【专题复习】高考数学 专题13 导数的运算法则在抽象函数中的应用.zip

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导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质求解.
二、解题秘籍
(一) 抽象函数的奇偶性及应用
若可导函数是偶（奇）函数，则是奇（偶）函数.
【例1】已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，记，也是偶函数，求的值.
【解析】因为是偶函数，所以是奇函数，即，
所以，所以，令可得，即，
因为为偶函数，所以，即，
所以，即，得，
所以4是函数的一个周期，所以．
(二)和差型抽象函数的应用
解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所构造的函数的单调性求解．如给出式子,可构造函数，给出式子,可构造函数 ，一般地，若给出通常构造函数.
【例2】已知的导函数满足且，求不等式的解集．
【解析】令，则，∴在上为单调递增．
又∵，∴，则可转化为，
根据单调性可知不等式的解集为．
(三)积型抽象函数的应用
若给出形如的式子通常构造函数 ，如给出可构造函数，如给出，可构造函数，如给出，可构造函数.
【例3】设是定义在上的非负可导函数，且满足，当时，证明:.
【解析】是定义在上的非负可导函数，且满足，
故不为常数函数，且，构造函数，
则，在上单调递减，
又，且，故，则①，
又，所以②，
①②两式相乘得，即.
【例4】设定义在上的函数的导函数为，若，，求不等式（其中e为自然对数的底数）的解集
【解析】设，则,
∵，∴,
而,故,
∴在R上单调递增，
又，故，
∴的解集为，
即不等式的解集为.
【例5】定义在上的函数，其导函数是，且恒有成立，比较
与的大小.
【解析】因为，所以，．
由，得．
即．
令，，则．
所以函数在上为增函数，
则，即，所以，即．
(四)商型抽象函数的应用
若给出形如的式子通常构造函数 ，如给出可构造函数，给出，可构造函数，给出，可构造函数.
【例6】已知函数在恒有，其中为函数的导数，若，为锐角三角形两个内角，比较的大小.
【解析】设，则
所以函数在上单调递增.
， 为锐角三角形两个内角,则
所以，由正弦函数在上单调递增.
则
所以，即
所以.
(五)根据构造函数
若给出形如的式子通常构造偶函数或奇函数.
【例7】设函数在上存在导函数,,有,在上有,若,求实数的取值范围.
【解析】因为,所以
令
即函数为偶函数,因为上有,
所以
即函数在单调递增；
又因为
所以

即,所以,解得 ,故选B.
(六)信息迁移题中的抽象函数
求解此类问题关键是如何利用题中的信息.
【例8】已知定义在上的函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数为“线性控制函数”.
(1)判断函数和是否为“线性控制函数”，并说明理由；
(2)若函数为“线性控制函数”，且在上严格增，设为函数图像上互异的两点，设直线的斜率为，判断命题“”的真假，并说明理由；
(3)若函数为“线性控制函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意都有.
【解析】（1），故是“线性控制函数”；
，故不是“线性控制函数”.
（2）命题为真，理由如下：
设，其中
由于在上严格增，故，因此
由于为“线性控制函数”，故，即
令，故，因此在上为减函数
，
综上所述，，即命题“”为真命题.
（3）根据（2）中证明知，对任意都有
由于为“线性控制函数”，故，即
令，故，因此在上为增函数
因此对任意都有，即
当时，则恒成立
当时，
若，则，故
若时，则存在使得
故1，因此
综上所述，对任意都有.
（事实上，对任意都有，此处不再赘述）
【例9】定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P处的切线相同，则称C1与C2在点P处相切．
(1)设．若曲线与曲线在点P处相切，求m的值；
(2)设，若圆M：与曲线在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的最小值；
(3)若函数是定义在R上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立.是否存在点P，使得曲线和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论．
【解析】（1）设点，由，求导得，
于是，解得，由，得，解得，
所以m的值为9.
（2）设切点，由求导得，则切线的斜率为，
又圆M：的圆心，直线的斜率为，
则由，得，令，求导得，
当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，
因此当时，，
所以当时，.
（3）假设存在满足题意，
则有，对函数求导得：，
于是，即，
平方得，
即有，因此，
整理得，而恒有成立，则有，
从而，显然，于是，即与恒成立矛盾，
所以假设不成立，即不存在点满足条件.
三、典例展示
【例1】已知函数的定义域为，导函数为，若恒成立，求证：.
【解析】设函数，因为，，
所以，则，
所以在上单调递减，
从而,即，所以.
【例2】已知函数满足，且，判断函数零点的个数.
【解析】，∴，，∵代入，得，∴.
或，
；，
如图所示，
函数与函数的图像交点个数为2个，所以的解得个数为2个；综上，零点个数为3个.
【例3】已知函数的导函数为，若，且，求不等式的解集
【解析】令，则，
在上递增，
，
，
由，化为，
即，
，
即不等式的解集为.
【例4】已知定义在R上的函数的导数为,且满足,当时 ,求不等式的解集.
【解析】设,则,所以
=,所以是偶函数,设,则,所以,即,所以时 , 所以时,在上是增函数,所以
,故选C.
【例5】已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若存在，对任意，成立，试判断函数的零点个数，并说明理由；
(3)若存在a、，使得，证明：对任意的实数、，都有.
【解析】（1）若，则，
由题意，对任意的都有，
则，即，
所以，
由于的最小值为，的最大值为，
所以，即实数a的取值范围为；
（2）依题意，，
所以，在上为减函数，所以至多一个零点；
，，
当时，，
当时，，
所以存在零点，综上存在1个零点；
（3）因为，由导数的定义得 ，
即，
不妨设
若，则
若，
则
.
【例6】若定义域为D的函数使得是定义域为D的严格增函数，则称是一个“T函数”．
(1)分别判断，是否为T函数，并说明理由；
(2)已知常数，若定义在上的函数是T函数，证明：；
(3)已知T函数的定义域为，不等式的解集为．证明：在上严格增．
【解析】（1），定义域为，则是在上严格单调递增函数，则是“T函数”；
，定义域为，则不是在上严格单调递增函数，则不是“T函数”；
（2）定义在上的函数是T函数，则在上严格单调递增，
设，则，
故在上单调递增，故，
即，
（3）T函数的定义域为，故在上严格单调递增，
，设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，故，
即，
当时，恒成立，则恒成立，
故，
若存在，使，则当时，，
这与，矛盾，故不存在使，故恒成立，
故在上严格增.
四、跟踪检测
1. 函数满足（为自然数的底数），且当时，都有（为的导数），比较的大小 .
2.设函数在R上可导，其导函数为，且．求证： .
3. 定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，求证：.
4．已知为定义域上函数的导函数，且，， 且，求不等式的解集
5.定义在区间上函数使不等式恒成立，（为的导数），求的取值范围.
6.设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“函数”.
(1)分别判断和是否为函数，并说明理由；
(2)若是函数，求正数的取值范围；
(3)已知奇函数及其导函数定义域均为.判断“在上严格减”是“为函数”的什么条件，并说明理由.
7.设是定义在上且满足下列条件的函数构成的集合：
①方程有实数解；
②函数的导数满足．
（1）试判断函数是否集合的元素，并说明理由；
（2）若集合中的元素具有下面的性质：对于任意的区间，都存在，使得等式成立，证明：方程有唯一实数解．
（3）设是方程的实数解，求证：对于函数任意的，当，时，有．