广东省广州市华南师范大学附属中学2024届高三下学期5月月考数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名､考号和座位号填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在问卷上则答案无效.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.
1. 设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A. （﹣∞，2）B. （﹣∞，2]C. （2，+∞）D. [2，+∞）
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以的取值范围为，故选B.
考点：集合的关系
2. 在中，分别为角的对边，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】化简已知式可得，设外接圆的半径为，由正弦定理可得.
【详解】,
所以，设外接圆的半径为，
由正弦定理可得：
.
故选：D.
3. 在中不重复地选取4个数字，共能组成（ ）个不同的四位数.
A. 96B. 18C. 120D. 84
【答案】A
【解析】
【分析】5个数抽4个数全排列再减去首位是0的情况即可.
【详解】四位数首位不能为零，
故为种不同的四位数，
故选：A.
4. “是函数的一个极值点”是“在处导数为0”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的四则运算与函数极值点的定义，举反例说明即可得解.
【详解】当时，，则在处导数为0，但0不是它的极值点；
当时，则在处导数不存在，但0是它的极值点；
因此题干两条件是既不充分也不必要条件.
故选：D.
5. 已知复数，的模长为1，且，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，，分别计算，，，，由可得，即可求得，，即可求解.
【详解】设，，
则，，
所以，
，
因为，，所以，，
因为，所以，所以，
即，所以，
所以，，
所以.
故选：.
6. 已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，则m，n平行、相交、异面均有可能
【答案】D
【解析】
【分析】在A中，或；在B中，与相交或平行；在C中，与相交或平行；在D中，平行、相交、异面均有可能.
【详解】由是两条不同直线，是三个不同平面，得：
在A中，若，则或，故A错误；
在B中，若，则与相交或平行，故B错误；
在C中，若，则与相交或平行，故C错误；
在D中，若，则平行、相交、异面均有可能，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.
7. 已知正实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证明，然后证明对总存在相应的使得，即可说明的取值范围是.
【详解】一方面有，及.
另一方面，对，存在满足，，.
所以的取值范围是.
故选：C.
8. 已知在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点为双曲线右支上一点，直线交双曲线于另一点，且，直线经过椭圆的下顶点，记的离心率为的离心率为，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线和双曲线都关于原点对称知点关于原点对称，设的中点为，得到为中位线，设，表示出，从而得到，进而表示出；对于椭圆，设下顶点为，得到从而得到，得，所以，即得结果.
【详解】
易得关于原点对称，连接，设，则由勾股定理得，
设的中点为，则为对应边的中位线，则且，
由勾股定理解得，所以，所以；
椭圆的下顶点为，则易得，解得，
则的焦距满足，则，
同时，因此.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量（单位为天），以监测到的病例总数为因变量，选择以下两个回归模型拟合随的变化：回归模型一：；回归模型二：，通过计算得出，则下列说法正确的是（ ）
A. 使用回归模型一拟合的决定系数大于使用回归模型二的决定系数
B. 通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程
C. 在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右
D. 在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人
【答案】BD
【解析】
【分析】根据已知条件所给的散点图，先分析得模型二的拟合效果更好，由此即可判断A、B两个选项，再将代入模型二的经验回归方程，即可判断C、D选项.
【详解】根据散点图可知模型二的拟合效果更好，拟合效果越好决定系数越大，
所以使用回归模型一拟合的决定系数小于使用回归模型二的决定系数，
所以A错误，B正确；
因为模型二的的拟合效果好，预报更准确，根据已知：，
，所以，将代入经验回归方程，
有，所以C错误，D正确.
故选：BD
10. 函数和的定义域为，若的最小正周期为的最小正周期为，则（ ）
A. 为周期函数B. 为周期函数
C. 为周期函数D. 为周期函数
【答案】CD
【解析】
【分析】由周期函数的定义逐一验算每个选项即可得解.
【详解】当是无理数时，两个函数周期不存在最小整数公倍数，和可能不为周期函数，故AB选项错误，
但的周期均为，
因此和均有为的周期，CD选项正确.
故选：CD.
11. 如图所示，在五面体中，都是等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面，则下列说法正确的有（ ）
A. 平面
B. 五面体的外接球半径为2
C. 五面体的体积为
D. 五面体的内切球半径为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由线面平行的判定定理可判断A；由五面体的外接球球心为的中点可判断B；五面体的体积为，分别求出三个三棱锥的体积可判断C；先假设五面体存在内切球，后验证与假设矛盾可判断D.
【详解】对于，分别取的中点，连接，
设，则，
，
又平面平面，平面平面平面，
平面，
同理可证平面，，
又因为，所以四边形是平行四边形，，
又平面平面，
平面，故选项正确；
对于B，取中点，由A知，因为，
又因为，所以四边形，是平行四边形，
所以，
所以五面体的外接球球心为点，其半径为2，故选项正确，
对于C，五面体的体积为：
，
，
因为三棱锥的每条边的边长为，
如下图，过点作平面，连接交于点，
所以，
所以，
所以，
所以，
故五面体的体积为，故选项正确，
对于D，假设五面体存在内切球，设其半径为，
则其平行于底面的球大圆内切于距底面高度为的梯形，梯形高为，上底为，
下底为，两腰与下底的夹角均为，
但此时梯形并不存在半径为的内切圆，故五面体不存在内切球，选项错误.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出图形，再由两条直线夹角的角平分线的斜率为，得到中的三线合一，即可求得的取值范围.
【详解】由于平移不影响斜率，不妨设两条直线都过原点，
设分别交于，，角平分线交于点，
所以，
又因为直线和直线夹角的角平分线的斜率为，
所以直线的斜率，
所以，即，
所以为中点.
