2024年小升初数学专题 （通用版）-24 暑假综合检测（包含有理数的运算和整式加减）（原卷版+解析版）

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本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·山东烟台·统考二模）下列说法正确的是（ ）
A．2的倒数是B．3的相反数是C．绝对值最小的数是1D．0的相反数是0
【答案】D
【分析】根据倒数、相反数、绝对值的定义判断即可．
【详解】A选项：2的倒数是，故A选项错误；B选项：3的相反数是，故B选项错误；
C选项：绝对值最小的数是0，故C选项错误；D选项：0的相反数是0，故D选项正确．故选：D
【点睛】本题考查求一个数的倒数、相反数、绝对值，正确理解倒数、相反数、绝对值的概念是解题关键．
2．（2023·广西·七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用整式的加减运算法则进行计算得出答案．
【详解】A. 不能合并同类项，故A错误，不符合题意；
B. ，故B正确，符合题意；C． ，故C错误，不符合题意；
D. 不能合并同类项，故D错误，不符合题意．故选B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键．
3．（2023·河南濮阳·统考三模）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制，则九十合等于（ ）
A．圭B．圭C．圭D．圭
【答案】D
【分析】根据“抄、撮、勺、合”均为十进制，将九十合进行转化求解即可．
【详解】解：由题意，得：九十合等于圭；故选D．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，为整数，是解题的关键．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列判断中正确的是（ ）
A．单项式的系数是零 B．不是整式 C．单项式的系数是 D．是二次三项式
【答案】C
【分析】分别根据单项式、多项式、整式的定义逐项判定即可．
【详解】解：A．单项式的系数是1，故本选项错误，不符合题意；
B．是整式，故本选项错误，不符合题意；
C．单项式的系数是，故本选项正确，符合题意；
D．是三次三项式，故本选项错误，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查单项式、多项式、整式的定义等知识点，注意多项式的次数指的是最高项的次数．
5．（2023春·上海浦东新·六年级统考期末）有理数a在数轴上的位置如图所示，那么下列说法正确的是( )

A．a的相反数是2 B．a的倒数是2 C．a的平方是2 D．a的绝对值大于2
【答案】D
【分析】根据数轴确定a的取值范围，选择正确的选项．
【详解】解：由数轴可知，，A.a的相反数，所以A不正确，
B.a的绝对值，所以B不正确，C.a的倒数不等于2，所以C不正确，
D.a的绝对值大于2，所以D正确．故选：D．
【点睛】本题考查的是数轴和实数的性质，灵活运用数形结合思想是解题的关键．
6．（2023·山东·七年级假期作业）已知，，则下列说法正确的是（ ）．
A． B． C．、可能相等 D．、大小不能确定
【答案】A
【分析】求出，问题得解．
【详解】∵，，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解答本题的关键．
7．（2023·重庆北碚·七年级校考阶段练习）如图所示的三个图形都是由边长为1的正方形组成，第1个图形中有个小正方形，所有线段的和为4．第2个图形中有个小正方形，所有线段的和为12．第3个图形中有个小正方形，所有线段的和为24……按此规律，第6个图形中所有线段的和为（ ）

A．84B．72C．63D．54
【答案】A
【分析】根据每个图形可得所有线段的和，找出规律即可得出结果
【详解】解：第1个图形中有个小正方形，所有线段的和为，
第2个图形中有个小正方形，所有线段的和为，
第3个图形中有个小正方形，所有线段的和为，
第6个图形中有个小正方形，所有线段的和为，故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．
8．（2023·浙江温州·校考二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．母亲甲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子1出生后的天数，如图1所示，孩子1出生后的天数是（天），母亲乙按照母亲甲的做法记录孩子2出生后的天数，如图2所示，则孩子2出生后的天数比孩子1 出生后的天数（ ）

A．少41天B．少42天C．多41天D．多42天
【答案】A
【分析】根据已知算法求出孩子2出生后的天数，相减即可得到答案．
【详解】解：由已知算法可知，孩子2出生后的天数是（天），
（天），孩子2出生后的天数比孩子1 出生后的天数少41天，故选A．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，理解题意，掌握“结绳计数”满七进一的计算方法是解题关键．
9．（2023·重庆·统考中考真题）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【详解】解：，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，
显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是
；；．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
10．（2023·成都市·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（ ）
A．①②③④B．①③C．②③D．①②④
【答案】D
【分析】设C点在数轴上对应的数为，根据题意可得，求得；根据题意分时间段讨论两小球的位置，分别求解即可．
【详解】解：设C点在数轴上对应的数为，则，
当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则
