2024年广东省深圳市盐田区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省深圳市盐田区中考数学一模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）代数式﹣3x的意义可以是（ ）
A．﹣3与x的和B．﹣3与x的差C．﹣3与x的积D．﹣3与x的商
2．（3分）《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列地铁图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．武汉地铁B．重庆地铁
C．成都地铁D．深圳地铁
3．（3分）小梅沙海滨公园预计将于今年五一期间开放．园区占地面积约20.53万平方米，用水面积约100万平方米，开放后将成为滨海休息、沙滩活动及婚庆产业、活动赛事的重要承载空间．20.53万用科学记数法表示为（ ）
A．2.053×103B．2.053×104C．2.053×105D．2.053×106
4．（3分）计算（3a2）3的结果是（ ）
A．6a5B．9a6C．27a5D．27a6
5．（3分）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜0，则（a+b）2024的值为（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2024
6．（3分）“青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某班为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取6位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：78，85，80，90，80，82．则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．80和81B．81和80C．80和85D．85和80
7．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（ ）
A．108°B．109°C．110°D．111°
8．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ）
A．（x+4.5）＝x﹣1B．（x+4.5）＝x+1
C．（x+1）＝x﹣4.5D．（x﹣1）＝x+4.5
9．（3分）一次函数y＝kx+b的图象与与反比例函数的图象交于A（a，2），B（2，﹣1），则不等式的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜0或x＞2B．x＜﹣1或x＞1
C．x＜﹣2或0＜x＜2D．x＜﹣1或0＜x＜2
10．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，12），其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值8D．最小值8
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）口袋中有红色、黄色、蓝色的玻璃球共80个，小华通过多次试验后，发现摸到红球、黄球的频率依次是45%、25%，则估计口袋中篮球的个数约为 个．
12．（3分）若直线y＝x﹣1向上平移2个单位长度后经过点（2，m），则m的值为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝60°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 ．
14．（3分）如图，点和在反比例函数的图象上，其中a＞b＞0，若△AOB的面积为8，则＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，过点D作边AB的垂线，交AB于点E，连接CE，若DE＝2，AE＝4，则CE＝ ．
三、解答题：本大题共7小题，共55分。
16．（5分）计算；﹣12﹣2sin60°+|1﹣．
17．（7分）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，某中学八年级组织了一场手抄报比赛，要求每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C；“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，年级随机抽取了部分同学统计所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．
（1）八年级共抽取了 名学生；并补全折线统计图；
（2）该活动准备在七年级开展，七年级共有568人，根据八年级样本的数据统计估计七年级选取C、D两个主题共有 名学生；
（3）若七年级的小林和小峰分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
19．（8分）尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．
（1）求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；
（2）3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多50%，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝3，sin∠CBF＝，求BF的长．
21．（9分）【项目式学习】
项目主题：车轮的形状
项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理．
【合作探究】
（1）探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为4cm，其车轮最高点到地面的距离始终为 cm；
（2）探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为O，若正方形的边长为6cm，车轮轴心O距离地面的最高点与最低点的高度差为 cm；
（3）探究C组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm，车轮轴心为O（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O经过的路径长．
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．
【拓展延伸】
如图4，分别以正三角形的三个顶点A，B，C为圆心，以正三角形的边长为半径作60°圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心O并不稳定．
（4）探究D组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心O”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O”所形成的图形按上、下放置，应大致为 ．
22．（10分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC边上一点，CE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．
（1）求证：；
（2）当EF平分∠AEC时，求的值；
（3）当点D为BC的三等分点时，请直接写出的值．
2024年广东省深圳市盐田区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一
1．（3分）代数式﹣3x的意义可以是（ ）
A．﹣3与x的和B．﹣3与x的差C．﹣3与x的积D．﹣3与x的商
【分析】根据代数式的意义判断．
【解答】解：代数式﹣3x的意义是﹣3与x的积．
故选：C．
【点评】本题考查了代数的意义，解题的关键是掌握代数式的意义．
