河北省九校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4、本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册至第八章8.5.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则的虚部为（ ）
A 2B. 4C. -2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的有关概念直接得出结果.
【详解】因为，所以
则z的虚部为2.
故选：A
2. 若向量，则的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面共线向量的坐标表示建立方程，解之即可求解.
【详解】因为，，
所以，解得或0．
即x的取值集合为.
故选：C
3. 如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方体展开图得到直观图，即可判断.
【详解】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线是异面直线的是，
其中，所以与共面、与共面、与共面．
故选：C

4. 如图，斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）

A. B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】将直观图还原为原图，如图，求出，进而求出，即可求解.
【详解】将直观图还原为原图，如图，

由，，所以，
所以，则，
即原平面图形的面积是．
故选：D
5. 向量在正方形网格中的位置如图所示，则向量（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的线性运算及已知条件可得结果.
【详解】如图，设，则．
故选：D.

6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 锐角三角形
C. 直角三角形D. 钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦推理判断即可.
【详解】在中，由及正弦定理，得，
于是，而，则，
所以是等腰三角形.
故选：A
7. 已知正方形的边长为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：建立如图平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示即可求解；方法二：利用平面向量的线性运算和数量积的运算律计算即可求解.
【详解】方法一：如图所示，建立以为原点的平面直角坐标系，
得，则，
故．

方法二：，
故．
故选：A
8. 财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点B，C与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则财富汇大厦的高度（ ）
A. 200米B. 202米C. 204米D. 206米
【答案】C
【解析】
【分析】设米，根据题意表示出，，然后利用余弦定理计算即可.
【详解】设米，因为在点处测得点的仰角为，
所以，则米．
因为在点处测得点的仰角为，所以米．
由余弦定理得，
即，解得．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的行6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与直线平行
B. 若直线与平面相交，则平面内没有直线与直线平行
C. 已知两条相交直线，若平面，则平面
D. 已知直线，平面，若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据空间中的线线、线面和面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可.
【详解】A：若平面，则直线与平面的无数条直线平行，故A正确；
B：直线与平面相交，则直线与平面的任意直线不平行，故B正确；
C：若两条相交直线，平面，则与平面的位置关系不确定，故C错误；
D：若直线，平面，，则与平行或异面，故D错误．
故选：AB
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据复数的乘方、乘法和除法运算，结合相等的条件建立方程组，解之即可求解.
【详解】由题意得，，
所以，解得.
故选：AD
11. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，是两条母线，是的中点，则（ ）
A. 圆锥的体积为
B. 面积的最大值为
C. 当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为
D. 圆锥的内切球的表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，进而求出圆锥的高，结合圆锥体积公式计算即可判断A；确定当时的面积最大，即可判断B；如图，确定点A到点P的最小距离为，利用余弦定理计算即可判断C；的内切圆半径即圆锥SO的内切球半径，结合等面积法求出内切圆半径计算即可判断D.
【详解】A：因为圆锥SO的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，
所以扇形的弧长为，即圆锥的底面周长为．
设圆锥的底面半径为，母线长为，
则，解得，又，所以圆锥的高，
所以圆锥的体积，故A正确；
B：当为轴截面时，在中，，因为，
所以此时为钝角，又，
当时，的面积最大，且最大值为2，故B错误；
C：当为轴截面时，将圆锥侧面展开可知，点A到点P的最小距离为，如图，
在中，，由余弦定理得
，故C正确；
D：当为轴截面时，的内切圆半径即圆锥SO的内切球半径．
设的内切圆半径为，则，
所以，所以内切球的表面积为，故D正确．
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是确定点A到点P的最小距离，将圆锥侧面展开，把空间问题转化为平面问题是解题的关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 若，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据复数的几何意义可得，即可求解.
【详解】由题意得，，则，解得．
故答案为：2
13. 如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为，高为，则该青铜器的容积约为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆台体积公式代入计算即可.
【详解】该青铜器的容积约为．
故答案为：
14. 若均为单位向量，且的取值范围是，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】依题意，设，根据条件得到的取值范围，再利用，分类讨论的取值范围，结合三角函数的性质即可得解.
【详解】依题意，不妨设，
则，．
因为的取值范围是，得，
所以的取值范围是，
又因为，
当时，；
当时，，
综上，的取值范围是，
故答案为：.
四、解答颗：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，其中．
（1）若为纯虚数，求的共轭复数；
（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据复数类型得到方程组，再利用共轭复数概念即可；
（2）根据复数的几何意义得到不等式组，解出即可.
【小问1详解】
由题意可得，
解得，则，
所以的共轭复数为．
【小问2详解】
由题意可得，
即，
解得，即的取值范围是．
16. 已知向量满足．
（1）若向量的夹角为，求的值；
（2）若，求值；
（3）若，求向量夹角.
【答案】（1）2； （2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解；
（2）由可得，求出即可；
（3）由垂直关系的向量表示可得，结合数量积的定义计算即可求解.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
由，得，
所以．
故．
【小问3详解】
由题意得，即，得，
所以．
因为，所以，
即向量的夹角为．
17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）若，求外接圆半径，
（2）若的面积为，求的大小及的周长．
【答案】（1）； （2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意，根据正弦定理可得，再次利用正弦定理计算即可求解；
（2）根据三角形的面积公式可得或，利用余弦定理分别求出a，即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，即，
又，所以．又，
所以．
【小问2详解】
的面积，
则，因为，所以或．
当时，，
得的周长为．
当时，，
得的周长为．
综上，的周长为或
18. 如图，在长方体中，E，F分别为的中点．

（1）证明：平面．
（2）证明：平面．
（3）已知，以为直径的球的表面积为，设三点确定平面，在答题卡的图中作出平面截四棱柱所得的截面（写出作法），并求截面的周长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）由题意可得，根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据线面平行的判定定理可得平面，由（1）可得平面，截面面面平行的判定定理与性质即可证明；
（3）确定要求作的截面为四边形，根据勾股定理和球的表面积公式计算即可求解.
【小问1详解】
在长方体中，，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面平面，
所以平面．
【小问2详解】
取BC的中点，连接，．
因为E，F分别为的中点，所以，
又平面平面，
所以平面，由（1）知平面，得平面，
又，平面EFG，所以平面平面，
又平面，所以平面．
【小问3详解】
取的中点，连接，
则要求作的截面为四边形．
在矩形中，，
所以，解得，
所以截面的周长为

19. 在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）延长交于，延长交于，则，设，且，分别求出，再根据三角恒等变换化一，结合正弦函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以，
由正弦定理得，
则，
因为，所以；
【小问2详解】
延长交于，延长交于，
根据题意可得．因为，所以，
设，且，
则，
同理可得，
则
，
因为，所以，
又，
所以，
所以的取值范围是．
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.