山东省济宁市鱼台县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．）
1. 下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答.
【详解】A、被开方数含分母，错误.
B、满足条件，正确.
C、被开方数含能开的尽方的因数或因式，错误.
D、被开方数含能开的尽方的因数或因——错误.
所以选：B.
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键.
2. 下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断A、D；根据三角形内角和定理可以判断B、C，从而得到答案．
【详解】解：A、，
，
是直角三角形，故A选项能判定为直角三角形，不符合题意；
B、，，
，
是直角三角形，故B选项能判定为直角三角形，不符合题意；
C、，，
，
是直角三角形，故C选项能判定为直角三角形，不符合题意；
D、，
，
以，，不能组成直角三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
3. 下列二次根式的运算：①；②；③；④；其中运算正确的是（ ）
A ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①②
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简；熟练掌握二次根式的化简与运算是解决问题的关键，由二次根式的性质与化简、运算得出①②正确，③④不正确，即可得出结论．
【详解】解：①正确，
②正确，
③不正确，
④不正确；
正确的为：①②；
故选：D．
4. 在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. 两组对边分别相等B. 一组对边平行且另一组对边相等
C. 两组对边分别平行D. 一组对边平行且相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意；
C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
5. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、二次根式的性质、整式的加减，先根据数轴的定义得出，再根据绝对值运算、二次根式的性质进行化简，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由题意得：，
则
．
故选：A．
6. 如图，钓鱼竿的长为m，露在水面上的鱼线长为m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为m，则的长为（ ）
A. mB. mC. mD. m
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理．
根据勾股定理进行计算即可得．
【详解】解∶ 在中，m，m，
根据勾股定理得， m
在中，m，m，
根据勾股定理得， m，
∴ m，
故选∶A．
7. 如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，解直角三角形求出，，再根据线段的和差求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
为中点，且交于点，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
8. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A. 菱形B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形D. 对角线相等的四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，
∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH=AC，EF=BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键．
9. 中，E是中点，平分，于点D，若，，则（ ）

A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于F，证明，得到，结合中位线定理，得到，代入计算即可．．
【详解】解：如图，延长交于F，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴
∴，
∵E是的中点，，
∴是的中位线，
∴．
∵，，
∴．
故选：B．
10. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长是（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线的性质，求的长．
【详解】解：如图，连接、，

正方形和正方形中，，，
，，
，
，
由勾股定理得，，
是的中点，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 如果与同时有意义，那么________．
【答案】0
【解析】
【分析】题目主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件列出不等式是解题关键．
【详解】解：∵与同时有意义，
∴，，
∴，
故答案为：0．
12. 若 ，且，，为的三边，则 的面积为_________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理；根据非负数的性质求得，进而根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴的面积为，
故答案为：．
13. 如图，把矩形沿翻折，点B恰好落在边的处，若，，则矩形的面积是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠问题、平行线的性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，灵活运用折叠的性质成为解题的关键．
由折叠可得，，根据平行线性质可得，，求出的长度，然后根据矩形的面积公式即可解答．
【详解】解：∵把矩形沿翻折，点B恰好落在边处，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴且，
∴且，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图所示，在中，于点分别是边的中点，连接，当满足条件______时，四边形是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可）
【答案】（或）
【解析】
【分析】解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．
可根据等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当满足条件AB=AC或时，四边形是菱形．
【详解】解：要使四边形是菱形，则应有，
∵，分别为，的中点
∴，，
∴，
∴应是等腰三角形，
∴应添加条件：或
则当△ABC满足条件或时，四边形AEDF是菱形．
故答案为：（或）．
15. 已知菱形的三个顶点的坐标分别为，则第四个顶点C的坐标是_________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据题意正确画出图形成为解题的关键．
分为对角线，为对角线，为对角线三种情况分别画出菱形，进而根据图形和菱形的性质即可解答．
【详解】解：如图:∵，
∴,
∴是等边三角形，
当为对角线时，点向右平移两个单位得到；
当为对角线时，点向左平移两个单位得到；
当为对角线时，点关于x轴的对称点．
故答案为：或或．

