河北省邢台市信都区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考试范围：6-8章
说明：1.本试卷共6页，满分120分．
2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效．
一、选择题（本大题共14个小题，共38分，1~10小题每小题3分，11~14小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图a、b是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线之间的距离，掌握从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等是解题的关键．
根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等即可得出答案．
【详解】解：表示这两条平行线间距离线段有无数条，
故选：D．
2. 若方程组是二元一次方程组，则“…………”不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程”是解题的关键．
利用二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【详解】选项A、B、D中方程和满足二元一次方程组，故选项A、B、D不符合题意；
而C选项中的方程中含未知数的项的最高次数是2，所以不是二元一次方程组，故C选项符合题意；
故选C．
3. 若，则运算符号“○”表示的是（ ）
A. ＋B. －C. ×D. ÷
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、单项式乘单项式、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据合并同类项、单项式乘单项式、单项式除以单项式的运算法则逐一判断即可．
【详解】A.，此选项不符合题意；
B.，此选项不符合题意；
C.，此选项不符合题意；
D.，此选项符合题意；
故选D．
4. 如图，若过点P画直线l的垂线，则垂线经过的点是（ ）

A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂线的定义可直接得出答案．
【详解】解：由垂线的定义可知，直线，
因此垂线经过的点是点C，
故选C．
【点睛】本题考查垂线，解题的关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足．
5. 利用完全平方公式计算，下列变形最恰当的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，选择最简单的计算方式是解题的关键．
选择最简单的计算方式即可．
【详解】解：，
故选：A．
6. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式乘多项式的法则进行计算即可求出结果．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的法则是解题的关键．
7. 和能作为反例说明“同位角相等”是假命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理，掌握举反例时，需要满足命题的条件，但不满足命题的结论是解题的关键．
举出反例说明，满足命题的条件，不满足命题的结论即可得出答案．
【详解】A.两直线不平行，同位角不相等，可以作为反例说明“同位角相等”是假命题，符合题意；
B.和不是同位角，不符合题意；
C.和不是同位角，不符合题意；
D.两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意；
故选A．
8. 用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A. x-2-x=4B. x-2-2x=4C. x-2+2x=4D. x-2+x=4
【答案】C
【解析】
【分析】将①代入②整理即可得出答案．
【详解】解：，
把①代入②得，x-2（1-x）=4，
去括号得，x-2+2x=4．
故选：C．
【点睛】本题考查了用代入法解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．
9. 如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．依据线段的性质以及垂线段的性质，即可得出结论．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是B选项．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
10. 观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（ ）
A. ，B. ，7C. 2，D. 2，7
【答案】A
【解析】
【分析】本题属于规律探索题，观察已知条件得出与的值是解题的关键．观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
由题意得，，，
，，
，或，，
a，b的值可能分别是，．
故选：A．
11. 若用科学记数法表示为，则的值是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法及负整数幂的逆运算，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．先将原数转化为幂的形式，再根据科学记数法的表示解答即可．
【详解】解：，
用科学记数法表示为，
，
，
故选：B．
12. 如图所示，是古城墙的一角，要测量墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量；甲、乙两名同学提供了间接测量方案：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C. Ⅰ、Ⅱ都可行D. Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查邻补角互补和对顶角相等，根据作图可得是平角，则与互补，可知方案Ⅰ可行；根据对顶角相等可知方案Ⅱ可行．
