江苏省泰州市姜堰区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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请注意：1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2. 下列代数式中，其中是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查分式的定义，掌握其定义是解决此题的关键．判断分式的主要依据是看分母中是否含有字母； 如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此判断，即可解题．
【详解】解：A、不是分式，不符合题意；
B、不是分式，不符合题意；
C、是分式，符合题意；
D、不是分式，不符合题意；
故选：C．
3. 下列调查中，适合采用普查的是（ ）
A. 调查某品牌打印机的使用寿命B. 调查某书稿中的科学性错误
C. 调查中国公民垃圾分类的意识D. 调查夏季冷饮市场上冰淇淋的质量
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A、调查某品牌打印机的使用寿命，应采用抽样调查，本选项不符合题意；
B、查某书稿中的科学性错误，事关重大，应采用普查，本选项符合题意；
C、调查中国公民垃圾分类的意识，应采用抽样调查，本选项不符合题意；
D、调查夏季冷饮市场上冰淇淋的质量，应采用抽样调查，本选项不符合题意；
故选：B．
4. 下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A. 矩形的对角线相等B. 矩形的对角线平分一组对角
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直的四边形是矩形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定与性质．根据矩形的性质得到：矩形的对角线相等且互相平分，根据矩形的判定：对角线相等且互相平分且相等的四边形是矩形，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、矩形的对角线相等，说法正确，本选项符合题意；
B、矩形的对角线不一定平分一组对角，原说法错误，本选项不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，本选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，原说法错误，本选项不符合题意；
故选：A．
5. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据分式方程的解求参数，利用解分式方程的步骤和方法表示出，根据分式方程的解为负数，建立不等式求解，再根据分式方程有解，即无增根，得到，综合考虑，即可得到m的可能取值．
【详解】解：，
，
，
，
关于x的分式方程的解为负数，
，
解得，
，解得，
即，
解得，
综上所述，m的值可能是，
故选：C．
6. 如图，在中，，．将沿折叠，使点A落在边的中点D处，点G、H、I分别为的中点，连接与相交于点M，与相交于点N，则四边形的面积为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先证明，得出四边形是菱形，通过角和边的换算，得出点和点分别是的中点，得证点是的中点，点是的中点，根据等底同高得出，再结合菱形面积等于对角线乘积的一半，即可作答．
详解】解：如图：连接
∵，．
∴是等腰直角三角形
则
∵将沿折叠，使点A落在边的中点D处
∴
∴
∴
∴
∵
∴
则，
∵I为的中点
∴三点共线
∵点G、H分别为的中点，点D在边的中点处
∴分别是的中位线
∴
∴
∴四边形是平行四边形
同理得
∴四边形是菱形
则连接，分别交于点，连接
∵折叠
∴
∴
∵
∴都是等腰直角三角形
∴
∴点和点分别是的中点
则
则
则
∵点G、H、I分别为的中点
∴
则
则是平行四边形
则点是的中点
同理得点是的中点
则
∴四边形的面积为菱形的面积一半
∵，．
∴
则，
则，
∴菱形的面积，
∴四边形的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，中位线，等腰直角三角形的性质，折叠性质，勾股定理等内容，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 今天的日期是：20240425，在这串数字中，0出现的频率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了频率的计算，掌根频率的计算方法成为解题的关键．
据日期“20240425”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，然后运用概率公式计算即可．
【详解】解：日期“20240425”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，数字“2”出现的频率是．
故答案为：．
8. 要使分式有意义，则应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，直接列式求解即可得到答案．
【详解】解：分式有意义，
，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件：分母不为零，掌握不等式解集的求法是解决问题的关键．
9. 为了解某市八年级学生的身高情况，从该市5200名八年级学生中随机抽取1500名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是______．
【答案】1500
【解析】
【分析】本题主要考查了样本容量的定义，注意样本容量不带单位．根据样本容量的定义进行解答即可．
【详解】解：在该市5200名八年级学生中随机抽取1500名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是1500．
故答案为：1500．
10. 如图，A、B两处被池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，，分别取，的中点，．测得，则A、B两地的距离为______m．
【答案】72
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理，计算即可．
【详解】解：∵点，分别为，的中点，
∴是的中位线
∵，
∴，
故答案为：72．
11. 已知，且，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值、分式的加减运算等知识点，正确对代数式进行变形成为解题的关键．
由可得，然后整体代入即可解答．
【详解】解：由可得，即，
所以．
故答案为：1．
12. 如果一个四边形的两条对角线长均为，那么依次连接它的各边中点得到的图形的周长为______．
【答案】36
【解析】
【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
如图：根据三角形中位线定理分别求出四边形的各边长，然后再求和即可．
【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是边的中点，
∴，
∴四边形的周长．
