2024年山东省济南市历城区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省济南市历城区中考数学一模试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．正方体
2．（4分）根据中国航天局提供的资料，天和核心舱组合体运行轨道参数是：远地点高度约394900米；近地点高度约384000米；将数据394900用科学记数法可以表示为（ ）
A．39.49×104B．0.3949×106
C．3.949×105D．3.949×106
3．（4分）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝36°，则∠2的度数是（ ）
A．70°B．72°C．36°D．54°
4．（4分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a+c＜0B．a+b＜a+cC．ac＞bcD．ab＞ac
5．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x9÷x3＝x3B．（x2）3＝x5
C．（﹣2x3）3＝﹣8x9D．x3+x＝x4
6．（4分）每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”．某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）如图，正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知点B的横坐标为3，当y2＜y1时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3或0＜x＜3B．x＜﹣3
C．x＞3D．﹣3＜x＜0或x＞3
8．（4分）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG分别交AB，BC于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线HI分别交AC，BC于点N，E；若，DE＝2，，则AC的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）阅读材料：已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，则点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式计算．例如：求点P（﹣2，1）到直线y＝x+1的距离．其中k＝1，b＝1．所以点P（﹣2，1）到直线y＝x+1的距离为．
根据以上材料，有下列结论：
①点（2，0）到直线y＝﹣2x的距离是；
②直线y＝﹣2x和直线y＝﹣2x+6的距离是；
③抛物线y＝x2﹣4x+3上存在两个点到直线y＝﹣2x的距离是；
④若点P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的点，则点P到直线y＝﹣2x距离的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分）分解因式：m2﹣4m+4＝ ．
12．（4分）不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有 个．
13．（4分）方程的解为 ．
14．（4分）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为3，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 .（结果保留π）
15．（4分）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系，线段AN表示轿车离西昌距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则货车出发 小时后与轿车相遇．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E为AD上一动点，将△ABE沿BE折叠，点A落在点F处，连接DF并延长，与边AB交于点G，若点G为AB中点，则AE＝ ．
三、解答题（本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组，并写出其所有整数解．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝DH，AF＝CG．求证：EF＝HG．
20．（8分）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝8m，CD的坡度为i＝1：，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）求塔AB的高度．（结果精确到1m）
（参考数据：tan27°≈0.5，≈1.7）
21．（8分）某校开展“图书月”活动，为了解七年级学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方式调查了部分学生，并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析．下面是其中的部分信息：
a．将学生每天阅读时长数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
七年级学生每天阅读时长情况统计表
b．每天阅读时长在60≤x＜90的具体数据如下：60，60，66，68，69，69，70，70，72，73，73，73，80，83，84，85．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中n＝ ，图中m＝ ；
（2）C组这部分扇形的圆心角是 °；
（3）每天阅读时长在60≤x＜90这组具体数据的中位数是 ，众数是 ；
（4）各组每天平均阅读时长如表：
求被调查学生的平均阅读时长．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠DAC＝25°，求∠EAC的度数；
（2）若OB＝4，BD＝2，求CE的长．
23．（10分）2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计120万元．
（1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元．
