【专项复习】高考数学 专题12 椭圆 (名校模拟汇编).zip

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2023真题展现
考向一 椭圆的性质
考向二 直线与椭圆相交问题
真题考查解读
近年真题对比
考向一 椭圆的性质
考向二 直线与椭圆相交问题
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 椭圆的性质
1．（2023•新高考Ⅰ•第5题）设椭圆C1：x2a2+y2＝1（a＞1），C2：x24+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2=3e1，则a＝（ ）
A．233B．2C．3D．6
考向二 直线与椭圆相交问题
2．（2023•新高考Ⅱ•第5题）已知椭圆C：x23+y2=1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（ ）
A．23B．23C．−23D．−23
【命题意图】
考查椭圆的定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．
【考查要点】
椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容，以小题形式出现，常规题，难度中等．
【得分要点】
一、椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题
(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．
①若，M的轨迹为线段；
②若，M的轨迹无图形
二、椭圆的方程及简单几何性质
三、椭圆的焦点三角形
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
以椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径）
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(5)在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大.
四、点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
五、直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
六、直线与椭圆相交的弦长公式
1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2．求弦长的方法
(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
(2)根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2).
注：（1）已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，
两式相减得：，
即 ，故
（2）弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：
考向一 椭圆的性质
3．（2021•新高考Ⅰ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
4．（2022•新高考Ⅱ）已知直线l与椭圆+＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为 ．
考向二 直线与椭圆相交问题
5．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 ．
根据近几年考查形式推测以小题形式出现，常规题，难度中等．椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容。
一．椭圆的标准方程（共2小题）
1．（2023•宜宾模拟）“1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023•江西模拟）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，请写出一个符合上述条件的椭圆的标准方程 ．
二．椭圆的性质（共43小题）
3．（2023•全国模拟）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A为上顶点，若△AF1F2的面积为，则△AF1F2的周长为（ ）
A．8B．7C．6D．5
4．（2023•武昌区校级模拟）设F1，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，点P为椭圆上异于A点的任意一点，则使得成立的点P的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2023•白山二模）已知椭圆C：+＝1的离心率为，则C的长轴长为（ ）
A．8B．4C．2D．4
6．（2023•甘肃模拟）已知椭圆的方程为（m＞0，n＞0），离心率，则下列选项中不满足条件的为（ ）
A．B．+＝1
C．D．x2+4y2＝1
7．（2023•射洪市校级模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023•桐城市校级二模）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：的蒙日圆为C：x2+y2＝3b2，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023•甘肃模拟）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若四边形AF1BF2为矩形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023•招远市模拟）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023•淄博三模）已知椭圆C：（a＞b＞0），F为其左焦点，直线y＝kx（k＞0）与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB．若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023•未央区模拟）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为C上一点，若MF1的中点为（0，1），且△MF1F2的周长为8+4，则C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023•淄博二模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若从椭圆右焦点F2发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，且cs∠ABC＝，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023•江西模拟）某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，F1，F2分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点F2的一条弦，且△PQF1的周长为3|F1F2|．若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为（ ）
A．米B．米C．米D．米
15．（2023•锦江区校级模拟）19世纪法国著名数学家加斯帕尔⋅蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为x2+y2＝a2+b2．若圆（x﹣3）2+（y﹣m）2＝9与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m的值为（ ）
A．±3B．±4C．±5D．