故答案为：36．
13. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．
【详解】解：根据题意得，，
故答案为：
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
14. 如图，将放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，边与x轴重合，边与y轴正半轴相交于点D．若，，且，则点C的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质．利用平行四边形的性质求得，利用勾股定理，，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，且边与x轴重合，
∴轴，即，
∵，
设，，
∵，
∴，即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
故答案为：．
15. 将含盐率为的盐水m克调配成含盐率为的盐水，需加盐______克（用含m的代数式表示）．
【答案】####
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题．设需要加盐x克，则加盐后盐水中有盐克或克，从而可得方程，求解即可．
【详解】解：设需要加盐x克，根据题意，得
，
解得，
∴需加盐克．
故答案为：
16. 如图，在矩形中，点E、F分别为、上的两个动点，连接，以为边作，对角线、相交于点O，连接．若，则周长的最小值是______．
【答案】20
【解析】
【分析】过点E关于的对称点，连接，得到，然后得到周长，当点，F，G三点共线时，周长最小，即的值，然后证明出是的中位线，得到，，进而求解即可．
【详解】如图所示，过点E关于的对称点，连接，
∵四边形是矩形
∴
∴
∴周长
∴当点，F，G三点共线时，周长最小，即的值，
∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴是的中位线
∴
∴
∴周长的最小值是20．
故答案为：20．
【点睛】此题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线的性质，轴对称性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查分式的化简与解分式方程，熟练掌握分式的混合运算法则，以及将分式方程转化成整式方程求解是解题的关键．
（1）根据运算的先后顺序和分式的混合运算法则进行计算即可；
（2）先去分母，转化成整式方程求解，再检验根即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
经检验，是该分式方程的解．
18. 先化简，然后再从、0、1、2四个数中，选择一个合适的数作为a的值代入求值．
下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②；③ （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．
（1）根据题意直接得到答案即可；
（2）选择甲同学，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值．
选择乙同学，利用乘法分配律去括号，约分化简得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值．
【小问1详解】
解：甲同学解法的依据是②分式的基本性质；乙同学解法的依据是③乘法分配律；
故答案为：②；③；
【小问2详解】
解：选择甲同学，
原式
；
∵，，
∴取，原式；
选择乙同学，
原式
；
∵，，
∴取，原式．
19. 已知的三个顶点的坐标分别为、、，将绕坐标原点O顺时针旋转，得到．
（1）画出对应的图形，并直接写出点A的对应点D的坐标；
（2）若以D、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出第一象限内点G的坐标．
【答案】（1）图见解析，点D的坐标为；
（2）点G的坐标为．
【解析】
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的对边平行且相等的性质．
（1）先找到A、B、C对应点D、E、F的位置，然后顺次连接D、E、F即可画出，再根据坐标系中点的位置写出点D的坐标即可；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等，写出第一象限内点G的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
∴点D的坐标为；
【小问2详解】
解：如图所示，四边形为平行四边形，点G的坐标为．
20. 在第29个“爱眼日”来临之际，某校数学兴趣小组通过调查统计，形成了如下报告（不完整）．
结合调查报告，回答下列问题：
（1）______，______；
（2）已知该校八年级有800名学生，估计该校八年级视力正常（4.7及以上为正常视力）的人数有多少？
（3）该统计结果引起了同学们的重视，学校提出了“爱护眼睛，守护光明”的倡议，请你结合自身提出两条爱眼护眼的合理化建议．
【答案】（1）8；0.1
（2）该校七年级视力正常（4.7及以上为正常视力）的人数约有520名；
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）利用“频率=频数÷总数”求出总数，进而得出a、b的值，再补全频数分布直方图即可；
（2）根据题意列式计算即可；
（3）根据爱护眼睛的意义解答即可．
【小问1详解】
解：样本容量：，
∴，
故答案为：8；0.1；
【小问2详解】
解：（名），
答：该校七年级视力正常（4.7及以上为正常视力）的人数约有520名；
【小问3详解】
解：①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；
②保证充足的睡眠，饮食均衡．
21. 如图，在中，，D是上一动点，于点E，于点F．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接EF，若，，求的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识点，掌握矩形的判定与性质成为解题的关键．
（1）说明即可证明结论；
（2）如图：连接，由矩形的性质可得，求得的最小值即可；然后根据垂线段最短和等面积法即可解答．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵,
∴，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
解：如图：连接，过A作
∵四边形是矩形，
∴
∴当最小时，最小，
由垂线段最短可得：当时，最小时；即与重合时，的最小值为，
∵，，，
∴，
∵,
∴，解得：，
∴的最小值．
22. 为改善生态环境，防止水土流失．某村计划在荒坡上种树480棵，由于志愿者支援，实际每小时种树的棵数是原计划的倍，结果提前2小时完成任务，原计划每小时种树多少棵？
【答案】原计划小时种树60棵．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．设原计划每小时种树x棵，则实际每小时种树为棵，根据实际比原计划提前2小时完成任务，列方程求解．