（2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1180万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利0.9万元，销售1辆B型新能源汽车可获利0.4万元，若汽车全部销售完毕，那么销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与函数的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交直线y＝2x+4于点C，交函数的图象于点D，
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≥2OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
25．（12分）如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，若D是△ABC内一点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连结AD，BE．
（1）①如图1，判断AD与BE的位置关系并给出证明；
②如图2，连接AE，BD，当AE＝AB时，请直接用等式表示线段BD和CD的数量关系；
（2）如图3，O是斜边AB的中点，M为BC上方一点，且CM与斜边AB的交点在线段OA上，若OM＝，CM＝12，∠BMC＝45°，求BM的长．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，二次函数图象的顶点为N，对称轴与直线BC交于点D，在直线BC下方抛物线上是否存在一点M（不与点N重合），使得S△NDC＝S△MDC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将线段AB先向右平移一个单位，再向上平移6个单位，得到线段EF，若抛物线y＝a（x2+bx+c）（a≠0）与线段EF只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
2024年山东省济南市历城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求.）
1．（4分）下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．正方体
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故A选项不合题意；
B、圆柱主视图是矩形，俯视图是圆，故B选项不合题意；
C、三棱柱主视图是一行两个矩形，俯视图是三角形，故C选项不合题意；
D、正方体主视图和俯视图都为正方形，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2．（4分）根据中国航天局提供的资料，天和核心舱组合体运行轨道参数是：远地点高度约394900米；近地点高度约384000米；将数据394900用科学记数法可以表示为（ ）
A．39.49×104B．0.3949×106
C．3.949×105D．3.949×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：394900＝3.949×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝36°，则∠2的度数是（ ）
A．70°B．72°C．36°D．54°
【分析】由邻补角的性质求出∠BEF＝144°，由角平分线定义求出∠BEG＝∠BEF＝72°，由平行线的性质得到∠2＝∠BEG＝72°．
【解答】解：∵∠1+∠BEF＝180°，∠1＝36°，
∴∠BEF＝144°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠BEF＝72°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEG＝72°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，角平分线定义，邻补角的性质，关键是由平行线的性质得到∠2＝∠BEG，由角平分线定义，邻补角的性质求出∠BEG的度数即可．
4．（4分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a+c＜0B．a+b＜a+cC．ac＞bcD．ab＞ac
【分析】先确定a，b，c的关系，再运用不等式的性质判定大小．
【解答】解：由数轴上数的位置可得c＜0＜b＜a，且﹣2＜c＜﹣1，b＝1，2＜a＜3，
A．∵﹣2＜c＜﹣1，b＝1，2＜a＜3，∴a+c＞0，故A错误；
B．∵c＜b，∴a+c＜a+b，故B错误；
C．∵b＜a，c＜0，给不等式两边同乘以负数，不等号要反向，∴ac＜bc，故C错误；
D．∵b＞c，a＞0，给不等式两边同乘以正数，不等号方向不变，∴ab＞ac，故D正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了数轴及不等式的性质，解题的关键是运用不等式的性质判定大小．
5．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x9÷x3＝x3B．（x2）3＝x5
C．（﹣2x3）3＝﹣8x9D．x3+x＝x4
【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方及积的乘方、合并同类项的运算法则进行逐一判断即可．
【解答】解：A．x9÷x3＝x6，故本选项不符合题意；
B．（x2）3＝x6，故本选项不符合题意；
C．（﹣2x3）3＝﹣8x9，故本选项符合题意；
D．x3+x不能进行计算，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法、幂的乘方及积的乘方、合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
6．（4分）每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”．某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
7．（4分）如图，正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知点B的横坐标为3，当y2＜y1时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3或0＜x＜3B．x＜﹣3