解得，即C点在数轴上对应的数为0，①正确；
当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，
当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，M小球运动的距离为
当10＜t＜25时，N小球从点向点开始运动，此时，
点表示数的为，②正确；
当时，N小球运动的距离为，M小球运动的距离为
当25＜t＜40时，N小球从点向点开始运动，M小球向点运动
则，，，③错误；
当时，，，由题意得，，解得，不符题意；
当时，，，
由题意得，，解得，不符题意；
当时，，当时，，
由题意得，，解得，此时三点重合，成立；
当时，，
由题意得，，解得，不符题意；
当时，，
由题意得，，解得，不符题意；④正确 故选：D
【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上两点之间的距离以及数轴上的动点，解题的关键是理解题意，掌握题中的等量关系，分时间段进行讨论求解即可．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·贵州贵阳·七年级统考期末）请写出一个含有字母a，b，且次数是5的单项式__________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据单项式的概念解答即可．
【详解】解：这个单项式可以是．故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．
12．（2023秋·山东济宁·六年级统考期末）仔细观察资料卡中的信息，可以发现水银的凝固点比酒精的凝固点高______℃．
【答案】
【分析】根据有理数的减法法则计算即可．
【详解】解：水银的凝固点比酒精的凝固点高：（℃），
故答案为：78.43．
【点睛】此题考查有理数的减法的应用，解题的关键是有理数减法的熟练计算．
13．（2023·江苏·七年级广西）把下列各数填入相应的大括号中：
5，﹣20，﹣0.1415，98%，1，﹣0.10，，﹣789，﹣，325，0，10.10，1000.1，﹣0.12，﹣51%．
正数：{___________…}；负数：{___________…}；
非负整数：{___________…}；负分数：{___________…}．
【答案】5，98%，1，，325，10.10，1000.1；﹣20，﹣0.1415，﹣0.10，﹣789，﹣，﹣0.12，﹣51%；5，1，325，0；﹣0.1415，﹣0.10，﹣，﹣0.12，﹣51%．
【分析】根据正数、负数、非负整数、负分数的意义逐个进行判断即可．
【详解】解：正数：{5，98%，1，，325，10.10，1000.1…}；
负数：{﹣20，﹣0.1415，﹣0.10，﹣789，﹣，﹣0.12，﹣51%…}；
非负整数：{5，1，325，0…}；
负分数：{﹣0.1415，﹣0.10，﹣，﹣0.12，﹣51%…}．
故答案为：5，98%，1，，325，10.10，1000.1；﹣20，﹣0.1415，﹣0.10，﹣789，﹣，﹣0.12，﹣51%；5，1，325，0；﹣0.1415，﹣0.10，﹣，﹣0.12，﹣51%．
【点睛】本题考查有理数的意义及有理数的分类，理解有理数的意义和分类方法是正确判断的前提
14．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知．例如：给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得；给赋值使，则可以求得代数式的值为______．
【答案】16
【分析】给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得，然后把代入即可计算．
【详解】解：给赋值使﹐则，解得，
给赋值使，则，∴，∴．故答案为：16．
【点睛】本题考查了代数式求值，理解赋值法的意义和所给算式的特点是解题的关键．
15．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知在数轴上A、B两点分别表示的数是a和b，，，，点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，则点Р表示的数是_________．
【答案】或
【分析】由得，所以，再由，得，，得，
所以，或，，再求点P表示的数即可．
【详解】∵，，∴，．
又∵，∴，∴．∴，或，．
当，时，∵点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，∴点P表示的数为；
当，时，∵点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，∴点P表示的数为；
∴点P表示的数为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了数轴上的点所表示的数及中点的性质，熟练掌握绝对值的相关概念及运算法则是解题的关键．
16．（2022秋·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）已知为任意有理数，则的最小值为______．
【答案】
【分析】表示到距离加上倍到的距离再加上倍到的距离，由此可得在，，，的范围内分别求代数式的值，比较即可求解．
【详解】解：当时，
；
当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：
【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键．
17．（2023·山东济南·统考一模）对数的定义：一般地，若（且），那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．计算 _____．
【答案】
【分析】据题意可以发现对数式的值等于相应指数式的指数，因为，所以，根据次可以求解．
【详解】解：故答案为：0．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算的新定义，解题的关键是读懂题意掌握新定义，利用新定义计算．
