浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高一平行班下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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命题、校对：高一数学备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在中，（ ）
A. B. C. D.
3. 已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 侧棱长为的直棱柱，其底面水平放置时用斜二测画法得到的直观图为如图所示的正方形，其中，则该直棱柱的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在正方体中，M，N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）

A. 91mB. 74mC. 64mD. 52m
7. 已知向量满足：，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 请你在桌面上放置四个半径都是2cm的玻璃小球，并用一个半球形的容器罩住这四个小球，则这个容器的内壁半径的最小值为（ ）
A. B.
C D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积可能为（ ）
A. B.
C. D.
10. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子如图，其平面图如图的扇形，其中，点在弧上.则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若，则存在点，使得
C. 的最小值为
D. 若该扇面为某圆台的侧面展开图，则该圆台的体积为
11. 在棱长为的正方体中，为底面的中心，为线段的中点，则（ ）
A 与共面
B. 三棱锥的体积的最大值为
C. 存在两个不同的，使得
D. 时，过三点的平面截正方体所得截面的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 复数，且，若是实数，则有序实数对可以是_________．（写出一个有序实数对即可）
13. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知a＝2，2sinB+2sinC＝3sinA.则csA的最小值为______.
14. 如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数对应的向量分别为和，其中为复平面的原点.
（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；
（2）求在上的投影向量.
16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，BC＝AB＝2AD，ADBC，AB⊥BC，设平面PAB∩平面PCD＝l.
（1）作出l（写出作法，并保留作图痕迹）；
（2）线段PB上是否存在一点E，使l平面ADE？请说明理由.
17. 如图，在中，角所对边长分别为，满足.
（1）求；
（2）点上，，求.
18. 如图（1），已知菱形中，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图（2）.
图1 图2
（1）求证：点是点在平面上的射影；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点．
（1）若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标；
（2）设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由；
（3）设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件．