C．x＞3D．﹣3＜x＜0或x＞3
【分析】根据反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，可得点A的横坐标是﹣3，根据y2＜y1时可确定自变量x的取值范围．
【解答】解：根据反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，可得点A的横坐标是﹣3，
当y2＜y1时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜3．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象是中心对称图形是解答本题的关键．
8．（4分）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
9．（4分）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG分别交AB，BC于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线HI分别交AC，BC于点N，E；若，DE＝2，，则AC的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接AD、AE，如图，利用基本作图得到MD垂直平分AB，EN垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD＝，AE＝CE＝，再利用勾股定理的逆定理证明△ADE为直角三角形，∠ADE＝90°，然后利用勾股定理计算AC的长．
【解答】解：连接AD、AE，如图，
由作法得MD垂直平分AB，EN垂直平分AC，
∴AD＝BD＝，AE＝CE＝，
在△ADE中，
∵AD＝，DE＝2，AE＝，
∴AD2+DE2＝AE2，
∴△ADE为直角三角形，∠ADE＝90°，
在Rt△ADE中，∵AD＝，CD＝2+＝，
∴AC＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理．
10．（4分）阅读材料：已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，则点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式计算．例如：求点P（﹣2，1）到直线y＝x+1的距离．其中k＝1，b＝1．所以点P（﹣2，1）到直线y＝x+1的距离为．
根据以上材料，有下列结论：
①点（2，0）到直线y＝﹣2x的距离是；
②直线y＝﹣2x和直线y＝﹣2x+6的距离是；
③抛物线y＝x2﹣4x+3上存在两个点到直线y＝﹣2x的距离是；
④若点P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的点，则点P到直线y＝﹣2x距离的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①利用点到直线的距离公式求出即可；
②从直线y＝﹣2x上找一个点（0，0），求出该点到y＝﹣2x+6的距离，即为两条平行线的距离．
③利用点到直线的距离公式求出点的坐标，即可作出判断；
④求得直线y＝﹣2x+m与抛物线有一个交点时的m的值，即可求得直线y＝﹣2x+m的解析式，从直线y＝﹣2x上找一个点（﹣，0），求出该点到y＝﹣2x+m的距离，即为点P到直线y＝﹣2x距离的最小值．
【解答】解：①直线y＝﹣2x，
∴点（2，0）到直线y＝﹣2x的距离是d＝＝；故①正确；
②找出直线y＝﹣2x上一点（0，0），
∴点（0，0）到直线y＝﹣2x+6的距离d＝＝，故②正确；
③设点P（x0，y0）是抛物线y＝x2﹣4x+3的点，到直线y＝﹣2x的距离是，
则，
∴|﹣2x0﹣y0|＝5，
∴|﹣2x0﹣+4x0﹣3|＝5，即|﹣+2x0﹣3|＝5，
当﹣+2x0﹣3＝5时，无解，
当﹣+2x0﹣3＝﹣5时，解得x0＝1+或x0＝1﹣，
∴抛物线y＝x2﹣4x+3上存在两个点到直线y＝﹣2x的距离是；故③正确；
④设直线y＝﹣2x向上平移m个单位与抛物线y＝x2﹣4x+3有一个交点，则平移后的直线为y＝﹣2x+m，
令﹣2x+m＝x2﹣4x+3，则x2﹣2x+3﹣m＝0，
∴Δ＝0，即（﹣2）2﹣4（3﹣m）＝0，
解得m＝2，
∴平移后的直线为y＝﹣2x+2，
找出直线y＝﹣2x上一点（0，0），
∴点（0，0）到直线y＝﹣2x+2的距离d＝＝，
∴若点P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的点，则点P到直线y＝﹣2x距离的最小值是，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，由函数的解析式求点的坐标的运用，平行线的性质的运用，解答时掌握点到直线的距离公式是关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分）分解因式：m2﹣4m+4＝ （m﹣2）2 ．
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（m﹣2）2，
故答案为：（m﹣2）2
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．（4分）不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有 6 个．
【分析】设红球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：设红球有x个，
根据题意得：＝0.6，
解得：x＝6，
经检验x＝6是原方程的根，
则袋中红球有6个．
故答案为：6．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13．（4分）方程的解为 x＝1 ．
【分析】依据题意，由分式方程的解法即可得解．
【解答】解：方程两边同时乘以2x（5x+1）得，
3×2x＝5x+1，
∴x＝1．
检验：把x＝1代入2x（5x+1）＝12≠0，且方程左边＝右边．
∴原分式方程的解为x＝1．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法，解题时要熟练掌握并灵活运用．
