中，
，
∴△ACN≌△BCD（ASA），
∴CN＝CD，AN＝BD，
∵∠ACN+∠NCE＝90°，
∴∠NCB+∠BCD＝90°，
∴∠CND＝∠CDA＝45°，
∴∠ACN＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠CAN，
∴AN＝CN，
∴∠NCE＝∠AEC＝67.5°，
∴CN＝NE，
∴CD＝AN＝EN＝AE，
∵AN＝BD，
∴BD＝AE，
∴②正确，④正确；
过D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD＝∠CAD+∠CDA＝67.5°，
∠DBA＝90°﹣∠DAB＝67.5°，
∴∠MCD＝∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM＝DH，
在△DCM和△DBH中，
，
∴△DCM≌△DBH（AAS），
∴BH＝CM，BD＝CD，
∴③正确；
由勾股定理得：AM＝AH，
∴AC+AB＝AC+AH+BH＝AC+AM+CM＝2AM，
∴⑤正确；
故答案为：①②③④⑤．
【点评】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
二、解答题（共30分）
24．随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需300万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需270万元，
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需300万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需270万元”列出方程组解决问题；
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．
解：（1）设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元，
由题意得：，
解得，
答：购买A型新能源公交车每辆需80万元，购买B型新能源公交车每辆需110万元．
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，
由题意得，
解得：，
因为a是整数，
所以a＝4，5；
则共有两种购买方案：
①购买A型公交车4辆，则B型公交车6辆：80×4+110×6＝980万元；
②购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆：80×5+110×5＝950万元；
购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆费用最少，最少总费用为950万元．
【点评】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
25．（1）【阅读理解】“|a|”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“|a|≥2”可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“|a|＜2”可理解为 数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|＞2”成立，列举的a的值为 3 和 ﹣3 ．
我们定义：形如“|x|≤m”“|x|≥m”“|x|＜m”“|x|＞m”（m为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由如图可以得出：绝对值不等式|x|＞1的解集是x＜﹣1或x＞1，
绝对值不等式|x|≤3的解集是﹣3≤x≤3．
则：①不等式|x|≥4的解集是 x≥4或x≤﹣4； ．
②不等式|x|＜2的解集是 ﹣4＜x＜4 ．
（3）【拓展应用】解不等式|x+1|+|x﹣3|＞4，并画图说明．
【分析】（1）①由题可知|a|＜2可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2；
②使不等式|a|＞2成立的整数a有3，﹣3；
（2）①根据题意可求|x|≥4的解集为x≥4或x≤﹣4；
②根据题意可求|x|＜2的解集为﹣4＜x＜4；
（3）根据绝对值的几何意义可得答案．
解：（1）①由题意可知|a|＜2可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2，
故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2；
②使不等式|a|＞2成立的整数a有3，﹣3，
故答案为：3，﹣3；
（2）①根据题意可求x≥4或x≤﹣4，
∴x≥4或x≤﹣4，
故答案为：x≥4或x≤﹣4；
②根据题意可求|x|＜2的解集为﹣4＜x＜4，
故答案为﹣4＜x＜4；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式|x+1|+|x﹣3|＞4的解集就是数轴上表示数x的点，到表示﹣1与3的点的距离之和大于4的所有x的值，
如图可知，不等式|x+1|+|x﹣3|＞4的解集是x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查不等式的定义及数轴，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键．
26．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB＝BC，P为线段AB（不含A，B两点）上一点，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，M为线段CA延长线上一点，且AM＝CQ，在直线AC上方的直线AB上是否存在点N，使△QMN是以QM为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由于y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），求出m的值，可得出OA＝4，OB＝3，则可得出答案；
（2）根据勾股定理得到AB＝5＝BC，得到点C（0，﹣2），求出直线AC解析式为y＝x﹣2，由于P在直线y＝﹣x+3上，可设点P（t，﹣t+3），即可得到结论；
（3）过点M作MG⊥PQ于G，根据全等三角形的性质得到QG＝OC＝2，GM＝OA＝4，过点N作NH⊥PQ于H，过点M作MR⊥NH于点R，推出四边形GHRM是矩形，根据矩形的性质得到HR＝GM＝4，可设GH＝RM＝k，根据全等三角形的性质得到HN＝RM＝k，NR＝QH＝2+k，得到 N（t+1，t+1）根据N在直线AB：y＝﹣x+3上，即可得出答案．
解：（1）∵y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），
∴0＝﹣×4+m，
解得m＝3，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3，
令x＝0，y＝3，B（0，3）；
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∵∠AOB＝90°，
∴＝＝6；
（2）∵OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5＝BC，
∴OC＝2，
∴点C（0，﹣2），
设直线AC解析式为y＝kx+n，
∴，
∴，
∴直线AC解析式为y＝x﹣2，
∵P在直线y＝﹣x+3上，
∴可设点P（t，﹣t+3），
∵PQ∥y轴，且点Q在y＝x﹣2上，
∴Q（t，t﹣2），
∴d＝（﹣t+3）﹣（t﹣2）＝﹣t+5（0＜t＜4）；
（3）过点M作MG⊥PQ于G，
∴∠QGM＝90°＝∠COA，
∵PQ∥y轴，
∴∠OCA＝∠GQM，
∵CQ＝AM，
∴AC＝QM，
在△OAC与△GMQ中，
，
∴△OAC≌△GMQ（AAS），
∴QG＝OC＝2，GM＝OA＝4，
过点N作NH⊥PQ于H，过点M作MR⊥NH于点R，
∴∠MGH＝∠RHG＝∠MRH＝90°，
∴四边形GHRM是矩形，
∴HR＝GM＝4，可设GH＝RM＝k，
∵△MNQ是等腰直角三角形，
∴∠QNM＝90°，NQ＝NM，
∴∠HNQ+∠HQN＝90°，
∠HNQ+∠RNM＝90°，
∴∠RNM＝∠HQN，
∴△HNQ≌△RMN（AAS），
∴HN＝RM＝k，NR＝QH＝2+k，
∵HR＝HN+NR，
∴k+2+k＝4，
∴k＝1，
∴GH＝NH＝RM＝1，
∴HQ＝3，
∵Q（t，t﹣2），
∴N（t+1，t﹣2+3）即 N（t+1，t+1），
∵N在直线AB：y＝﹣x+3上，
∴t+1＝﹣（t+1）+3，
∴t＝1，
∴P（1，），N（2，）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握坐标与图形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．