【专项复习】高考数学专题03 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题（含定值、最值、范围问题）（题型训练）.zip

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(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、弦长公式

（最常用公式，使用频率最高）

2、三角形面积问题
直线方程：
3、焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为

注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数
4、平行四边形的面积
直线为，直线为
注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
5、范围问题
首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式
变式：
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）（注意分三种情况讨论）
（2）
当且仅当时，等号成立
（3）
当且仅当时等号成立.
（4）
当且仅当时，等号成立
(5)
当且仅当时等号成立.
二、典型题型
题型一：三角形面积（定值问题）
1．（2024上·江西新余·高二统考期末）如图，椭圆和圆，已知椭圆C的离心率为，直线与圆O相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的上顶点为B，EF是圆O的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P、Q，求的面积的最大值．
2．（2024上·浙江宁波·高二统考期末）已知椭圆离心率等于，长轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探究的面积是否为定值，并说明理由.
3．（2024上·四川宜宾·高二统考期末）已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为
(1)证明：为定值:
(2)若，求的面积．
题型二：四边形面积（定值问题）
1．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线过定点；
(3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．
2．（2024上·天津河北·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积.
3．（2023上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，，若上任意一点到两焦点的距离之和为，且点在上.
(1)求椭圆的方程；
(2)在（1）的条件下，若点，在上，且(为坐标原点)，分别延长，交于，两点，则四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积，若不为定值，请说明理由.
题型三：三角形面积（最值，范围问题）
1．（2024上·江西吉安·高二江西省峡江中学校考期末）已知抛物线C：的焦点F在x轴正半轴上，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点．已知当l的斜率为2时，．
(1)求抛物线C的解析式；
(2)试判断直线是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)设G为直线与直线的交点，求面积的最小值．
2．（2024上·江西新余·高二统考期末）如图，椭圆和圆，已知椭圆C的离心率为，直线与圆O相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的上顶点为B，EF是圆O的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P、Q，求的面积的最大值．
3．（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）已知，圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过作一条不平行于坐标轴的直线交曲线于两点，过点作轴的垂线交于点，求面积的最大值．
4．（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知椭圆的两焦点，且椭圆过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的取值范围
题型四：四边形面积（最值，范围问题）
1．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线过定点；
(3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．
2．（2024上·湖南娄底·高三统考期末）已知椭圆的右焦点为，离心率，椭圆上一动点到的距离的最小值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设斜率为的直线过点，交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点，直线交椭圆于两点，求的大小，并求四边形面积的最小值.
3．（2024上·山西大同·高二统考期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值．
4．（2024上·贵州铜仁·高二统考期末）已知椭圆的焦点坐标，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于，两点，且，关于原点的对称点分别为，，若是一个与无关的常数，求此时的常数及四边形面积的最大值.
三、专项训练
1．（2024上·天津河北·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积.
2．（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知椭圆（）的离心率为，左､右焦点分别为，.过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且，垂足为，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形的面积的最小值.
3．（2024上·重庆九龙坡·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，焦距为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点，且．求的面积．
4．（2024上·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，点均在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；
(2)过原点且经过第一、三象限的直线与椭圆交于两点，点为椭圆右顶点，点为椭圆上顶点，求四边形面积的最大值．
5．（2024上·天津宁河·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，右焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于A，B两点，求的面积.
6．（2024上·辽宁葫芦岛·高二统考期末）在以下三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并作答.条件①：直线的法向量为；条件②：与直线平行；条件③：与直线垂直.
已知直线经过且___________.
(1)求直线方程；
(2)若点是直线上的动点，过点做的两条切线，切点分别为，两点，求四边形的面积的最小值.
7．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知抛物线的焦点为F，M为抛物线上一点，且在第一象限内.过作抛物线的两条切线，，A，B是切点；射线交抛物线于.
(1)求直线的方程（用M点横坐标表示）；
(2)求四边形面积的最小值.
8．（2024上·上海·高二上海市吴淞中学校考期末）如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于、两点，与轴交于点.
(1)求以为圆心，短轴长为半径的圆的标准方程；
(2)判断直线与斜率之和是否为常数，若成立，求出常数值；否则说明理由；
(3)求面积的最大值.
9．（2024上·甘肃兰州·高二校考期末）在平面直角坐标系中，圆与圆内切，且与圆外切，记动圆M的圆心的轨迹记为曲线C．直线与曲线C相交于P，Q两点．
(1)求曲线C的方程；
(2)若是一个与m无关的定值，求此时k的值及△OPQ的面积的最大值．
10．（2024上·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆过点，直线与椭圆相交于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若不过原点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(3)若，求面积的取值范围．