三、解答题（本大题共7个小题，满分55分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式性质化简，二次根式的混合运算，完全平方公式的运用，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算即可求解；
（2）运用完全平方公式展开，二次根式的除法运算计算，再根据二次根据的加减运算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：
（1）在图1中，画出一个平行四边形，使其面积为6；
（2）在图2中，画出一个菱形，使其面积为4；
（3）在图3中，画出一个矩形，使其邻边不等，且都是无理数．
【答案】画图见解析.
【解析】
【分析】本题考查了作图应用与设计作图，解此类题目首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
（1）根据平行四边形的面积公式，依题意在方格纸上画图即可，使底边和高的积为6即可．
（2）根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可得画出；
（3）作出长，宽的长方形即可求解．
【详解】解：（1）如图1，
（2）如图2，
（3）如图3，
18. 如图，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作交的延长线于F，交于，连接．
（1）求证：；
（2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析
（2）四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，平行线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
（1）由“”证得，即可得出结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵，是边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形．
19. 当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．
（1）若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值．
（2）当n是大于1的整数时，判断2n， 是否是勾股数，并说明理由．
【答案】（1）5 （2）是勾股数，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股数的定义，完全平方公式，算术平方根的求解，准确理解勾股数的定义，是解答本题的关键．
（1）根据勾股数的定义得到，结合都为正整数，求出最小b值即可；
（2）分别表示出2n， 的平方，得到即可做出判断．
【小问1详解】
解：a，b，c为勾股数，c为斜边长，
，
，
，
，，
都为正整数，
当时，，
最小的b值为5；
【小问2详解】
，，，
，
2n， 是勾股数．
20. （1）如图①，四个小矩形拼成一个大矩形，点P在线段上，试判断矩形与矩形面积的大小关系，并简单说明理由；
（2）如图②，矩形的顶点P在直角三角形的斜边上，若，利用第（1）小题的探究方法和结论，求矩形的面积．
（3）如图③，在中，P是斜边上一动点，作，交于点G，作，交于点F，若，求的最小值．

【答案】（1）矩形与矩形面积相等，理由见解析；（2）3750；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据题意的面积与的面积相等，与的面积相等，与的面积相等，然后结合图形即可解答．
（2）设根据长方形面积与（1）中得结论结合，求出的值即可解答．
（3）如图：连接,由题意可得：四边形是矩，则；根据垂线段最短可得当时，最小，即最小；然后运用勾股定理和等面积法即可解答．
【详解】解：（1）矩形与矩形面积相等，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴的面积与的面积相等，与的面积相等，与的面积相等，
∴剩下两个长方形的面积也相等，即矩形与矩形面积相等．
(2)如图：连接,
设，
则长方形的面积为，
由(1)中的结论可得，，解得：，即长方形的面积为3750．
（3）如图：连接,
由题意可得：四边形是矩形，
∴,
根据垂线段最短可得：当时，最小，即最小，
∵，
∴,
∴,即，解得：，
∴最小的最小值为．
21. 阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点P1（，），P2（，）其两点间的距离P1P2 = ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为| − |或| − |．
（1）已知 A (1，4)、B (-3，2)，试求 A、B两点间的距离；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为 D(-1，4)、E(-2，2)、F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗?说明理由：
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在 x轴上找一点 P，使得∆PDF是以DF为底的等腰三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）是直角三角形；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据题目中给出的两点间的距离P1P2 = ，代入求解即可；
（2）根据两点间距离公式分别求出DE，DF，EF的长度，即可判断此三角形的形状；
（3）设点P的坐标为(x，0)，根据两点间距离公式分别表示出PD和PF的长度，根据列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵两点间的距离P1P2 = ，A (1，4)、B (-3，2)，
∴；
（2）∵三角形各顶点坐标为 D(-1，4)、E(-2，2)、F(3，2)，
∴，
，
，
∵，，
∴，
∴是直角三角形；
（3）设点P的坐标为(x，0)，
∵∆PDF是以DF为底的等腰三角形，
∴，
∴，
即，
整理得：，
解得：．
∴点P的坐标为．
【点睛】此题考查了两点间距离公式的运用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用两点间距离公式．
22. 已知：如图①，四边形是正方形，点E在边上，点F在边上，且，连接，记交点为P．
（1）求证：；
（2）如图②，对角线与交于点O，分别与交于点，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接，若， ，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构造出全等三角形和以为对角线的正方形是解题的关键，也是本题的难点．
（1）根据正方形的性质可得，，由证明，得出结论即可；
（2）根据正方形的对角线互相垂直平分可得，，对角线平分一组对角可得，然后求出，由证明，即可得出；
（3）过点O作于M，作于N，根据全等三角形的性质可得：，再由证明，可得，然后证出四边形是正方形，求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据正方形的性质求出即可．
【小问1详解】
解： ∵四边形是正方形，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：过点O作于M，作于N，如图所示，
则，
∵，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
∵，
∴，
∵，
∴．
在中，，
∴正方形的边长为：
．