湖南省衡阳县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

这是一份湖南省衡阳县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知函数等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B．C．D．
2．已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．设正实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．.则当变化时， 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且DE⊥AC，则｜DE｜＝（ ）
A.52B.23 C.3D.22
7．已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．在上单调递增D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知函数的部分图象如图所示，若，，则（ ）

A． B．的单调递增区间为
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
10．已知函数（，其中表示不大于的最大整数），则（ ）
A．是奇函数B．是周期函数
C．在上单调递增D．的值域为
11.在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上的一个定点，P0B＝14AB，且对于AB上任一点P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，则下列结论中正确的是（ ）
A.PB·PC＝PD2－DB2 B.存在点P，使｜PD｜＜｜P0D｜
C.P0C·AB＝0 D.AC＝BC
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知S△ABC＝3，点M是△ABC内一点且MA＋2MB＝CM，则△MBC的面积为 .
13．函数的最小值 ．
14．已知，，，，且，则的最小值为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cs B＝eq \f(3,5).
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值.
16.（15分）已知函数的最小正周期为.
(1)将化简成的形式；
(2)设函数，求函数在上的值域.
17.（15分）已知，我们定义函数表示不小于的最小整数，例如：，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)求函数的值域，并求满足的实数 的取值范围．
18.（17分）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容．习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）20元．已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：元）．
(1)求的函数关系式
(2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？
19.（17分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b−c)sinB+c(2sinC−sinB)．
（1）求A；
（2）点D在边BC上，且BD=3DC，AD=4，求△ABC面积的最大值．
答案及解析
1.【答案】B
根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果.
因为，
所以，解得或
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，.
故选：B.
2.【答案】D
首先分别求两个命题为真命题时的取值范围，取其补集即可得答案.
命题为真时恒成立，，即，∴，
命题为真时，即，解得：或.
命题“且”是真命题时，取交集部分，可得或，
所以命题“且”是假命题时，可得且.
故选：D.
3.【答案】D
由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
因为正实数满足，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
故选：D.
4.【答案】D
根据对称轴和区间的位置关系对的值进行讨论，从而求出，继而求出其最小值即可.
函数的对称轴为，
当，在上单调递增，
所以
；
当，即时，在上单调递减，
；
当，即时，此时
，
无最小值；
当，即时，
，
综上知，的最小值为.
故选：D.
5.【答案】C
先按的不同取值区间分类讨论在上的最大值，得到与的关系，结合的范围，求得的最小值，再取不同情况下最小值中的最小者.
，
①当时，，对称轴为，
在上单调递增，
所以，则，
所以.
②当时，，对称轴为，
在上递增，在上递减，
所以，则，所以.
③当时，
若，，；
若，， .
当时，，
，；
当时，，
，.
综上所述：的最小值为.
故选：C.
6.解析：B 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.设｜AD｜＝a（a＞0），则A（0，0），C（4，a），D（0，a），E（2，0），所以DE＝（2，－a），AC＝（4，a）.因为DE⊥AC，所以DE·AC＝0，所以2×4＋（－a）·a＝0，即a2＝8.所以a＝22，所以DE＝（2 ，－22），所以｜DE｜＝ 22＋(−22）2＝23.
7.【答案】B
根据题意，由条件可得，构造函数，即可得到函数在上单调递增，结合函数的单调性求解不等式，即可得到结果.
由题意可知，当时，有，
即，即，
令，则当时，，
则函数在上单调递减，
由，可得，
即，所以，解得，
即实数的取值范围是.
故选：B.
8.【答案】C
首先得到平移后的函数解析式，根据的对称性求出的值，从而得到解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
将函数的图象向右平移个单位长度后得到，
若的图象关于直线对称，则，
解得，
又，所以，故，
则，所以为非奇非偶函数，故A、B错误；
当，则，又在上单调递增，
所以在上单调递增，故C正确；
因为，故D错误. 故选：C.
9.【答案】A、D
根据函数最值求得，根据周期求得，将代入求得，即可求得解析式判断A，代入增区间结论求增区间判断B，利用代入验证法判断函数的对称中心和对称轴判断CD.