18．（2023春·海南海口·九年级校考阶段练习）如图所示，将形状、大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第5个图形中“”的个数为_______，第n个图形中“”的个数为________．

【答案】 34
【分析】由点的分布情况得出规律：，据此求解即可．
【详解】解：由图可知：第1个图形：；
第2个图形：；第3个图形：；
第4个图形：；第5个图形：；⋯
第n个图形：；故答案为：34；
【点睛】本题考查了规律题型中的图形变化类，根据图形中点的个数变化找出变化规律是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期中）（1）（用简便方法计算）
（2） （3） （4）
【答案】（1）；（2）9；（3）；（4）
【分析】（1）将原式变形为，然后利用乘法分配律求解即可；
（2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可；
（3）先把除法变为乘法，然后根据乘法分配律求解即可；（4）先计算括号内的减法，再计算乘除法即可．
【详解】解：（1）
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数四则混合计算，乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键．
20．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知有理数，，，且．
(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；(2)化简：．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据，，，且．即可求解．
（2）先判断、、的正负号，即可化简．
【详解】（1）解： ，，，且．．
在数轴上将，，三个数在数轴上表示出来如图所示：
（2）解：根据数轴位置关系，可得：、、．
．
【点睛】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值，解决本题的关键是、、的正负性．
21．（2022秋·海南·七年级统考期中）已知多项式A和B，且2A+B＝7ab+6a﹣2b﹣11，2B﹣A＝4ab﹣3a﹣4b+18．
阅读材料：我们总可以通过添加括号的形式，求出多项式A和B．如：
5B＝（2A+B）+2（2B﹣A）＝（7ab+6a﹣2b﹣11）+2（4ab﹣3a﹣4b+18）＝15ab﹣10b+25
∴B＝3ab﹣2b+5
(1)应用材料：请用类似于阅读材料的方法，求多项式A．(2)小红取a，b互为倒数的一对数值代入多项式A中，恰好得到A的值为0，求多项式B的值．(3)聪明的小刚发现，只要字母b取一个固定的数，无论字母a取何数，B的值总比A的值大7，那么小刚所取的b的值是多少呢？
【答案】(1)2ab+3a﹣8(2)7(3)3
【分析】（1 ）计算5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A）后可得多项式A；
（2 ）由ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0知2+3a﹣8＝0，据此求得a的值，继而得出b的值，再代入计算即可；（ 3）先计算得出B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）＝（b﹣3）a﹣2b+13，根据B﹣A＝7且与字母a无关知b﹣3＝0，据此可得答案．
【详解】（1）5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A）＝2（7ab+6a﹣2b﹣11）﹣（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝14ab+12a﹣4b﹣22﹣4ab+3a+4b﹣18＝10ab+15a﹣40，∴A＝2ab+3a﹣8；
（2）根据题意知ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，∴2+3a﹣8＝0，解得a＝2，∴b＝，
则B＝3ab﹣2b+5＝3×1﹣2×+5＝3﹣1+5＝7；
（3）B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）＝3ab﹣2b+5﹣2ab﹣3a+8＝ab﹣3a﹣2b+13
＝（b﹣3）a﹣2b+13，由题意知，B﹣A＝7且与字母a无关，∴b﹣3＝0，即b＝3．
【点睛】本题主要考查整式的加减，几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
22．（2023·河北沧州·统考模拟预测）（1）小明在书店购买了8本科普类课外读物，嘉嘉在书店购买了4本名著类课外读物，小明将购买的课外读物送给了嘉嘉a本，此时嘉嘉的课外读物是小明的2倍少3本，求a的值；（2）若小明在书店购买了x本科普类课外读物，嘉嘉在书店购买了本名著类课外读物，小明挑选出自己喜欢的本送给嘉嘉，求此时嘉嘉比小明多几本课外读物？
（3）在（2）的情况下，嘉嘉还给小明m本课外读物时，不小心拿了自己的n本名著，说明嘉嘉手中科普类的数量与小明手中名著类的数量之间的关系．

【答案】（1）3；（2）；（3）相等．
【分析】（1）根据嘉嘉的课外读物是小明的2倍少3本，列出式子即可求出．
（2）自己喜欢的本送给嘉嘉，列出式整理可得；
（3）小明手中有n本名著，嘉嘉手中科普类的数量为本，列出式子即可
【详解】解：（1）根据题意可得，，解得，∴a的值为3；
（2）根据题意可得，，
所以嘉嘉比小明多本课外读物；
（3）由题意可得，小明手中有n本名著，嘉嘉手中科普类的数量为本，
所以嘉嘉手中科普类的数量与小明手中名著类的数量相等．
【点睛】此题考查根据题意写出代数式，解题的关键读懂题意并根据题意列出式子．
23．（2022秋·湖南郴州·七年级校考阶段练习）观察下列等式，，，将以上三个等式两边分别相加得：，
(1)猜想并写出：__________．
(2)直接写出下列各式的计算结果：
①______．②_______．
(3)仿照以上方法解决下列问题：
①直接写出结果：________．
②若的值为，求n的值
【答案】(1)；(2)，；(3)，.