14．（4分）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为3，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 π .（结果保留π）
【分析】先根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：由题意得，∠HAB＝＝135°，AH＝AB＝3，
∴S阴影部分＝＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角和的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
15．（4分）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系，线段AN表示轿车离西昌距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则货车出发 1.8 小时后与轿车相遇．
【分析】利用待定系数法分别求出y1、y2与x的函数关系式，当y1＝y2时求出x的值即可．
【解答】解：（1）设线段OM的函数关系式为y1＝k1x（k1为常数，且k1≠0）．
将坐标M（4，240）代入y1＝k1x，
得4k1＝240，
解得k1＝60，
∴y1＝60x（0≤x≤4）；
设线段AN的函数关系式为y2＝k2x+b（k2、b为常数，且k2、b≠0）．
将坐标B（1.5，75）和N（3，240）代入y2＝k2x+b，
得，
解得，
∴y2＝110x﹣90，
当y2＝0时，得110x﹣90＝0，解得x＝，
∴线段AN的函数关系式为y2＝110x﹣90（≤x≤3）．
当两车相遇时，y1＝y2，得60x＝110x﹣90，解得x＝1.8，
∴货车出发1.8小时后与轿车相遇．
故答案为：1.8．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E为AD上一动点，将△ABE沿BE折叠，点A落在点F处，连接DF并延长，与边AB交于点G，若点G为AB中点，则AE＝ ．
【分析】过点F作MN∥AB，分别交AD，BC于点M，N，根据点G为AB中点可得AG＝2，不难推出四边形ABNM为矩形，△DMF∽△DAG，则，设MF＝x，则DM＝2x，AM＝4﹣2x，NF＝4﹣x，BN＝AM＝4﹣2x，根据折叠的性质可得AE＝EF，AB＝BF＝4，根据勾股定理得BF2＝BN2+NF2，以此得出MF，设AE＝y，则EF＝y，再根据勾股定理得EF2＝EM2+MF2，以此列出方程求解即可．
【解答】解：过点F作MN∥AB，分别交AD，BC于点M，N，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝90°，AB＝AD＝4，四边形ABNM为矩形，
∴AM＝BN，AB＝MN＝4，
∵点G为AB中点，
∴AG＝AB＝2，
∵MN∥AB，
∴△DMF∽△DAG，
∴，
即DM＝2MF，
设MF＝x，则DM＝2x，AM＝4﹣2x，NF＝4﹣x，
∴BN＝AM＝4﹣2x，
根据折叠的性质得，AE＝EF，AB＝BF＝4，
在Rt△BNF中，根据勾股定理得，BF2＝BN2+NF2，
∴42＝（4﹣2x）2+（4﹣x）2，
整理得，5x2﹣24x+16＝0，
解得：x＝或4（舍去），
∴MF＝，DM＝，
设AE＝y，则EF＝y，EM＝AD﹣DM﹣AE＝4﹣﹣y＝﹣y，
在Rt△EMF中，由勾股定理得，EF2＝EM2+MF2，
∴，
∴y＝，
∴AE＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质，正确作出辅助线，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案是解题关键．
三、解答题（本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）计算：．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝1+4×+﹣2
＝1+2+﹣2
＝．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（6分）解不等式组，并写出其所有整数解．
【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，即可求出不等式组的解集，再写出其所有整数解．
【解答】解：
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣，
故不等式组的解集是﹣≤x＜2，
它的所有整数解有x＝﹣2，﹣1，0，1．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝DH，AF＝CG．求证：EF＝HG．
【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，∠A＝∠C，证明△AEF≌△CHG（SAS），由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C，
∵BE＝DH，
∴AB﹣BE＝CD﹣DH，
即AE＝CH，
在△AEF和△CHG中，
，
∴△AEF≌△CHG（SAS），
∴EF＝HG．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△AEF≌△CHG是解题的关键．
20．（8分）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝8m，CD的坡度为i＝1：，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）求塔AB的高度．（结果精确到1m）
（参考数据：tan27°≈0.5，≈1.7）
【分析】（1）由题意得：DE⊥EC，然后在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义可得tan∠DCE＝，从而可得∠DCE＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：DF＝EA，DE＝FA＝3m，然后设AC＝x m，则DF＝AE＝（x+3）m，分别在Rt△ACB和Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出AB和BF的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，tan∠DCE＝＝＝，
∴∠DCE＝30°，
∵CD＝8m，
∴DE＝CD＝4（m），CE＝CD＝4（m），