16．（2023•青羊区校级模拟）如图，A，B是椭圆的左、右顶点，P是⊙O：x2+y2＝a2上不同于A，B的动点，线段PA与椭圆C交于点Q，若tan∠PBA＝3tan∠QBA，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023•思明区校级模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上且位于第一象限，满足，∠AF1F2的平分线与AF2相交于点B，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023•源汇区校级模拟）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为21π，点P在椭圆C上，且点P与椭圆C左、右顶点连线的斜率之积为，记椭圆C的两个焦点分别为F1，F2，则|PF1|的值不可能为（ ）
A．4B．7C．10D．14
19．（2023•安居区校级模拟）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）上有一异于顶点的点P，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，且两直线PA，PB的斜率的乘积为﹣，则椭圆C的离心率e为（ ）
A．B．C．D．
20．（2023•龙华区校级模拟）已知F1、F2是椭圆E：的左、右焦点，点P（x0，y0）为E上一动点，且|x0|≤1，若I为△PF1F2的内心，则△IF1F2面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
21．（2023•江西模拟）已知椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于长轴端点的动点，G，I分别为△PF1F2的重心和内心，则＝（ ）
A．B．C．D．2
22．（2023•浙江二模）已知F是椭圆的左焦点，点M在C上，N在⊙P：x2+（y﹣3）2＝2x上，则|MF|﹣|MN|的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
23．（2023•全国模拟）已知F是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的右焦点，A为E的右顶点，B（0，2b），若直线AB与E交于点C，且CF⊥AF，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
24．（2023•湖北模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与E交于点A，B．直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，F1，A，M三点共线．若|AB|＝a，，则＝（ ）
A．B．C．D．
25．（2023•五华区校级模拟）如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球O1，O2，使得它们分别与圆锥的侧面和平面α都相切，平面α分别与球O1，O2相切于点E，F．数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，E，F为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球．若球O1，O2的半径分别为6和3，球心距离O1O2＝11，则此椭圆的长轴长为 ．
26．（2023•甘肃模拟）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若四边形为矩形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
27．（2023•涪城区校级模拟）设F1、F2椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，使得离心率，则e取值范围为（ ）
A．（0，1）B．C．D．
28．（2023•凉山州模拟）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上任意一点，且的取值范围为[2，3]．当点M不在x轴上时，设△MF1F2的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
29．（2023•广西模拟）在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2的距离的和等于4，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为（ ）
A．B．C．D．
30．（2023•郑州模拟）设F1，F2为椭圆的左、右焦点，点A为椭圆的上顶点，点B在椭圆上且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
31．（2023•河南模拟）若椭圆上存在一点D，使得函数图象上任意一点关于点D的对称点仍在f（x）的图象上，且椭圆C的长轴长大于2，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
32．（2023•贵阳模拟）已知椭圆，直线与椭圆交于A，B两点，F1，F2分别为椭圆的左、右两个焦点，直线AF2与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（ ）
A．B．C．D．
33．（2023•桐城市校级一模）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为4和1，球心距|O1O2|＝6，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
34．（2023•贵州模拟）已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆C短轴的一个端点，且∠F1PF2＝90°，则椭圆C的长轴长是（ ）
A．B．4C．D．8
35．（2023•淄博一模）直线x﹣2y+2＝0经过椭圆的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于M点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
36．（2023•潮阳区模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c．在椭圆上存在点P使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
37．（2023•青羊区校级模拟）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．成都某校体育馆钢结构与“鸟巢”类似，平面图如图2，内外椭圆离心率皆为，由外层椭圆长轴一个端点A和短轴上一个端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，记斜率分别为k1，k2，则+的最小值为​（ ）
A．B．C．D．
38．（2023•湖南模拟）已知：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积之比为k（常数），那么这两个几何体的体积之比也为k，则椭圆C：+＝1（a＞b＞0）绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为（ ）
A．bB．C．D．
39．（2023•浉河区校级三模）已知椭圆＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是（ ）
A．B．C．2D．2
40．（2023•船营区校级模拟）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（，0）B．（0，）C．（0，）D．（，1）
41．（2023•宛城区校级三模）已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
