【开学考】高三上册数学 开学检测03（难）3

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，，，，并且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数及其导数满足，则的图象在点处的切线斜率为（ ）
A．4B．C．12D．
4．若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
5．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该木楔子的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．记的内角，，的对边分别为，，，且，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数的图象和函数的图象有两个公共点
B．当时，函数的图象和函数的图象只有一个公共点
C．当或时，函数的图象和函数的图象没有公共点
D．当时，函数的图象和函数的图象只有一个公共点
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是年我国社会物流总费用与GDP的比率统计，则（ ）

A．这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2021年增长的最多
B．这6年我国社会物流总费用的分位数为14.9万亿元
C．这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为
D．2022年我国的GDP超过了121万亿元
10．已知在数列中，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．可能是等差数列
C．D．若，则是递增数列
11．已知函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．为偶函数
D．曲线在处的切线斜率为
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．椭圆的短轴长可能为2
C．椭圆的离心率的取值范围为
D．若，则椭圆的长半轴长为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为_____．
14．在的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的的值是_____.
15．已知二面角的大小为，该二面角内一点到、的距离分别为和，则到的距离为_____．
16．数列中的所有项排成如下数阵：




已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数，，，成等差数列，且，，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列．
①；
②在第列；
③；
④．
以上正确结论的序号是_____ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，若．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设由，的公共项构成的新数列记为，求数列的前5项之和．
18．已知在锐角中，角所对应的边分别为.在下列三个条件：
①，且；
②；
③中任选一个，回答下列问题.（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
(1)求角；
(2)若，求内切圆的半径.
19．已知双曲线与点.
(1)求过点的弦，使得的中点为；
(2)在（1）的前提下，如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆.
20．已知函数.
(1)若在恒成立，求a的取值范围；
(2)若，求证：函数的图象在函数图象的下方.
21．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.

(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
22．某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为，并且规定若第题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；第题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为.
(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；
(2)求第n题正确选项为两个的概率；
(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证：.