2022-2023学年甘肃省庆阳市镇原县九年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年甘肃省庆阳市镇原县九年级（上）期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了抛物线y＝x2+2的顶点坐标是，在平面直角坐标系中，点P，已知点A，二次函数y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
1．教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标是中心对称图形的是（ ）
A．注意安全B．急救中心
C．水深危险D．禁止攀爬
2．抛物线y＝x2+2的顶点坐标是（ ）
A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（2，0）D．（﹣2，0）
3．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝16B．（x+3）2＝16C．（x﹣2）2＝7D．（x﹣3）2＝2
4．将抛物线y＝x2向右平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+5）2B．y＝（x﹣5）2C．y＝x2+5D．y＝x2﹣5
5．关于x的方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
6．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，m2+1）关于原点的对称点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．已知点A（1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0B．a＞0C．a＜0D．a＜﹣2
8．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
9．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排6天，每天安排4场比赛，设比赛组织者邀请了x个队参赛，则可列方程（ ）
A．x（x+1）＝6×4B．x（x﹣1）＝6×4
C．x（x﹣1）＝6x4D．x（x+1）＝6×4
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝B．当﹣1＜x＜2时，y＜0
C．a+c＝bD．a+b＞﹣c
二.填空题.（每题3分，共24分）
11．如图所示的五角形图案绕点O至少旋转 度才能与自身重合．
12．若关于x的方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m的值不可能是 ．
13．若抛物线y＝ax2+c与y＝2x2的形状相同，但方向相反，且过点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为 ．
14．二次函数y＝2（x+1）2的图象不经过第 象限．
15．如果x2﹣x+1＝（x﹣1）0，则x的值为： ．
16．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是 ．
17．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒所占的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数关系式y＝﹣0.2x2+1.4x﹣2，则最佳加工时间为 min．
18．有一辆载有长方体形状集装箱的货车想通过横截面为抛物线的隧道，如图所示，已知隧道的底部宽：AB为4m，高OC为3.2m，集装箱的宽与货车的宽都是2.4m，集装箱顶部离地面2.1m，这辆货车 通过这个隧道（填“能”或“不能”）．
三.解答题.（本大题10小题，共66分）
19．（4分）解方程：x2﹣1＝2（x+1）．
20．（4分）关于x的一元二次方程ax2+5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值．
21．（4分）已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），且经过点（0，1），求该抛物线的解析式．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1；
（2）△A2B2C2是△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的，画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
23．（6分）在实数范围内定义一种运算“※”，a※b＝a2﹣b2．
（1）求1※（﹣3）的值；
（2）求方程（x+3）※5＝0的解．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转n°后得到△A′B′C，且A、B′、A′在同一条直线上，连接AB'．
（1）n的值为 ；
（2）求AA′的值．
25．（8分）小尧用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象，列表如下：
（1）由于粗心，小尧算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝ ；
（2）在图中画出这个二次函数y＝ax2+bx+c的图象；
（3）当y≥5时，x的取值范围是 ．
26．（8分）已知一根铁丝的长度为20m．
（1）将它围成一个面积为24m2的矩形，求矩形的长与宽；
（2）这根铁丝能围成面积为40m2的矩形吗？通过计算说明理由．
27．（8分）某超市经销一种商品，每件成本为50元，为了获取更大利润，该超市准备将这种商品涨价销售．经市场调查，当该商品每件60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元．
（1）当该商品每个月的销售利润为3750元时，则该商品的销售价是多少？
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润为多少？
28．如图所示，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2022-2023学年甘肃省庆阳市镇原县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题.（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里.每题3分，共30分）
1． 解：第1个图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
第2个图形是中心对称图形，故本选项合题意；
第3个图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
第4个图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2． 解：抛物线y＝x2+2的顶点坐标为（0，2），对称轴为y轴，
故选：A．
3． 解：原方程移项，
得x2﹣6x＝7，
等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方32，
x2﹣6x+32＝7+32，
∴（x﹣3）2＝16；
故选：A．
4． 解：将抛物线y＝x2向右平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2，
故选：B．
5． 解：∵Δ＝（）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6． 解：∵m2+1＞0，
∴点P（﹣3，m2+1）在第二象限，
∴点P（﹣3，m2+1）关于原点的对称点在第四象限，
故选：D．
7． 解：由已知抛物线为y＝ax2﹣2，
∴对称轴为x＝0，
∵0＜1＜2，
要使y1＜y2，则在x＞0时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
故a的取值范围是：a＞0．
故选：B．