2．（3分）《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列地铁图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．武汉地铁B．重庆地铁
C．成都地铁D．深圳地铁
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、B、C中的图形不是中心对称图形，故A、B、C不符合题意；
D、图形是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3．（3分）小梅沙海滨公园预计将于今年五一期间开放．园区占地面积约20.53万平方米，用水面积约100万平方米，开放后将成为滨海休息、沙滩活动及婚庆产业、活动赛事的重要承载空间．20.53万用科学记数法表示为（ ）
A．2.053×103B．2.053×104C．2.053×105D．2.053×106
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：20.53万＝205300＝2.053×105，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．（3分）计算（3a2）3的结果是（ ）
A．6a5B．9a6C．27a5D．27a6
【分析】解：利用幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可得出结果．
【解答】解：（3a2）3
＝33（a2）3
＝27a6，
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．
5．（3分）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜0，则（a+b）2024的值为（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2024
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求得a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：由x﹣a＞1得：x＞a+1，
由x+1＜b得：x＜b﹣1，
∵解集为﹣1＜x＜0，
∴a+1＝﹣1，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
则原式＝（﹣2+1）2024＝（﹣1）2024＝1，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（3分）“青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某班为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取6位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：78，85，80，90，80，82．则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．80和81B．81和80C．80和85D．85和80
【分析】将数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为78，80，80，82，85，90，
所以这组数据的众数为80，中位数为＝81，
故选：A．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
7．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（ ）
A．108°B．109°C．110°D．111°
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，再由三角形的外角性质得∠ABD＝∠CDB＝28°，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
由折叠的性质得：∠EBD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，
∵∠1＝∠CDB+∠EBD＝56°，
∴∠ABD＝∠CDB＝28°，
∴∠A＝180°﹣∠2﹣∠ABD＝180°﹣42°﹣28°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．
8．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ）
A．（x+4.5）＝x﹣1B．（x+4.5）＝x+1
C．（x+1）＝x﹣4.5D．（x﹣1）＝x+4.5
【分析】设木长x尺，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设木长x尺，根据题意可得：
，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键．
9．（3分）一次函数y＝kx+b的图象与与反比例函数的图象交于A（a，2），B（2，﹣1），则不等式的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜0或x＞2B．x＜﹣1或x＞1
C．x＜﹣2或0＜x＜2D．x＜﹣1或0＜x＜2
【分析】利用函数图象得到当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数的图象上方时x的取值即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象过A（a，2），B（2，﹣1），
∴m＝2a＝2×（﹣1），
∴a＝﹣1，
∴A（﹣1，2），
由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，
∴不等式的解集是：x＜﹣1或0＜x＜2，
故选：D．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
10．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，12），其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值8D．最小值8
【分析】根据二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，12），可以得到m的值，然后根据对称轴在y轴的右侧，可以得到m的值，从而可以得到二次函数的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的最值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，12），
∴m2﹣m＝12
解得m＝﹣3或m＝4，
∵对称轴在y轴的右侧，a＝1＞0，
∴m＜0，
∴m＝﹣3，
∴二次函数y＝x2﹣3x+12＝（x﹣）2+，
∴该函数的最小值为，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，求出m的值，利用二次函数的性质求最值．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）口袋中有红色、黄色、蓝色的玻璃球共80个，小华通过多次试验后，发现摸到红球、黄球的频率依次是45%、25%，则估计口袋中篮球的个数约为 24 个．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手求解．
【解答】解：∵红球、黄球的频率依次是45%、25%，
∴估计口袋中篮球的个数≈（1﹣45%﹣25%）×80＝24个．
故本题答案为：24．
【点评】解答此题关键是要先计算出口袋中篮球的比例再算其个数．部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
12．（3分）若直线y＝x﹣1向上平移2个单位长度后经过点（2，m），则m的值为 3 ．
【分析】先根据平移规律求出直线y＝x﹣1向上平移2个单位的直线解析式，再把点（2，m）代入，即可求出m的值．