【详解】解：由作图可得是平角，
∴与互补，
∴，
∴方案Ⅰ可行；
由作图可得与是对顶角，
∴，
∴方案Ⅱ可行，
故选：C．
13. 用加减法解方程组下列解法正确的是（ ）
A. 消去 yB. 消去 y
C. 消去xD. 消去 x
【答案】A
【解析】
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组逐项判断即可解答．
【详解】解：A、① × 2 + ② × 3，能消去y，故A选项正确，符合题意；
B、，不能消去y，故B选项不正确，不符合题意；
C、，不能消去x，故C选项不正确，不符合题意；
D、，不能消去x，故D选项不正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法, 用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．
14. 小江去商店购买签字笔和笔记本（签字笔单价相同，笔记本的单价相同）、若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会差25元；若购买19支签字笔和16本笔记本，则他身上的钱会差15元，若小江购买17支签字笔和18本笔记本，则（ ）
A. 他身上的钱会不足5元B. 他身上的钱会剩下5元
C. 他身上的钱会不足10元D. 他身上的钱会剩下10元
【答案】B
【解析】
【分析】设签字笔的单价为元，笔记本的单价为元，根据小江身上的钱不变得出方程，整理得，由小江购买17支签字笔和18本笔记本的钱为，得出，代入计算即可．
【详解】解：设签字笔的单价为元，笔记本的单价为元，
根据题意得：，
整理得：，
小江购买17支签字笔和18本笔记本的钱为，
∴
，
即小江身上的钱会剩下5元；
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.15小题2分，16~17小题各4分，每空2分）
15. 已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，则k的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
方程组两方程相加表示出，根据与互为相反数得到，求出的值即可．
【详解】解：，
①②得：，
整理得：，
与互为相反数，
，即，
解得：，
故答案为：1．
16. 把一个边长为x的小正方形，每条边均增加3，得到一个大正方形．
（1）用x的代数式表示小正方形的面积为______；
（2）若大正方形的面积比小正方形的面积大39，则______．
【答案】 ①. ②. 5
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式，完全平方公式：
（1）根据正方形面积公式求解即可；
（2）根据题意可得大正方形的面积为，再由大正方形的面积比小正方形的面积大39，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）∵小正方形的边长为x，
∴小正方形的面积为，
故答案为：；
（2）由题意得，大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∵大正方形的面积比小正方形的面积大39，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 图2是某兴趣小组利用几何画版画出图1所示螳螂的简笔画，且，
过C作，则，其理由是____________；若，，则______．
【答案】 ①. 平行于同一条直线的两条直线平行 ②.
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质及平行公理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据平行公理即可得出理由，根据平行线的性质及平行公理即可得出答案．
【详解】，过C作，则，其理由是：平行于同一条直线的两条直线平行；
，，
，，
，，
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，．
三、解答题（本大题共七个小题，满分72分，解答题应写出必要的解题步骤或文字说明）
18. 仔细阅读下列计算过程：
（__________________）
（__________________）
（__________________）
（1）在横线上填写恰当的运算根据；
（2）请你写出与上面解法不同的解法．
【答案】（1）积的乘方，等于各因式乘方的积；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘定义及计算．
（1）利用积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘定义即可得到本题答案；
（2）也可先计算同底数幂相乘，再计算幂的乘方．
【小问1详解】
解：由题意得：
积的乘方，等于各因式乘方的积；
幂的乘方，底数不变，指数相乘；
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
【小问2详解】
解：．
19. 已知是二元一次方程的一个解．
（1）求m的值；
（2）用含x的代数式表示y．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了方程的解以及解方程
（1）根据二元一次方程组的定义代入计算，即可得出答案；
（2）根据解方程的方法用含x的代数式即可表示y．
【小问1详解】
由题意得，，
解得，．
【小问2详解】
由得，．
20. 生活现象
如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用衡量工具，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．

