浙江省浙里特色联盟2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份浙江省浙里特色联盟2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，已知向量，满足，，，则，已知函数，则下列说法正确的是，已知复数，是的共轭复数，则，已知非零向量，以下命题正确的有等内容，欢迎下载使用。
高一年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合，集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．已知是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．设是三个不同平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若命题，有且，则命题为（ ）
A．且B．或
C．且D．或
5．已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为B．的图象关于直线对称
C．是的一个对称中心D．在区间上单调递增
7．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜．随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ）
（1） （2） （3）
A．没有水的部分始终呈棱柱形B．棱始终与水面所在平面平行
C．水面所在四边形的面积为定值D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值
8．已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数，是的共轭复数，则（ ）
A．B．的虚部是
C．在复平面内对应的点位于第二象限D．复数是方程的一个根
10．已知非零向量，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则与的夹角为锐角
D．已知，，，则
11．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）
A．记的中点为，上存在一点，使得面面
B．动点轨迹的长度为
C．三棱锥体积的最小值为
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，，则______．
13．已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为______．
14．如图所示，为了测量某座山的山顶到山脚某处的距离（垂直于水平面），研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶的仰角为，山脚的俯角为．若该研究员还测得到处的距离比到处的距离多，且，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知复数，为虚数单位．
（1）求；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值；
（3）若复数满足，求的最值．
16．（本小题满分15分）
在中，点在边上，，，，．
（1）求的模；
（2）求向量与夹角的余弦值；
（3）若点在边上，求的范围．
17．（本小题满分15分）
三棱柱的棱长都为2，和分别是和的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积．
18．（本小题满分17分）
在锐角三角形中，角的对边分别为，．
（1）求角的值；
（2）若，求的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知函数，，
（1）求的解析式；
（2）关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；
（3）关于的不等式的解集中的正整数解恰有3个，求实数的取值范围．
2023学年第二学期浙里特色联盟期中联考
高一年级数学学科参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．13．14．（m）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
（1）因为复数所以
（2）法一：因为复数是关于的方程的一个根，所以，
可得，即
所以，解得，
法二：若复数是关于的方程的一个根，则是该方程的另一个根。
根据韦达定理得，解得
（3）设，则，即
求的最值，
则，
16．（15分）
（1），，
（2），，
（3）设边的中点为，，
，
17．（15分）
（1）法一：在三棱柱中，，取中点，连接
和分别是和的中点，
，，，
又面，面，且面，面，
面，面，又，面，
面平面，而面，故直线平面．
法二：连接交于点，连接交于点，连接，如图，
在三棱柱中，，，
，
，则，又面，面，直线平面．
（2）如图，
直线平面，，又，
所以平行四边形边上的高，
由到面的高，
则
18．（17分）
（1）因为，
由正弦定理边化角得
所以，又，
所以又为锐角，则
（2）由正弦定理则，，
所以，
，
因为在锐角三角形中，得，所以，
则，所以的取值范围为
19．（17分）
（1）由题意，函数，，则，
所以函数的解析式
（2）由（1）和，可得，
即的解集为
设，则，即，
又由函数在为单调递增函数，
所以当时，函数的最小值为6，则，即实数的取值范围是．
（3）由（1）和，可得，
因为不等式的解集中正整数解恰好有3个所以当时，有
若，则该不等式在上恒成立，与题设矛盾．
故，所以，设不等式的解集为
又由函数的性质和条件可得，，所以
解得，即实数的取值范围是
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
B
B
D
A
C
A
9
10
11
AC
BD
ACD