【解答】解：将直线y＝x﹣1向上平移2个单位，得到直线y＝x+1，
把点（2，m）代入，得m＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝60°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 πcm ．
【分析】连接OE，OD，由等边三角形的判定得，△ABC，△AOE，△BOD都为等边三角形，所以∠EOD＝60°，再由弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接OE，OD，
∵AB＝AC＝6cm，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵OA＝OE＝OD＝OB，
∴△AOE，△BOD都为等边三角形，
∴∠AOE＝∠BOD＝60°，
∴∠EOD＝60°，
∴弧DE的长为＝π（cm）．
故答案为：πcm．
【点评】本题考查弧长的计算，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角形的判定和性质得∠EOD＝60°．
14．（3分）如图，点和在反比例函数的图象上，其中a＞b＞0，若△AOB的面积为8，则＝ 3 ．
【分析】根据反比例函数k值几何意义得到S梯形ABCD＝S△AOB将数据代入得到方程＝，解出的值即可．
【解答】解：如图，作BC⊥x轴，垂足为C，AD⊥x轴，垂足为D，
根据反比例函数k值的几何意义可得，
S梯形ABCD＝S△AOB＝8，
∵点和在反比例函数的图象上，
∴，
整理得＝，
解得＝3或﹣，
∵a＞b＞0，
∴．
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握S梯形ABCD＝S△AOB是关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，过点D作边AB的垂线，交AB于点E，连接CE，若DE＝2，AE＝4，则CE＝ ．
【分析】连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，根据等腰三角形的性质及直角三角形的性质求出∠B＝∠ADE，根据锐角三角函数定义求出BE＝1，根据三角形中位线的判定与性质求出CF＝2DE＝4，BE＝EF＝1，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，
∵AB＝AC，点D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD+∠B＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BAD+∠ADE＝90°，
∴∠B＝∠ADE，
∴tanB＝tan∠ADE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝1，
∵CF⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥CF，
∵点D是边BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴CF＝2DE＝4，BE＝EF＝1，
∴CE＝＝＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了勾股定理，三角形中位线等知识，熟练运用勾股定理是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共55分。
16．（5分）计算；﹣12﹣2sin60°+|1﹣．
【分析】利用有理数的乘方法则，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2×+﹣1+4
＝﹣1﹣+﹣1+4
＝2．
【点评】本题考查实数的运算，负整数指数幂及特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．（7分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝，然后把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝+2时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简计算：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
18．（8分）为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，某中学八年级组织了一场手抄报比赛，要求每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C；“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，年级随机抽取了部分同学统计所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．
（1）八年级共抽取了 40 名学生；并补全折线统计图；
（2）该活动准备在七年级开展，七年级共有568人，根据八年级样本的数据统计估计七年级选取C、D两个主题共有 213 名学生；
（3）若七年级的小林和小峰分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【分析】（1）用折线统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得八年级共抽取的学生人数；求出D主题的人数，补全折线统计图即可．
（2）根据用样本估计总体，用568乘以样本中选取C、D两个主题的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及他们选择相同主题的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）八年级共抽取了10÷25%＝40（名）学生．
故答案为：40．
D主题的人数为40﹣10﹣15﹣5＝10（人），
补全折线统计图如图所示．
（2）568×＝213（名），
∴估计七年级选取C、D两个主题共有213名学生．
故答案为：213．
（3）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中他们选择相同主题的结果有4种，
∴他们选择相同主题的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、折线统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
19．（8分）尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．
（1）求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；
（2）3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多50%，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．
【分析】（1）设文具店购进甲种笔记本m本，可得：15m+20（170﹣m）＝3000，即可解得文具店购进甲种笔记本80本，乙种笔记本90本；
（2）设第二次购买乙种笔记本x本，可得＝+6，解方程并检验可得答案．
【解答】解：（1）设文具店购进甲种笔记本m本，则购进乙种笔记本（170﹣m）本，
根据题意得：15m+20（170﹣m）＝3000，
解得m＝80，
∴170﹣m＝170﹣80＝90，
∴文具店购进甲种笔记本80本，乙种笔记本90本；
（2）设第二次购买乙种笔记本x本，根据题意得：
＝+6，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，也符合题意，
∴第二次购买乙种笔记本60本．
