河南省八市重点高中2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省八市重点高中2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．若，则( )
A.2B.1C.D.
3．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点，均在x轴上，椭圆C的面积为，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为( )
A.B.C.D.
4．已知，均为平面单位向量，若，则( )
A.B.C.D.
5．甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门作为选修课，则3名同学所选课程不完全相同的概率为( )
A.B.C.D.
6．函数的最小值为( )
A.B.C.D.
7．记数列的前n项和为，已知，为等差数列，若，则( )
A.2B.-2C.D.
8．在正方体中，，P为的中点，E在棱上，且，则过E且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为( )
A.6B.8C.12D.16
二、多项选择题
9．为提高学生的消防安全意识，某学校组织一次消防安全知识竞赛，已知该校高一、高二、高三三个年级的人数之比为，根据各年级人数采用分层抽样随机抽取了样本容量为n的部分考生成绩，并作出如图所示的频率分布直方图，成绩前的学生授予“安全标兵”称号，已知成绩落在区间的人数为24，则( )
A.
B.估计样本中高三年级的人数为75
C.估计安全知识竞赛考生的平均分为73
D.估计成绩84分以上的学生将获得“安全标兵”称号
10．已知函数，，为的两个相邻的对称中心，则( )
A.的最小正周期为
B.的最大值为1
C.直线是曲线的一条对称轴
D.将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称
11．已知函数的定义域为R，，，则( )
A.B.
C.的一个周期为3D.
三、填空题
12．若，则_______.
13．在正四棱台中，平面，，则正四棱台的体积为_______.
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，A，B为C上的两点，，四边形的面积为，若的周长为，则C的离心率为_______.
四、解答题
15．不透明的袋子中装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，再放入1个红球和1个白球.
（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列以及数学期望.
16．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为PB的中点.
（1）证明：平面PAC；
（2）求二面角的余弦值.
17．记，分别为数列，的前n项和，，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设记的前n项和为，若对任意，，求整数m的最小值.
18．设P为抛物线准线上的一个动点，过P作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点；
（2）当直线AB斜率不为0时，直线AB交C的准线于M，设Q为线段AB的中点，求
面积的最小值.
19．已知函数，且.
（1）讨论的单调性；
（2）比较与的大小，并说明理由；
（3）当时，证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，所以，故选A.
2．答案：C
解析：，，，故选C.
3．答案：A
解析：设椭圆C的标准方程为，焦距为，则解得椭圆C的标准方程为.故选A.
4．答案：B
解析：两边同时平方得，则，解得，即，故选B.
5．答案：D
解析：甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门有（种）选法，3名同学所选课程全相同有4种，所以3名同学所选课程不全相同的概率为，故选D.
6．答案：B
解析：当时，，显然单调递增，所以，当时，，，单调递减，所以，所以的最小值为，故选B.
7．答案：D
解析：，故，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，故，所以当时，，所以，故选D.
8．答案：C
解析：如图所示，取，因为平面，所以，取Q为的中点，，则且，所以平面，，同理可得，所以等腰梯形HGFE为所得截面，又，，，则梯形的高为，所以等腰梯形HGFE的面积为，故选C.
9．答案：ABD
解析：因为，则，A选项正确；
估计样本中高三年级人数为，B选项正确；
该校考生成绩的平均分估计值为，C选项错误；
考生成绩的第90百分位数为，D选项正确，故选ABD.
10．答案：AC
解析：依题意，，所以，，A选项正确；
因为，即，所以，所以的对称中心为，所以，的最大值为2，B选项错误；
当时，，所以直线是曲线的一条对称轴，C选项正确；
将的图象向右平移个单位长度所得函数为，关于对称，D选项错误.故选AC.
11．答案：ABD
解析：令，则，所以，A选项正确；
令，则，即，所以，令，则，令，则，所以，所以，因为，所以，，B选项正确；
令，则，所以，，所以，的一个周期为6，C选项错误；
令，，令，，所以，由可知，，所以，因为，所以，D选项正确，故选ABD.
12．答案：
解析：由，可知，.
13．答案：
解析：设O为底面ABCD的中心，则A，，，O共面，因为平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，，所以到底面ABCD的距离为，所以正四棱台的体积为.
14．答案：
解析：不妨设，则，，解得，所以，又的周长为，所以，根据对称性，，所以，根据双曲线定义，，解得，根据勾股定理，，即，所以，即.
15．答案：（1）
（2）分布列见解析，
解析：（1）设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”，设事件B为“取出2个黑球”，，事件C为“取出2个红球”，，事件D为“取出1个红球1个黑球”，，因为事件B，C，D互斥，所以，所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为.
（2）依题意，X的取值为1，2，3，
，，，
所以X的分布列为：
所以.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：取AB的中点F，连接CF，所以，因为，所以四边形AFCD是平行四边形.
因为，，所以四边形AFCD是正方形，
则，，所以，
得到，
所以.
因为平面ABCD，
所以，
因为，
所以平面PAC.
（2）因为平面，，，则PA，AD，AB两两垂直，如图，建立空间直角坐标系.
则，，，，，，
所以，，，设平面CDE的法向量为，
则所以即令，则，
所以平面CDE的法向量为，设平面CBE的法向量为，
则所以即
令，则，，
所以平面CBE的法向量为，
所以，
因为二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
17．答案：（1），
（2）3
解析：（1）当时，，所以，
当时，，
所以，，数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，因为，所以，即，
所以数列是公差为1的等差数列，
所以，所以，
因为，所以，
所以，；
（2）依题意，
当时，，
当时，因为，
所以，
其中，当时，，，无限接近，
所以整数m的最小值为3.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：设直线，
与抛物线联立可得，
所以，，
设，，
过点A处的切线方程为，即，
同理可得，过点B处的切线方程为，
联立两直线方程可得，
依题意，，所以，解得，
所以直线AB过定点；
（2）由（1）可知，直线，，，
所以，，
对于直线，令，解得，即，
点Q到直线的距离为，
所以的面积，不妨设，则，
设，则，所以当时，取得极小值，也是最小值，，
所以面积的最小值为.
19．答案：（1）详解见解析
（2）
（3）见解析
解析：（1）易知.
①.
当时，，即，所以在上单调递增，
当时，，即，所以在上单调递减；
②.
当时，，即，所以在上单调递减，
当时，，即，所以在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，，，
取，，则有，
即，所以.
（3）证明：设，则，
所以在上单调递增，所以，
即当时，，
结合（1）可知，，
当时，成立，
当时，因为，
所以，
即.
综上所述，.
X
1
2
3
P