数学模型
如图2，是杆秤的示意图，，经测量发现，，请判断OE与BD的位置关系，并说明理由．

【答案】，理由见解析
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求得，即,再根据内错角相等、两直线平行即可解答．
【详解】解：，理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定等知识点，掌握两直线平行、同旁内角互补；内错角相等、两直线平行是解答本题的关键．
21. （1）如图，请画出将三角形沿直线方向平移得到三角形，使A点与B点，C点与E点，B点与D点分别为对应点．
（2）在（1）中，连接，若三角形的周长为11，四边形的周长为15，求平移的距离．
【答案】（1）；（2）平移的距离为2
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，及平移的性质
（1）先确定平移的方向和距离，再找出图形的关键点，然后按关键点平移方式平移其他点，最后连接对应点即可；
（2）先用线段表示出三角形的周长和四边形的周长，再根据平移的性质得出，，两式相减即可得出的值，即为所求．
【详解】（1）如图所示：
即为所求；
（2）三角形的周长为11，
四边形的周长为15，
三角形沿直线方向平移得到三角形，使A点与B点，
，
即平移的距离为2．
22. 某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植（3a﹣b）株豌豆幼苗，种植了（3a＋b）排，正方形实验田每排种植（a＋b）株豌豆幼苗，种植了（a＋b）排，其中a＞b＞0．
（1）正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？
（2）当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？
【答案】（1）（8a2－2ab－2b2）株
（2）270株
【解析】
【分析】（1）分别求出正方形实验田和长方形实验田种植豌豆幼苗的株数，列式让长方形实验田种植豌豆幼苗的株数减去正方形实验田种植豌豆幼苗的株数即可；
（2）先列式求出正方形实验田和长方形实验田种植豌豆幼苗的总株数，把a＝5，b＝2代入最简式子计算即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，（3a－b）（3a＋b）－（a＋b）2＝8a2－2ab－2b2，
答：正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗（8a2－2ab－2b2）株；
【小问2详解】
由题意可得，（3a－b）（3a＋b）＋（a＋b）2＝10a2＋2ab，
当a＝5，b＝2时，10a2＋2ab＝270，
答：该种植基地这两块实验田一共种植了270株豌豆幼苗．
【点睛】本题考查了整式的乘法的应用，乘法公式，解题的关键是弄清题意，列出式子，乘法公式的熟练计算．
23. 如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（千米·吨），铁路运费为1元/（千米·吨）．
（1）求该食品厂到A地、B地的距离中，铁路距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
【答案】（1）这家食品厂到A地的铁路距离是30千米，到B地的铁路距离是70千米
（2）该食品厂买进原料220吨，卖出食品200吨
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系式是解题的关键．
（1）设这家食品厂到A地的铁路距离是x公里，到B地的铁路距离是y公里，根据“食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍”及“铁路长”建立二元一次方程组求解即可得出答案；
（2）设该食品厂买进原料m吨，卖出食品n吨，根据两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元及铁路运费20600元，建立二元一次方程组求解即可得出答案．
【小问1详解】
解：设这家食品厂到A地的铁路距离是x公里，到B地的铁路距离是y公里，
根据题意，得：，
解得：，
答：这家食品厂到A地的铁路距离是30千米，到B地的铁路距离是70千米．
【小问2详解】
解：设该食品厂买进原料m吨，卖出食品n吨，
由题意得：，
解得：，
答：该食品厂买进原料220吨，卖出食品200吨．
24. 根据几何图形的面积关系可以说明数学等式，例如：，可以用图1的面积关系来说明，由此我们可以得到．
（1）根据图2的面积关系可得： ．
（2）有若干张如图3的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形．并用这些纸片无缝隙无重叠的拼成了图4，图5，图6的图形，图4，图5，图6中的阴影部分面积分别记为，，．
① ， ， （用含a，b的代数式表示）；
②若，，求图6中大正方形的面积．
【答案】（1）
（2）①，，；②81
【解析】
【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，多项式的乘法运算与图形面积，掌握等面积法是解本题的关键．
（1）由图2的面积可得答案；
（2）①图4中阴影部分是长方形，长为，宽为，可得，图5是一个长方形，长为，宽为，可得，图6是一个正方形，边长为，如下图所示：设，则，可得，可得，②由，可得，求解，从而可得答案．
【小问1详解】
解：图2是由两个边长为b的正方形，两个边长为a的正方形和5个长为a，宽为b的长方形组成，
代数式相当于整个图2的面积减去两个边长为b的正方形的面积与两个边长为a的正方形的面积之和，
因此；
【小问2详解】
①图4中阴影部分长方形，长为，宽为，
因此，
图5是一个长方形，长为，宽为，
∴；
图6是一个正方形，边长为，如下图所示：
设，则，
∴，
∴，
∴，
②∵，
∴，，
由，得：，
将代入，得：，
∴图6中大正方形的面积为：．
方案Ⅰ
①延长到C；
②测得的度数；
③再利用的度数可得的度数．
方案Ⅱ
①延长到C、到D，
②测得的度数，
③根据即可得到的度数．