【点评】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝3，sin∠CBF＝，求BF的长．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及圆的切线的判定方法进行解答即可；
（2）根据直角三角形的边角关系，圆周角定理求出BE、AE、BC，进而求出CG、BG，再根据相似三角形的判定和性质求出FG即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
即AE⊥BC，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，
∵∠CBF＝∠CAB，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
即AB⊥BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CG⊥BF于点G，
在Rt△ABE中，AB＝3，sin∠BAE＝sin∠CBF＝，
∴BE＝AB＝，AE＝＝，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BC＝2BE＝，
在Rt△BCG中，BC＝，sin∠CFB＝，
∴CG＝BC＝，BG＝＝，
∵AB∥CG，
∴△ABF∽△CGF，
∴＝，
即＝，
解得FG＝，
经检验FG＝是原方程的解，
∴BF＝BG+FG
＝+
＝4．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
21．（9分）【项目式学习】
项目主题：车轮的形状
项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理．
【合作探究】
（1）探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为4cm，其车轮最高点到地面的距离始终为 8 cm；
（2）探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为O，若正方形的边长为6cm，车轮轴心O距离地面的最高点与最低点的高度差为 （3﹣3） cm；
（3）探究C组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm，车轮轴心为O（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O经过的路径长．
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．
【拓展延伸】
如图4，分别以正三角形的三个顶点A，B，C为圆心，以正三角形的边长为半径作60°圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心O并不稳定．
（4）探究D组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心O”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O”所形成的图形按上、下放置，应大致为 A ．
【分析】（1）利用圆的有关性质解答即可；
（2）利用正方形的性质，点的运动轨迹的特征解答即可；
（3）由题意画出符合题意的图象，类比得到点O的轨迹，再利用圆的弧长公式解答即可；
（4）利用“莱洛三角形”的特征，分别对“最高点”和“车轮轴心O”的运动轨迹进行分析即可得出结论．
【解答】解：（1）连接AO并延长交⊙O于点B，如图，
∵车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，
∴中轴心到地面的距离为4cm．
∵圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离不变等于圆的直径，
∴车轮最高点到地面的距离始终为8cm．
故答案为：8；
（2）过点O作OB⊥AB于点B，以点A为圆心，OA为半径画弧交正方形的边于点C，如图，
∵O为正方形的中心，OB⊥AB，
∴圆心O距离地面的最低距离为OB＝3cm，
由题意得：OA＝3cm，
∵点O的移动轨迹为以点A为圆心，OA为半径的弧，
∴点C为车轮轴心O距离地面的最高点，
∵AC＝OA＝3cm，
∴车轮轴心O距离地面的最高点与最低点的高度差为（3﹣3）cm．
故答案为：3﹣3；
（3）连接OA，O′A，过点O作OC⊥AC于点C，如图，
∵O为等边三角形的中心，
∴∠CAO＝∠BAO＝30°，
∵O′为等边三角形的中心，
∴∠DAO′＝30°．
∵∠BAD＝60°，
∴∠OAO′＝120°，
∵OC⊥AC，
∴AC＝3cm，
∴OA＝＝2，
∴的长＝＝，
∴车轮在地面上无滑动地滚动一周，点O经过的路径长为3×＝4πcm．
（4）由题意得：当“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动时，在滚动过程中，其“最高点”与水平线距离保持不变，
∴其“最高点”的移动路径是水平的，
∵“车轮轴心O”到水平平面的距离开始先升高再下降，再升高再下降，不断循环，
∴其“最高点”和“车轮轴心O”所形成的图形按上、下放置，应大致为：A．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，正方形的性质，等边三角形的性质，圆的弧长公式，本题是探究型题目，熟练掌握上述几何图形的性质是解题的关键．
22．（10分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC边上一点，CE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．
（1）求证：；
（2）当EF平分∠AEC时，求的值；
（3）当点D为BC的三等分点时，请直接写出的值．
【分析】（1）根据互余关系得出∠CAD与∠DCE相等，再根据三角函数之间的关系求证即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质得出△ABE和△BCE相似，再根据等腰直角三角形的性质求出AE和CE的比值，在根据三角函数值的定义求出AC和CD的比值即可；
（3）根据D的位置分类讨论，过F作BC的平行线，根据平行线分线段成比例列出方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，
∴∠DEC＝∠CEA＝90°，∠CAE+∠ACE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣∠ACE＝∠CAE，
设∠DCE＝∠CAD＝α，
∴sinα＝，csα＝，tanα＝，
∵tanα＝，
∴＝，
∴＝；
（2）解：∵EF平分∠AEC，∠AEC＝90°，
∴∠AEF＝∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠BEC＝135°，∠EBC+∠ECB＝45°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，AB＝BC，
∴∠EBC+∠ABE＝45°，
∴∠ABE＝∠ECB，
∴△ABE∽△BCE，
∴＝＝＝，
∴＝•＝2，
即tanα＝，
∴＝，
∵AC＝BC，
∴＝2；
（3）解：设AC＝BC＝3，AF＝x，
①当BD＝2CD时，过F作FG∥BC交AD于G，如图：
∴BD＝2，CD＝1，
在Rt△ACD中，AD＝＝，
由（1）知，＝＝9，
∴DE＝，AE＝，
∵FG∥CD，
∴＝＝＝，
∴AG＝，
∴EG＝AE﹣AG＝﹣，
∵BD＝2CD，
∴＝＝，
∵FG∥BD，
∴＝＝，
∴EG＝DE＝x，
∴﹣＝x，
解得：x＝，
∴FC＝AC﹣AF＝，
∴＝6；
②当CD＝2BD时，过F作FG∥BC交AD于G，如图：
由①知：＝＝＝，
∵CD＝2BD，
∴＝＝，
∴＝＝，
由（1）知，＝＝，
在Rt△ACD中，AD＝＝，
∴AE＝，DE＝，
∴AG＝AD＝，EG＝，
∵AG+EG＝AE，
∴+＝，
解得：x＝，
∴CF＝AC﹣AF＝，
∴＝，
综上所述，的值为6或．
【点评】本题主要考查了相似形综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质、比例的性质、平行线分线段成比例以及勾股定理是本题解题的关键．