湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二下学期4月素质质量检测数学试卷（原卷版+解析版）

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一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接求交集即可.
【详解】集合，则，
故选：B．
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A，当时，，当时，，即，所以选项A不满足题意，
对于选项B，因在区间上不单调，所以选项B不满足题意，
对于选项C，因为图象不关于轴对称，所以选项C不满足题意，
对于选项D，令，易得其定义域为，关于原点对称，
又，所以为偶函数，
当时，，又在区间上单调递增，所以选项D满足题意，
故选：D.
3. 已知．则“且”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.
【详解】当且时，，所以，当且仅当，即时取等号，
所以由且可以得出，
显然，当，有成立，但得不出且，
所以“且”是“”的充分而不必要条件，
故选：A.
4. 已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数运算法则及共轭复数的定义判定即可.
【详解】易知的虚部为.
故选：B．
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由诱导公式可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可求解.
【详解】由，得，
则.
故选：D.
6. 若向量，满足，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
将展开，利用数量积的定义以及，即可求解.
【详解】由可得：，
即，
将，代入可得：，
所以，
故选：B
7. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】记、分别表示甲两轮猜对个、个成语的事件，、分别表示乙两轮猜对个、个成语的事件，求出事件、、、发生的概率，再利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】设、分别表示甲两轮猜对个、个成语的事件，
、分别表示乙两轮猜对个、个成语的事件.
根据独立事件的性质，可得，，
，，
设“两轮活动“星队”猜对个成语”，则，且与互斥，
与、与分别相互独立，
所以，
因此，“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率是.
故选：A.
8. 中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确命题的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知得，结合题设判断各项正误即可.
【详解】在中，令可得该建筑室内地面对应的曲线方程为，
由室内地面是面积为的圆，故，①对；
且，则，又不全相等，故，②错；
若，则，可得，与不全相等矛盾，③错；
若，则，故，④对.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设，是两个平面，，是两条直线，下列命题正确的是（ ）
A. 如果，，那么.
B. 如果，，那么.
C. 如果，，，那么.
D. 如果内有两条相交直线与平行，那么.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由立体几何知识对选项逐一判断
【详解】对于A，由线面垂直的性质知A正确
对于B，由面面平行的性质知B正确
对于C，若，，，可得或，而位置关系不确定，故C错误
对于D，由面面平行的判定定理知D正确
故选：ABD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B. 在回归分析中，为0.99的模型比为0.88的模型拟合的更好
C. 在的展开式中，所有项的系数和为0
D. 某时间段的第1天为星期三，则第天为星期四
【答案】AB
【解析】
【分析】对于AB：根据统计知识判断AB；对于CD：根据二项式定理分析判断.
【详解】对于A：两个变量，的相关系数为，越小，与之间的相关性越弱，A正确：
对于B：越接近1，模型拟合越好，且，B正确；
对于C：取，得所有项的系数之和为1，C错误；
对于D：因，
可知被7除余数为6，所以第天是星期一，D错误.
故选：AB.
11. 袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A. B. C. X的期望D. X的方差
【答案】ACD
【解析】
【分析】分别计算概率，计算期望与方差.
【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，
并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，
取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，
所以随机变量服从二项分布，故A正确；
，记其概率为，故B错误；
因为，所以的期望，故C正确；
因为，所以的方差，故D正确．
故选：ACD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 展开式中的常数项为________．
【答案】15
【解析】
【分析】根据二项式定理展开式的通项公式可得，令即可求解.
【详解】由题意知，二项式定理展开式的通项公式为：，
令，得，则常数项为：.
故答案为：15
13. 某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有______.
【答案】18
【解析】
【分析】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分两步完成：甲在三个项目中任选一个，另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，根据计数原理即可得到结果.
详解】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分两步完成：
① 让甲在三个项目中任选一个，有种方法；
② 让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法.
由分步乘法计数原理，可得符合条件报名方法种数为.
故答案为：
14. 已知随机变量，若，则______.
【答案】0.14##
【解析】
【分析】由正态分布的对称性即可求解.
【详解】因为，所以，
故答案为：0.14.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化
（1）观察散点图可知，天数与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中用分数表示）；
（2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.
参考公式：.参考数据：.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据表格数据利用公式求出即可求解.
（2）将代入回归方程求得预测值，然后根据残差定义求解即可.
【小问1详解】
依题意，，
，
故，
，故所求回归直线方程为.
【小问2详解】
由（1）可知，当时，，
故所求残差为.
16. 2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：
（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；
（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.
附：①，其中；
②当时有95%的把握认为两变量有关联.
【答案】（1）没有 （2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意和公式求出，然后根据附②即可得出结论；
（2）由题得出的取值依次为0，1，2，依次求出各种取值的概率，然后写出分布列求出期望.
【小问1详解】
根据列联表中数据，
得，
所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.
【小问2详解】
这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，
则抽取的男生有3人，女生在2人，
所以的取值依次为0，1，2，
，，，
所以的分布列为
.
17. 已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）求实数a，n的值；
（2）求函数在区间上的最值．
【答案】（1）
（2）在上的最大值为36，最小值为
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义及题中条件列出方程组，解出即可；
（2）利用导数考查函数在区间上的单调性，求得极值及端点处的函数值，进行比较即可求解.
【小问1详解】
由于，
因此，
根据题意得，
解得.
【小问2详解】
当时，，
当时，，
在上单调递增，
在上单调递减，
的极大值为
的极小值为
又
在上的最大值为36，最小值为．
18. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线线平行证明面面平行；（2）向量法求二面角.
【小问1详解】
如图，连接，设，连接．
因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点．
因为为的中点，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
因为，，
又，平面，平面，
所以平面，又因平面，所以．
又，所以，，两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，．
设平面的法间量为，则即，
令，则，于是．
因为平面，所以是平面的一个法向量．
所以．
由题设，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知分别求出即可得到的标准方程；
（2）通过直曲联立，求出弦长，再由点到直线距离公式求出原点到直线的距离，
代入三角形面积公式，利用不等式求出面积的最大值．
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为，
则，又，
解得，
所以的标准方程为．
【小问2详解】
设，
联立直线与椭圆的方程，可得，
所以，得．
又原点到直线的距离，
所以，
所以．
令，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
即当时，的面积取得最大值．天数x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
作物高度y/cm
9
10
10
11
12
13
13
14
14
14
不太了解
比较了解
合计
男生
20
40
60
女生
20
20
40
合计
40
60
100
0
1
2