42．（2023•德州三模）若直线y＝kx+m（k≠0）与圆相切于点P，且交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，射线OP与椭圆M交于点Q，设△OAB的面积与△QAB的面积分别为S1，S2，S1的最大值为 ；当S1取得最大值时，的值为 ．
43．（多选）（2023•菏泽二模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C．F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l的方程为，M为椭圆C的蒙日圆上一动点，MA，MB分别与椭圆相切于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2＝3
B．记点A到直线l的距离为d，则d﹣|AF2|的最小值为
C．一矩形四条边与椭圆C相切，则此矩形面积最大值为6
D．△AOB的面积的最小值为，最大值为
44．（多选）（2023•3月份模拟）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆上两个不同点，且满足x1x2+9y1y2＝﹣2，则下列说法正确的是（ ）
A．|2x1+3y1﹣3|+|2x2+3y2﹣3|的最大值为
B．|2x1+3y1﹣3|+|2x2+3y2﹣3|的最小值为
C．|x1﹣3y1+5|+|x2﹣3y2+5|的最大值为
D．|x1﹣3y1+5|+|x2﹣3y2+5|的最小值为
45．（多选）（2023•浙江模拟）已知椭圆，其右焦点为F，以F为端点作n条射线交椭圆于A1，A2，…，An，且每两条相邻射线的夹角相等，则（ ）
A．当n＝3时，
B．当n＝3时，△A1A2A3的面积的最小值为
C．当n＝4时，|A1F|+|A2F|+|A3F|+|A4F|＝8
D．当n＝4时，过A1、A2、A3、A4作椭圆的切线l1、l2、l3、l4，且l1、l3交于点P，l2、l4交于点Q，则PF、QF的斜率乘积为定值﹣1
三．直线与椭圆的综合（共15小题）
46．（2023•常德模拟）已知椭圆E，直线与椭圆E相切，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
47．（2023•涟源市模拟）已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为 ．
48．（多选）（2023•南关区校级模拟）F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的内切圆半径的r值可以为（ ）
A．B．C．D．
49．（2023•辽宁模拟）已知为椭圆上不同的三点，直线l：x＝2，直线PA交l于点M，直线PB交l于点N，若S△PAB＝S△PMN，则x0＝（ ）
A．0B．C．D．
50．（2023•广西模拟）A，B是椭圆上两点，线段AB的中点在直线上，则直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
51．（2023•临沂二模）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A．若存在直线l与椭圆交于不同的两点B，C，△ABC的重心为F，则l的斜率的取值范围是（ ）
A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣1，0）D．[﹣2，0）
52．（2023•沈阳模拟）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则|OM|的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
53．（2023•鞍山模拟）已知A，B，C是椭圆上的三个点，O为坐标原点，A，B两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若|OA|＝|OF|且|AF|＝2|CF|，则该椭圆的离心率是 ．
54．（2023•镇海区校级模拟）已知椭圆，F1、F2分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得PD平分∠F1PF2．过点D作PF1、PF2的垂线，垂足分别为A、B．则的最大值 ．
55．（2023•郑州模拟）直线l：x+y﹣1＝0与椭圆C：＝1交于A，B两点，长轴的右顶点为点P，则△ABP的面积为 ．
56．（多选）（2023•万州区校级模拟）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则（ ）
A．椭圆C的离心率的取值范围是
B．当椭圆C的离心率为时，|QF1|的取值范围是
C．存在点Q使得
D．的最小值为2
57．（多选）（2023•晋中模拟）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C交于M，N两点，∠F1MF2的角平分线与x轴相交于点E，与y轴相交于点G（0，m），则（ ）
A．四边形MF1NF2的周长为8
B．的最小值为9
C．直线BM，BN的斜率之积为
D．当时，|F1E|：|F2E|＝2：1
58．（多选）（2023•邵阳一模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔•蒙日（1746﹣1818）最先发现．已知长方形R的四条边均与椭圆C：＝1相切，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2＝6
C．椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2＝9
D．长方形R的面积的最大值为18
59．（2023•梅河口市校级一模）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1且斜率为的直线与C交于D，E两点，四边形ADF2E的面积为，则四边形ADF2E的周长是 ．
60．（多选）（2023•济南一模）在平面直角坐标系xOy中，由直线x＝﹣4上任一点P向椭圆作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（ ）
A．∠APB恒为锐角
B．当AB垂直于x轴时，直线AP的斜率为
C．|AP|的最小值为4
D．存在点P，使得（+）•＝0
椭圆常用结论：
(1)如图1：①焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝2a＋2c、面积S△F1AF2＝b2·tan eq \f(θ,2)；
②△ABF2的周长为：C△ABF2＝4a；③通径：|AC|＝eq \f(2b2,a) (椭圆、双曲线通用)；
图1
(2)如图2：点P是椭圆上一动点，则有：①动点角范围：0≤∠A1PA2≤∠A1BA2；
②焦半径范围：a－c≤|PF1|≤a＋c (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)；
③|PO|范围：b≤|PO|≤a(长、短轴顶点到原点最远、最近； ④斜率：kPA1·kPA2＝－eq \f(b2,a2).
(3) 点P(x0，y0)和椭圆的关系：
①点P在椭圆内⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1.②点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1.③点P在椭圆外⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
(4)椭圆扁平程度：因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
图2焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长＝eq \a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq \a\vs4\al(2b)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)(0