由三线合一可得为以为底边的等腰三角形，且，所以，
因为不垂直，所以不是直角.
当为锐角时，则夹角为，所以；
当为钝角时，则夹角为的补角，夹角的角平分线为轴，斜率不存在，故不符合题意.
综上，的取值范围是.
故答案为：
13. 在平面直角坐标系中，若以原点为中心的双曲线经过旋转变换后为函数的图象，函数的定义域为且，若在定义域内存在反函数，则双曲线离心率的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设焦点在轴上时，由题意可得，进而可求双曲线的离心率的范围.
【详解】以焦点在轴上的双曲线为例，由题得旋转变换后的图象为函数的图象，
可知对于每一个都有唯一，故其一条渐近线必然为轴，
又因时每一个都有唯一与之对应，则另一条渐近线斜率，
从而在旋转变换前斜率为正的渐近线的斜率大于等，即，
所以离心率，故离心率为.
故答案为：.
14. 已知实数满足，则的值是__________，的取值集合是_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】令，对求导，可证得，再结合，即可知，，解方程可得答案.
【详解】令，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故，所以，当时取等号.
所以，
即，而，
又因为，所以，，
即，故.
故答案：；.
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于令，对求导，可证得，再结合，即可知，，解方程可得答案.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知的三个内角A、B、C的对边分别为，且的面积．
（1）求角B的大小;
（2）若，且，求边的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）从已知条件，可由，得，从而有；（2）根据已知条件，由正弦定理求得，求得的范围，进而可得解.
【详解】（1）．
（2）由,
．
．
16. 如图，已知长方形中，为的中点.将沿折起，使得平面平面.
（1）求证：；
（2）若，当二面角大小为时，求的值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法证明线线垂直.
（2）利用空间向量的方法，根据二面角的大小，求参数的值.
【小问1详解】
取的中点，的中点，连,
因为为中点，且，所以，
又，为中点，所以，
平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
又，，所以.
因为为的中点，为的中点，
所以，所以.
所以两两垂直.
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
如图，根据已知条件，得
由于，
则，故.
【小问2详解】
设存在满足条件的点
则
则点的坐标为.（其中）
易得平面ADM的法向量可以取，
设平面的法向量为，
则
则，
取
由于二面角大小为，
则，
由于，故解得.
17. 在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有个服务区.现有一辆车从第个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第个服务区开出后，将等可能地停靠在第个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量为这辆车全程一共进入的服务区总数.
（1）求的分布列及期望；
（2）证明：是等差数列.
【答案】（1）分布列见解析，期望为2.5
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）的可能取值为2，3，易求得分布列，可求得数学期望；
（2），根据题意可得，计算可得结论；
【小问1详解】
由题意可得的可能取值为2，3，
时，当且仅当不进入第2个服务区，，
，
故分布列为
期望为.
【小问2详解】
当共有个服务区时，设事件“这辆车停靠在第个服务区”为，则，
由于停靠在第个服务区后，后续过程可视为从第个服务区出发，
总停靠次数为，若不停靠，则第个服务区对过程无影响，总停靠次数为，
故，
因此，所以为等差数列.
18. 已知椭圆的焦距为，且中恰有两点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有三点，直线过点，直线与轴交于，点为中点，三点共线，直线与直线的交点为，求三角形的面积关于的表达式.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆的对称性知在椭圆上，可得，再由，求出，即可得出答案；
（2）设，由“点差法”求出斜率，设，与联立椭圆的方程，由表示出，设，进一步表示出的方程，再与联立可求出点坐标，即可表示出三角形的面积.
【小问1详解】
因为椭圆的焦距为，则，
由椭圆的对称性知，
在椭圆上，代入得，
又因为，
联立解得.
所以椭圆的方程为：.
【小问2详解】
设，则，
相减得：，
则，
而，且三点共线，,
得，故，
所以，故斜率为，因为直线与轴交于，
设，其中，
联立得，
因此
，
设，则，
，
与联立得：，
而由过，设与椭圆联立得：
，
故，
，
①，
则，
，
，
代入①解得，因此，且，
作轴交于，令，则，
所以，则面积为：，
与椭圆联立可得：，
则
所以，
故面积为.
【点睛】关键点睛：本题第（2）问的解题关键在于由“点差法”求出斜率，设，与联立椭圆的方程，设，由表示出，设，进一步表示出的方程，再与联立可求出点坐标，即可表示出三角形的面积.
19. 对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.
（1）若函数，证明：都存在“关联切线伴随数列”；
（2）若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式；
（3）若函数，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意分析可知：数列为以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列分析证明；
（2）由题意分析可知：数列为以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解；
（3）构建函数，利用导数可证，利用累加法分析求解.
小问1详解】
因为，则，
由题意可得：，
则，即，且，
可知数列为以为首项，为公比的等比数列，
显然这样的数列对于给定的是存在的，
所以都存在“关联切线伴随数列”.
小问2详解】
因为，则，
设，即，
由题意可知：，则，
可得，且，
可知数列为以为首项，为公比的等比数列，
可得，所以数列通项公式为.
【小问3详解】
先证明，
设函数，
则，，则，
定义的导函数为的导函数为，
则，
且，，
令，则，
，
因为，
可知在内单调递增，则，
同理得，，
故，
又在内单调递增，
在有有
因此取，有，
又在单调递减，在单调递增，
故，
当时，，符合题意；
当时，，
累加可得，
整理得，
所以；
综上所述：.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
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12
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