【分析】（1）根据所给的等式，直接写出即可；
（2）①根据题中材料，可将原式变形为，再计算即可，②根据题中材料，可将原式变形为，再计算即可；
（3）仿照题目材料，可作如下变形：，，，所以①，再进行变形计算即可，②原式，可得，求解即可．
【详解】（1），故答案为：；
（2）①
②
故答案为：，；
（3）∵，，，
①
②
∵的值为，
∴，解得：．故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键．
24．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
(1)求______．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是______．
(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由．
【答案】(1)7(2)、、、、、0、1、2(3)有最小值，最小值是7．
【分析】（1）先计算有理数的减法，再化简绝对值即可得；
（2）根据绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数x，再利用有理数的加减运算法则求和即可得；
（3）由（2）的方法去绝对值，即可得．
【详解】（1）解：，故答案为：7；
（2）解：当时，，解得（舍去），故此种情况不存在；
当时，，
此时，使得的整数是、、、、、0、1、2；
当时，，解得（舍去），故此种情况不存在；
故答案为：、、、、、0、1、2；
（3）解：有最小值，最小值是7，
由（2）的探索可得，当时，，
故有最小值，最小值是7．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答．
25．（2023·江苏·七年级假期作业）我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：
用含n的式子表示第n个图的钢管总数．
【分析思路】图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律．
如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用表示第n个图形钢管总数）．
【解决问题】(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律．
， ___________．
(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样对每一个所给图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律：
___________， ___________， ___________， ___________．
(3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数为___________．
【答案】(1)；(2)，，，；(3)．
【分析】（1）根据所给的式子的形式进行解答即可；（2）结合图形的特点，对图形进行分割，从而可求得相应的图形中钢管的总数；（3）根据（1）（2）进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，故答案为：；
（2）如图，
；；；，
故答案为：，，，；
（3）∵；；；，..．
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
26．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考阶段练习）如图一，已知数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为8，动点P从A出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为t秒．
(1)线段______．(2)当点P运动到的延长线时______．（用含t的代数式表示）
(3)如图二，当秒时，点M是的中点，点N是的中点，求此时的长度．
(4)当点P从A出发时，另一个动点Q同时从B点出发，以1个单位每秒的速度沿射线向右运动．
①点P表示的数为：______（用含t的代数式表示）；点Q表示的数为：______（用含t的代数式表示）；
②存在这样的t值，使B、P、Q三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出t值．
【答案】(1)14(2)(3)7(4)①，；②秒或秒或14秒
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离可直接得出结论；（2）根据线段的和差计算可得出结论；
（3）根据题意，等于长度的一半；（4）根据点的运动可直接得出点和点所表示的数，再根据中点的定义分情况讨论可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意可知，；故答案为：14；
（2）由点的运动可知，，
，当点运动到的延长线时；故答案为：；
（3）点是的中点，点是的中点，．故答案为：7．
（4）①点表示的数为，点表示的数为，
②当点为的中点时，，，；
当点为的中点时，，，；
当点为的中点时，，，；
故答案为：①，；②秒或秒或14秒．
【点睛】本题主要考查一元一次方程和数轴，中点的定义等知识，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式和追及问题中蕴含的相等关系．