专题02 19题新结构定义题（函数与导数部分）(典型题型归类训练)-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

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(1)若，判断是否为上的“3类函数”；
(2)若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，.
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．
注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．
(1)求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；
(2)在直角坐标系中，设直线，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．
3．（2023上·安徽·高一校联考阶段练习）若在上的值域是的子集，则称函数在上是封闭的.
(1)若在上是封闭的，求实数的取值范围；
(2)若在上是封闭的，求实数的最大值.
4．（2023上·浙江宁波·高一效实中学校考期中）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，．
(1)请用描述法写出满足方程的解集；（直接写出答案即可）
(2)解不等式；
(3)探究是否存在非零实数，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由．
5．（2023上·贵州贵阳·高二统考期中）阅读材料：
差分和差商
古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置，因而在每一时刻都没有动.既然每个时刻都没有动，他怎么能够动呢？为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根究底.讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫没有动.如果一个物体的位置在时刻u和后来的一个时刻v不同，我们就说他在时刻u和v之间动了，反过来，如果他在任意时刻有相同的位置，就说它在u到v这段时间没有动.这样，芝诺怪论的漏洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概念.芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!函数可以用来描述物体的运动或变化.研究函数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律.变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不出变化的.设函数在实数集上有定义.为了研究的变化规律，需要考虑它在中两点处的函数值的差.定义（差分和差商）称为函数从到的差分，这里若无特别说明，均假定.通常记叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步长的比值叫做在和的差商.显然，当和位置交换时，差分变号，差商不变.随着所描述的对象不同，差商可以是平均速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，当时，它是在区间上的平均变化率.显然，函数和它的差商有下列关系：某区间上，单调递增函数的差商处处为正，反之亦然；某区间上，单调递减函数的差商处处为负，反之亦然.可见，差商是研究函数性质的一个有用的工具.回答问题：
(1)计算一次函数的差商.
(2)请通过计算差商研究函数的增减性.
6．（2023下·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．
(1)已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由；
(2)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．
7．（2023上·江苏连云港·高一校考期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
(1)区间是函数的黄金区间，求，的值
(2)如果是函数的一个“黄金区间”，求的最大值
8．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；
①；
②；
③.
(2)求证：，.