根据图象可得，因为，所以，
则，
得.将代入中，得，
则，
解得，因为，所以，所以，A正确.令，得，B错误.
，所以的图象不关于点对称，C错误.
，所以的图象关于直线对称，D正确.
故选：AD.
10.【答案】B、D
通过计算可判断B；求出和时的可判断D；通过举反例来判断AC.
由题意，表示不大于的最大整数，则，
所以
，则函数是以为周期的函数，
当时，，
当时，，
则，
又是以为周期的函数，则的值域为，B和D均正确；，所以，故不是奇函数，A错误；
当时，，故在上无单调性，C错误.
故选：BD.
11.AD ∵PB·PC＝（PD＋DB）·（PD＋DC）＝PD2－DB2，故A正确；由A知，P0B·P0C＝P0D2－DB2，又∵PB·PC≥P0B·P0C恒成立，∴PD2≥P0D2，即｜PD｜≥｜P0D｜恒成立，∴B不正确；由｜PD｜≥｜P0D｜恒成立，∴｜P0D｜是点D与直线AB上各点距离的最小值，∴P0D⊥AB，∴P0D·AB＝0，故C错误；取AB的中点为O，∵P0B＝14AB，∴P0为OB中点，∴CO∥P0D，∴CO⊥AB，∴△ABC为等腰三角形，∴AC＝BC，故D正确.故选A、D.
12.解析：取AC的中点D，因为MA＋2MB＝CM，所以MA＋MC＝－2MB，故2MD＝－2MB，所以MD＝BM，因为S△ABC＝3，因此S△MBC＝12S△DBC＝14S△ABC＝34.
答案：34
13.【答案】
借助三角函数基本关系与基本不等式计算即可得.
由，
故
，
由，故、，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
14.【答案】
由题意可得，利用基本不等式即可求值.
因为，，所以，，
所以，
，
当且仅当，即时取到等号.
所以.
故答案为：.
15.解 (1)因为cs B＝eq \f(3,5)，
所以sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(4,5)，
在△ABC中，由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
即eq \f(2,sin A)＝eq \f(4,\f(4,5))，所以sin A＝eq \f(2×\f(4,5),4)＝eq \f(2,5).
(2)因为S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝4，所以eq \f(1,2)×2·c·eq \f(4,5)＝4，解得c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝4＋25－2×2×5×eq \f(3,5)＝17，所以b＝eq \r(17)，
综上，b＝eq \r(17)，c＝5.
16..【答案】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，利用周期性求解，即可解答；
（2）利用诱导公式求得，然后根据正弦函数性质求解值域即可.
【详解】
（1）
，
根据题意可得，解得，故.
（2）由（1）知，
则，
所以当或时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为，
故在上的值域为.
17.【答案】
（1）由题意得，可得，从而可求解.
（2）先求出在上的值域，从而得，即得的值域为，然后再根据得，从而可求解.
【详解】
（1）由表示不小于的最小整数，，得，
所以实数的取值范围是.
（2）函数定义域为，而函数在上单调递增，
值域为，
因此，即有，
所以函数的值域为；
显然，，由，
得，
则有，而时，不等式不成立，则，
必有，即，
因此，，解得，所以实数的取值范围.
18.【答案】
【分析】
（1）根据题意可得，则化为分段函数即可，
（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润．
【详解】
（1）；
（2）当时，，对称轴为,
当时，，
当时，
当且仅当时等号成立
答：当投入的肥料费用为元时，种植该果树获得的最大利润是元．
19.．【答案】（1）解：∵2asinA=(2b−c)sinB+c(2sinC−sinB)，
∴2a2=(2b−c)b+(2c−b)c，
即a2=b2+c2−bc，
∴csA=b2+c2−a22bc=12，
∵A∈(0，π)∴A=π3．
（2）解：根据题意可得AD=AB+BD=AB+34BC=14AB+34AC，
所以平方可得16=116c2+916b2+38bccsπ3．
又256=c2+9b2+3bc≥9bc，所以bc≤2569，
当且仅当b=1639，c=1633时，等号成立，
所以S=12bcsinπ3≤12×2569×32=6439，
即△ABC面积的最大值为6439．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量加法运算；正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用