∴DE的长为4m；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF＝EA，DE＝FA＝4m，
设AC＝x m，
∵CE＝4m，
∴DF＝AE＝CE+AC＝（x+4）m，
在Rt△ACB中，∠BCA＝45°，
∴AB＝AC•tan45°＝x（m），
在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF•tan27°≈0.5（x+4）m，
∵BF+AF＝AB，
∴0.5（x+4）+4＝x，
解得：x＝4+8≈15，
∴AB≈15m，
∴塔AB的高度约为15m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（8分）某校开展“图书月”活动，为了解七年级学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方式调查了部分学生，并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析．下面是其中的部分信息：
a．将学生每天阅读时长数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
七年级学生每天阅读时长情况统计表
b．每天阅读时长在60≤x＜90的具体数据如下：60，60，66，68，69，69，70，70，72，73，73，73，80，83，84，85．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中n＝ 48 ，图中m＝ 60 ；
（2）C组这部分扇形的圆心角是 72 °；
（3）每天阅读时长在60≤x＜90这组具体数据的中位数是 71 ，众数是 73 ；
（4）各组每天平均阅读时长如表：
求被调查学生的平均阅读时长．
【分析】（1）先由A组人数及其所占百分比求出总人数，继而可得n的值，再用B组人数除以总人数可得m的值；
（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；
（3）根据中位数和众数的定义求解即可；
（4）根据加权平均数的定义求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，样本容量为：8÷10%＝80，
故n＝80﹣8﹣16﹣8＝48，
m%＝×100%＝60%，即m＝60．
故答案为：48，60；
（2）C组这部分扇形的圆心角是360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）平均每天阅读时长在60≤x＜90这组具体数据的中位数是＝71，众数是73．
故答案为：71，73；
（4）＝54（分钟），
答：被调查学生的平均阅读时长为54分钟．
【点评】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠DAC＝25°，求∠EAC的度数；
（2）若OB＝4，BD＝2，求CE的长．
【分析】（1）先利用OA＝OC得到∠OCA＝∠DAC＝25°，再根据切线的性质得到OC⊥CD，则OC∥AE，然后根据平行线的性质得到∠EAC的度数；
（2）先在Rt△OCD中利用勾股定理计算出CD＝2，然后根据平行线分线段成比例定理求CE的长．
【解答】解：（1）∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠DAC＝25°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥DE，
∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠OCA＝25°；
（2）在Rt△OCD中，∵OC＝OB＝4，OD＝OB+BD＝6，
∴CD＝＝2，
∵OC∥AE，
∴＝，即＝，
解得CE＝，
即CE的长为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理．
23．（10分）2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计120万元．
（1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元．
（2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1180万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利0.9万元，销售1辆B型新能源汽车可获利0.4万元，若汽车全部销售完毕，那么销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组解答即可；
（2）先确定购买A型新能源汽车的取值范围，再列出关于利润w的解析式，根据解析式判断最值即可．
【解答】解：（1）设A型新能源汽车每辆进价x元，B型新能源汽车每辆进价y元，根据题意得：
，
解得：，
答：A型新能源汽车每辆进价25万元，B型新能源汽车每辆进价10万元．
（2）设购买A型新能源汽车m辆，则购买B型新能源汽车（100﹣m）辆，根据题意得：
25m+10（100﹣m）≤1180，
解得m≤12，该公司最多购买A型车12辆，
设销售A型新能源汽车x辆，所获得利润为w万元，则：
w＝0，9x+0.4（100﹣x）＝0.5x+40，
∵0.5＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝12时，w有最大值，即当销售A型新能源汽车12辆时获利最大，最大利润为0.5×12+40＝46万元．
答：当销售A型新能源汽车12辆时获利最大，最大利润为46万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数的增减性是解答本题的关键．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与函数的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交直线y＝2x+4于点C，交函数的图象于点D，
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≥2OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）将A点坐标代入两个解析式可得m、k值；
（2）①令两个函数值为2，求出点C、D坐标即可得到线段CD长；