8． 解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
9． 解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，
则可列一元二次方程为x（x﹣1）＝6×4，
故选：B．
10． 解：A、对称轴是直线x＝＝，故选项A不符合题意；
B、由函数图象知，当﹣1＜x＜2时，函数图象在x轴的下方，
∴当﹣1＜x＜2时，y＜0，故选项B不符合题意；
C、由图可知：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故选项C不符合题意；
D、由图可知：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴a+b＜﹣c，故选项D符合题意；
故选：D．
二.填空题.（每题3分，共24分）
11． 解：五角星可以被中心发出的射线平分成5部分，
那么最小的旋转角度为：360°÷5＝72°．
故答案为：72．
12． 解：由题意，得：m﹣1≠0，
m≠1，
故答案为：1．
13． 解：∵二次函数y＝ax2+b的图象与y＝2x2的图象形状相同，开口方向相反，
∴a＝﹣2，
∴二次函数是y＝﹣2x2+b，
∵二次函数y＝ax2+b经过点（0，﹣3），
∴b＝﹣3，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣3；
故答案为：y＝﹣2x2﹣3．
14． 解：∵二次函数顶点（﹣1，0），开口向上，
∴图象不经过第三、四象限，
故答案为：三、四．
15． 解：（x﹣1）0＝1 （x≠1）
∴x2﹣x+1＝1，
解得，x＝0，x＝1（舍去），
因此x＝0，
故答案为：0．
16． 解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝＝2，
故答案为2．
17． 解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.4x﹣2，
当x＝﹣＝3.5时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.5min．
故答案为：3.5．
18． 解：如图，以O点为原点AB为x轴，建立直角坐标系，
根据题意知点A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，3.2），
设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣2），
将（0，3.2）代入，得：﹣4a＝3.2，
解得：a＝﹣0.8，
则抛物线解析式为y＝﹣0.8x2+3.2，
当x＝1.2时，y＝2.048＜2.1，
所以货车不能通过隧道．
故答案为：不能．
三.解答题.（本大题10小题，共66分）
19． 解：∵x2﹣1＝2（x+1），
∴（x+1）（x﹣1）＝2（x+1），
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3．
20． 解：当x＝0时，a2+a＝0，
解得：a1＝﹣1，a2＝0．
又∵原方程为一元二次方程，
∴a＝﹣1．
21． 解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+3，
把（0，1）代入得a•（0+1）2+3＝1，
解得a＝﹣2．
所以抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）2+3．
22． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（4，1）．
23． 解：（1）1※（﹣3）＝12﹣（﹣3）2＝1﹣9＝﹣8；
（2）∵（x+3）※5＝0，
∴（x+3）2﹣52＝0，
∴（x+3﹣5）（x+3+5）＝0，
∴x﹣2＝0，x+8＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣8．
24． 解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝30°，
由旋转得A′C＝AC，∠A′＝∠BAC＝30°，
∵A、B′、A′在同一条直线上，
∴∠CAA′＝∠A′＝30°，
∴∠ACA′＝180°﹣∠CAA′﹣∠A′＝120°，
∴旋转角的度数是120°，即n°＝120°，
∴n的值为120，
故答案为：120．
（2）∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
由旋转得A′B′＝AB＝4，B′C＝BC＝2，∠A′B′C＝∠B＝60°，
由（1）得∠CAA′＝30°，
∴∠ACB′＝∠A′B′C﹣∠CAA′＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ACB′＝∠CAA′，
∴AB′＝B′C＝2，
∴AA′＝AB′+A′B′＝2+4＝6，
∴AA′的值为6．
25． 解：（1）从表格可以看出，当x＝﹣2或x＝0时，y＝﹣3，
可以判断（﹣2，﹣3），（0，﹣3）是抛物线上的两个对称点，
（﹣1，﹣4）就是顶点，设抛物线顶点式y＝a（x+1）2﹣4，
把（0，﹣3）代入解析式，﹣3＝a﹣4，解得a＝1，
所以，抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，
当x＝2时，y＝（2+1）2﹣4＝5，
当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，
所以这个错算的y值所对应的x＝2，
故答案为2；
（2）画出这个二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图：
（3）由图象可知：当y≥5时，x的取值范围是x≤﹣4或x≥2．
故答案为x≤﹣4或x≥2．
26． 解：（1）设矩形的长为x cm，则宽为：（﹣x）cm＝（10﹣x）cm，根据题意得出：
x（10﹣x）＝24，
解得：x1＝4，x2＝6．
答：矩形的长为6cm，宽为4cm；
（2）不能围成面积为40cm2的矩形．
理由：设矩形的长为x cm，则宽为：（﹣x）cm＝（10﹣x）cm，根据题意得出：
x（10﹣x）＝40，
整理得出：x2﹣10x+40＝0，
∵b2﹣4ac＝100﹣4×1×40＝﹣60＜0，
∴此方程无实数根，
故不能围成面积为40cm2的矩形．
27． 解：（1）设每个月的销售利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣50）[300﹣10（x﹣60）]
＝﹣10x2+1400x﹣45000，
当w＝3750时，﹣10x2+1400x﹣45000＝3750，
解得x1＝75，x2＝65，
答：当该商品每个月的销售利润为3750元时，该商品的销售价是75元或65元；
（2）由（1）知：w＝﹣10x2+1400x﹣45000，
∴w＝﹣10（x﹣70）2+4000，
∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．
28． 解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+mx+n，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2++2；
（2）存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝3，
∴D（3，0）．
设点P的坐标为（3，t），
∵C（0，2），
∴CD2＝22+32＝13．
当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，可分两种情况讨论：
①若PC＝CD，则32+（t﹣2）2＝13，解得t＝0（舍弃）或4，
所以点P的坐标为（3，4）；
②若PD＝CD，则t2＝13，解得t＝±，
所以点P的坐标为（3，）或（3，﹣）；
综上所述，点P的坐标有三个，分别是（3，4）或（3，）或（3，﹣）．
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.06
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
﹣5
…