专题01 利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练)-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26040" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc26040 \h 1
\l "_Tc20570" 二、典型题型 PAGEREF _Tc20570 \h 3
\l "_Tc21226" 题型一：在型求切线方程 PAGEREF _Tc21226 \h 3
\l "_Tc2118" 题型二：过型求切线方程 PAGEREF _Tc2118 \h 3
\l "_Tc25530" 题型三：已知切线斜率求参数 PAGEREF _Tc25530 \h 3
\l "_Tc1715" 题型四：确定过一点可以做切线条数 PAGEREF _Tc1715 \h 4
\l "_Tc17915" 题型五：已知切线条数求参数 PAGEREF _Tc17915 \h 4
\l "_Tc30456" 题型六：距离问题转化为相切问题 PAGEREF _Tc30456 \h 5
\l "_Tc8493" 题型七：公切线问题 PAGEREF _Tc8493 \h 5
\l "_Tc3579" 三、专项训练 PAGEREF _Tc3579 \h 6
一、必备秘籍
1、切线的斜率：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
2、曲线的切线问题（基础题）
（1）在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
（2）过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
3、已知，过点，可作曲线的（）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；
4、已知和存在（）条公切线问题
二、典型题型
题型一：在型求切线方程
1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数 .
2．（2023上·山东德州·高三统考期中）函数在处的切线方程为 ．（结果写成一般式）
3．（2023上·上海闵行·高三校考期中）曲线在点处的切线方程为 ．
4．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数（其中）在处的切线为，则直线过定点的坐标为 .
5．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 .
题型二：过型求切线方程
1．（2022·四川广安·广安二中校考二模）函数过点的切线方程为（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2022下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线相切的一条切线的方程为 .
4．（2023下·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）曲线在点处切线的斜率为，过点的切线方程 .
5．（2023下·四川绵阳·高二期末）过点作曲线的切线，则切线方程为 ．
题型三：已知切线斜率求参数
1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若直线与曲线相切，则实数a的值为（ ）
A．B．0C．D．
2．（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）已知直线与曲线相切，则（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2023上·辽宁·高三校考阶段练习）函数（、）在点处的切线斜率为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·天津·高三统考期中）已知函数，若曲线的一条切线的方程为，则 .
题型四：确定过一点可以做切线条数
1．（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．不确定
2．（2021下·北京·高二校考期中）已知函数，则曲线过点的切线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
3．（2021下·湖南·高二校联考阶段练习）经过点作曲线的切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4．（2019上·四川内江·高三统考阶段练习）已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（ ）
A．B．C．D．
题型五：已知切线条数求参数
1．（2023·湖南·校联考二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．或
2．（2023下·陕西汉中·高二校联考期中）过点作曲线切线有且只有两条，则b的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·校联考二模）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·山西运城·高三校考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型六：距离问题转化为相切问题
1．（2022上·四川成都·高三校联考阶段练习）曲线上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
2．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若实数满足，则的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．（2023下·广西河池·高二校联考期中）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A．B．1C．D．
题型七：公切线问题
1．（2023上·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线与曲线的一条公切线方程 .
3．（湖北省武汉市部分学校2023-2024学年高三上学期11月调研考试数学试题）写出曲线与的一条公切线方程： .
4．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围是 ．
5．（2023上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数
(1)当时， 求的极值；
(2)若曲线与曲线存在2 条公切线， 求a的取值范围.
三、专项训练
1．（2024上·广东广州·高三统考阶段练习）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．-2D．
2．（2024上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023下·高二课时练习）若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．
C．D．不存在
4．（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）若直线是曲线的一条切线，则的最小值为（ ）
A．B．C．ln 2D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·四川·高三校联考阶段练习）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023上·四川成都·高三校联考阶段练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
10．（2023下·高二课时练习）若曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023上·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）若过点可以作三条直线与函数相切，则实数a的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
三、填空题
13．（2024上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数在点处的切线与直线平行，则实数 .
14．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）若函数在处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围 ．
四、单空题
15．（2023下·高二课时练习）已知函数是曲线的一条切线，则 .
五、问答题
16．（2023上·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)当时，与有公切线，求实数的取值范围.第一步
设的切点
设的切点
求公切线的斜率
写出并整理切线
整理得：
整理得：
联立已知条件
消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；