②先求出线段OB长，根据题意列出不等式，解出n的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+4与函数的图象交于点A（1，m），
∴m＝2+4＝6，k＝6．
（2）①当y＝2时，直线y＝2x+4的x＝﹣1，反比例函数中x＝3，
∴C（﹣1，2），D（3，2），
∴CD＝3﹣（﹣1）＝4．
②在直线y＝2x+4中，当y＝0时，x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），即OB＝2，C（，n），D（，n），
∴≥2OB＝4，
解得：﹣6≤n≤2．
∵反比例函数图象在第一象限，
∴0＜n≤2．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
25．（12分）如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，若D是△ABC内一点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连结AD，BE．
（1）①如图1，判断AD与BE的位置关系并给出证明；
②如图2，连接AE，BD，当AE＝AB时，请直接用等式表示线段BD和CD的数量关系；
（2）如图3，O是斜边AB的中点，M为BC上方一点，且CM与斜边AB的交点在线段OA上，若OM＝，CM＝12，∠BMC＝45°，求BM的长．
【分析】（1）由等腰直角三角形性质得AC＝BC，再由旋转的性质得CD＝CE，∠DCE＝90°，然后由SAS证△∠ACD≌△BCE，即可得出结论；
（2）连接DE，延长AD交BE于点O，证△ACD≌△BCE（SAS），得∠DAC＝∠EBC，再证AO⊥BE，则OE＝OB，然后由等腰三角形的性质得DE＝BD，即可得出结论；
（3）过点O作OP⊥OM，且OP＝OM，连接PM、PC，并延长PC交BM于点Q，交QM于点H，连接OC，证△POC≌△MOB（SAS），得CP＝BM，∠OPC＝∠OMB，再证∠PQM＝∠POM＝90°，则△CMQ是等腰直角三角形，得CQ＝MQ＝12，在Rt△POM中，求得PM＝13，利用勾股定理求得PQ＝＝5，最后利用BM＝PC＝PQ+CQ＝5+12＝17解答即可．
【解答】解：（1）①AD＝BE；
证明：∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
②BD＝CD；
证明：如图2，连接DE，延长AD交BE于点O，
∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝＝CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠BAO+∠ABO＝∠BAO+∠ABC+∠CBE＝∠BAO+∠ABC+∠CAD＝∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠AOB＝∠ACB＝90°，
∵AE＝AB，
∴OB＝OE，
∴BD＝DE＝CD；
（3）如图3，过点O作OP⊥OM于点O，使OP＝OM，连接CO，PM，PC，PC交BM于点Q，交OM的延长线于点N，
∵△ABC是等腰直角三角形，O是斜边AB的中点，
∴OC⊥AB，OC＝OB，
∴∠BOC＝∠POM＝90°，
∴∠POC＝∠BOM，
∴△POC≌△MOB（SAS），
∴PC＝BM，∠CPO＝∠BMO，
∵∠PNO＝∠MNQ，
∴∠PQM＝∠POM＝90°，
在Rt△CMQ中，∠BMC＝45°，
∴△CMQ为等腰直角三角形，
∵CQ＝MQ，
∴CM＝＝CQ，
∵CM＝12，
∴CQ＝MQ＝12，
在Rt△POM中，OP＝OM＝，PM＝＝13，
∴PQ＝＝＝5，
∴BM＝PC＝PQ+CQ＝5+12＝17．
【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转变换的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，二次函数图象的顶点为N，对称轴与直线BC交于点D，在直线BC下方抛物线上是否存在一点M（不与点N重合），使得S△NDC＝S△MDC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将线段AB先向右平移一个单位，再向上平移6个单位，得到线段EF，若抛物线y＝a（x2+bx+c）（a≠0）与线段EF只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当MN∥BC时，S△NDC＝S△MDC，即可求解；
（3）分为a＞0和a＜0两种情形．当a＜0时，抛物线的顶点等于6及x＝0时，y＞6，当a＞0时，将x＝4代入抛物线解析式，y的值大于等于6，从而求得结果．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由：
由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），点D（1，﹣4），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
当MN∥BC时，S△NDC＝S△MDC，
则直线MN的表达式为：y＝（x﹣1）﹣4，
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）﹣4，
解得：x＝1（舍去）或2，
即点M（2，﹣3）；
（3）可得E（0，6），F（4，6），
当a＜0时，
∵y＝a（x﹣1）2+4a，
∴抛物线的顶点为：（1，﹣4a），
当﹣4a＝6时，只有一个公共点，
∴a＝﹣，
当x＝0时，y＞6，
∴﹣3a＞6，
∴a＜﹣2，
∴a＜﹣2或a＝﹣，
当a＞0时，
（16﹣8+﹣﹣3）a≥6，
∴a≥，
综上所述：a＜﹣2或a＝﹣或a≥．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程的关系，平行线的性质，分类讨论等知识思想是解决问题的关键．
组别
每天阅读时长（单位：分钟）
人数（单位：人）
A
0≤x＜30
8
B
30≤x＜60
n
C
60≤x＜90
16
D
90≤x＜120
8
组别
A
0≤x＜30
B
30≤x＜60
C
60≤x＜90
D
90≤x＜120
平均阅读时长（分钟）
20
45
75.5
99
组别
每天阅读时长（单位：分钟）
人数（单位：人）
A
0≤x＜30
8
B
30≤x＜60
n
C
60≤x＜90
16
D
90≤x＜120
8
组别
A
0≤x＜30
B
30≤x＜60
C
60≤x＜90
D
90≤x＜120
平均阅读时长（分钟）
20
45
75.5
99