【专题复习】高考数学 专题6 不等式恒成立问题.zip

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函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式恒成立问题一直是高考命题的热点,此类问题一般会把函数、导数及不等式交汇考查,对能力要求比较高,难度也比较大,常见的题型是由不等式恒成立确定参数范围问题,常见处理方法有：①首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围．②也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题．
二、解题秘籍
(一) 与不等式恒成立问题有关的结论
= 1 \* GB3 ①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；
= 2 \* GB3 ②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)maxg(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0；
= 4 \* GB3 ④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) g(x)max；
= 6 \* GB3 ⑥. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) 0恒成立,即对x>0恒成立.
令,所以,
.令,,
则恒成立,所以G(x)在（0,＋∞）上单调递增.
由于G(1)=e>0,,所以使得,
即,（※）
所以当时,G(x)0,
即F(x)在上单调递减,在上单调递增,
所以,
由（※）式可知,,,
令,,又x>0,所以,即s(x)在（0,+∞）上为增函数,所以,即,所以,
所以
所以,实数m的取值范围为（－∞,1].
三、典例展示
【例1】（2023届山东省淄博市实验中学、齐盛高中高三上学期考试）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）解：由题意可得，，故，
当时，，所以在上单调递增，无减区间；
当时，令，解得；由，解得，
所以的单调递增区间为，递减区间为．
综上所述，当时，的单调递增区间为，无减区间；
当时，的单调递增区间为，递减区间为．
（2）解：由题意得，只需成立．
因为，令，则，
当时，，当时，
所以在上递减，递增，且
所以，故，即在上单调递增，
所以在上递增，所以．
由（1）知，当时，在上递增，在上递减．
①当即时，在上递减，，
所以，所以；
②当即时，在递增，，
所以，所以；
③当即时，在上递增，在上递减，
可得，
又因为
当时，，所以，所以；
当时，，所以，所以，
综上所述，实数的取值范围是.
【例2】（2024届百师联盟高三上学期联考）已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求的最小值.
【解析】（1）由题当时，，
，，，
所以切线方程为，化简得，
即曲线在点处的切线方程为.
（2）由可得，
令，，
则，
当时，，
设，易知在上单调递增，
又，，
则存在，使得，即，
取对数得，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
，
在上单调递增，则，
又对任意恒成立，，
所以，即的最小值为-3.
【例3】（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）已知函数有两个极值点．其中，为自然对数的底数．
(1)求实数的取值范围；
(2)若恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）由于，
由题知有两个不同实数根，即有两个不同实数根．
令，则，解得，故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，故的图象如图所示，

当时，有两个零点且．则或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，的极大值点为，极小值点为．
故有两个极值点时，实数的取值范围为．
（2）由于
若设，则上式即为
由（1）可得，两式相除得，即，
由得
所以，令，
则在恒成立，由于，
令，则，，
显然在递增，
又有，所以存在使得，
且易得在递减，递增，又有，
所以存在使得，且易得在递减，递增，
又，则时，时，，所以易得在上递减，在上递增，则，
所以的取值范围为．
【例4】（2023届河南省郑州外国语学校高三下学期4月月考）已知函数．（a，b为实数）
(1)当时，求过点的图象的切线方程；
(2)设，若恒成立，求b的取值范围．
【解析】（1）因为，则，
所以，设切线与图象切于点，
则切线方程为，
令， 则， 即，
所以切线方程为.
（2）由，
令， 则，故，
下面证明：时符合题意.
当时，，
以下证明：，
构造函数，
则，
令，则，
令，可得；
令，可得，
于是在上单调递减，在上单调递增，
于是，
所以，当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
综上，实数b的取值范围．
四、跟踪检测
1．（2024届湖北省随州市曾都区高三上学期测试）已知函数（）图象在点处的切线与直线垂直．
(1)求实数a的值；
(2)若存在，使得恒成立，求实数k的最大值．
2．（2023届黑龙江省鸡西市密山市高三上学期第三次月考）已知函数．
(1)若是的极值点，求的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
3．（2024届陕西省西安市部分学校高三上学期联考）已知函数，且.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若关于的不等式恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围.
4．（2023届安徽省临泉第一中学高三上学期第三次月考）设函数，已知直线是曲线的一条切线．
(1)求实数a的值；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
5．（2024届江苏省镇江市丹阳市高三上学期检测）已知函数（e为自然对数的底数）.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若恒成立，求证：实数.
6．（2024届福建省莆田市第一中学高三上学期期初考试）已知函数，.
(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；
(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
7．（2023届河南省部分名校高三二模）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围.
8．（2024届江西省赣州市第四中学高三上学期开学考试）设m为实数，函数.
(1)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；
(2)已函数有两个不同的零点，（），若，且恒成立，求实数的范围.
9．（2024届四川省广安友谊中学高三上学期9月月考）已知函数.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若恒成立，求a的取值范围；
10．（2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测）已知函数，其中，且．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，过函数图象对称中心C的直线与图象交于A，B两点（异于点C），分别以A，B两点为切点作的切线，记切线的斜率分别为，，若恒成立，求实数m的取值范围．2
0
单调递减
极小值
单调递增