【详解】解：设原计划每小时种树x棵，则实际每小时种树为棵，
由题意得，，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原计划小时种树60棵．
23. 如图，在四边形中，，，E为的中点．

（1）用圆规和无刻度的直尺在上求作一点F，使四边形为菱形（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）24
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，尺规作图——作一条线段等于已知线段．
（1）以A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，则点F为所求．由，E为BC的中点可得，当时，又可得四边形是平行四边形，又，则平行四边形是菱形；
（2）连接，由E为的中点，得到，从而，，证得四边形是平行四边形，得到，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解答．
【小问1详解】
解：如图，点F为所求．
【小问2详解】
解：连接

∵E为的中点，
∴，
∵在菱形中，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
24. 阅读与思考：下面是小姜同学写的一篇数学学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务：
任务：
（1）完成笔记中的“我是这样思考的”；
（2）回答笔记中反思1的问题，并证明；
（3）回答笔记中反思2的问题，在图3中画图并简要说明．
【答案】（1）与相等，理由见解析
（2），理由见解析
（3）当时，那么与不一定垂直．
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
（1）利用证明，即可证明；
（2）作，，证明，，利用（1）的结论即可证明；
（3）以点为圆心，为半径作圆，与边交于点，得到，但与不垂直，得到当时，那么与不一定垂直．
【小问1详解】
解：与相等，理由如下，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下，
如图，作，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形和都是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
由（1）得，
∴；
【小问3详解】
解：与不一定垂直，
如图，，则，
以点为圆心，为半径作圆，与边交于点，
此时，，但与不垂直，
故当时，那么与不一定垂直．
25. 定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2．
（1）已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”．
（2）已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求的值；
（3）已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值．
【答案】（1）不是的“差常分式”；
（2）
（3）所有符合条件的的值为0，2，4，6．
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键．
（1）根据新定义进行判断；
（2）根据新定义，列出方程求解；
（3）根据新定义列出方程，再根据整除的意义求解．
【小问1详解】
解：不是的“差常分式”；
理由：，
不是的“差常分式”；
【小问2详解】
解：由题意得：，
，
，
，
解得：，，
；
【小问3详解】
解：由题意得：，
，
，
为整数，为整数，
的值为：或，
的值为：0，2，4，6，
所以所有符合条件的的值为0，2，4，6．
26. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接，以为边作正方形（A，C，D，E顺时针排列），探究以下问题：
（1）①当时，点D的坐标为______；
②用含m的代数式表示点D的坐标为______；
（2）连接，的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由；
（3）平面内是否存在点F，使得以B、D、E、F为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②
（2）的面积是定值，且定值为
（3）当或或或时，存在点F，使得以B、D、E、F为顶点的四边形是菱形
【解析】
分析】（1）①如图：过C作轴，过作轴，轴，即再证可得，然后根据坐标与图形即可解答；②先证可得，然后根据坐标与图形即可解答；
（2）先根据（1）的方法求得点E的坐标，然后根据点E的坐标即可解答；
（3）由（1）（2）可得B、D、E三点的坐标，然后分、、三种情况，分别根据勾股定理和邻边相等列方程求解即可．
【小问1详解】
解：①如图：过C作轴，过作轴，轴，即
当时，点C的坐标为，即，则，
∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴D点的横坐标为，纵坐标为，即．
②∵点C的坐标为，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∴，
同①可得，
∴，
∴D点的横坐标为，纵坐标为，即．
【小问2详解】
解：的面积是定值，且定值为
如图：过E作，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴E点的横坐标为，纵坐标为，即，
∴的面积为．
【小问3详解】
解：如图：∵点B的坐标为，，，
∴①当为菱形对角线时，有，即，解得：或；
②当为菱形对角线时，有，即，解得：；
③当菱形对角线时，有，即，解得：；
综上，当或或或时，存在点F，使得以B、D、E、F为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．甲同学
解：原式
乙同学
解：原式
调查目的
1.了解本校八年级学生的视力健康水平
2.给同学提出更合理地使用眼睛保护视力的建议
调查方式
随机抽样调查
调查对象
部分八年级学生
调查内容
部分八年级学生的视力
调查结果
部分学生视力情况频数分布表
视力
频数
频率
6
0.15
a
0.2
22
0.55
4
b
合计
…
…
部分学生视力情况频数分布直方图
建议
…
正方形中相等的线段
如图1，在正方形中，如果点E、F分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你结论．
对于上面的问题，我是这样思考的：
（1）：______．
反思1：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，那么这两条线段是否仍然相等呢？
对此可以做进一步探究：
如图2，在正方形中，如果点E、F、G、H分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论．
（2）：______．
反思2：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段相等，那么这两条线段是否一定垂直呢？
对此可以画图说明：
如图3，在正方形中，如果点E、F、G、H分别在上，且，那么与垂直吗？证明你的结论．
（3）：______．