【开学考】高三上册数学 开学考试卷-058

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1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由一元二次不等式化简集合，即可由并运算求解.
【详解】由得，所以，
故选：D
2．已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先对化简，然后求出复数，从而可求出的共轭复数在复平面内对应的点，进而可得答案.
【详解】由，得，
所以，对应的点为.
的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D.
3．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率等于（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】不妨设双曲线的方程为，由条件求关系，由此可求离心率.
【详解】不妨设双曲线的方程为，则
双曲线的渐近线方程为，
因为双曲线的两条渐近线互相垂直，
所以，故，
所以双曲线的离心率，
故选：A.
4．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在区间上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数变换，得到函数解析式，利用整体思想结合正弦函数的性质，可得答案.
【详解】将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，
再将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象．
当时，，．
故选：C.
5．贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设上面的六棱柱的底面面积为S，高为，根据棱柱和棱台的体积公式直接计算，然后求比可得.
【详解】设上面的六棱柱的底面面积为S，高为，由上到下的三个几何体体积分别记为，
则，
，
，
所以
故选：D

6．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点（如图2，若点P在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据数量积的几何意义求解．
【详解】，即与在向量方向上的投影的积．由图2知，点在直线上的射影是中点，由于，圆弧直径是2，半径为1，
所以向量方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，
因此的最大值是，最小值是，因此其取值范围为，
故选：D．
7．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件确定随机试验的样本空间中的样本点的个数，再求事件所拨数字大于所包含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求其概率．
【详解】依题意得所拨数字共有种可能，即样本空间中共含个样本点，
要使所拨数字大于，则：
①上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于，有种;
②上珠拨是十位档或个位档，则再随机选择两个档位必有千位档，有种,
则所拨数字大于1000的概率为.
故选：D.
8．若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设切点为，利用导数的几何意义，求得切线方程，根据切线过点，得到，设，求得，得出函数单调性和极值，列出方程组，即可求解.
【详解】设切点为，
由函数，可得，则
所以在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以，
整理得，
设，所以，
令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使得过点可作曲线的三条切线，
则满足，解得，即的取值范围是．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
【答案】ACD
【分析】根据空间中线、面位置关系逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，，所以由线面垂直的性质可得，故A正确；
对于选项B：若，，则m与n可能异面或相交或平行，故B错误；
对于选项C：因为，，，，
由面面垂直的性质定理知，，故C正确；
对于选项D：设，且，因为，则，
设，且，因为，则，可得，
又因为，，则，
且，，则，可得，故D正确；
故选：ACD.
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．
B．
C．点是的一个对称中心
D．函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称
【答案】AC
【分析】根据函数图象可得、，即可求出，再根据函数过点求出，即可求出函数解析，再根据正弦函数的性质及三角函数的变换规则判断即可.
【详解】由图可知，，所以，即，解得，
所以，又，
所以，解得，又，所以，
所以，故A正确，B错误；
，所以点是的一个对称中心，故C正确；
将函数的图象向左平移个单位得到，
显然函数不是偶函数，故D错误；
故选：AC
11．下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从正态分布N，若，则
B．已知，，，则
C．已知，，，则
D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
【答案】ABC
【分析】利用正态分布的对称性计算判断A；利用条件概率公式推理判断B；利用全概率公式计算判断C作答；根据分层方差和总方差的公式可判断D.
【详解】对于A，由正态分布曲线的性质知，
，
根据对称性知，，
于是，
A正确；
对于B，由，
得，
所以，
B正确；
对于C，由，
得，
又，
由全概率公式得，
，
C正确.
不妨设两层的样本容量分别为m，n，总样本平均数为，
则，
易知，当时,有，
故D错误.
故选：ABC.
12．已知点，动点满足，则下面结论正确的为（ ）
A．点的轨迹方程为B．点到原点的距离的最大值为5
C．面积的最大值为4D．的最大值为18
【答案】ABD
【分析】设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项.
【详解】设动点，则由得：，
即，
化简得：，即，所以A选项正确；
所以点轨迹是圆心为，半径为的圆，
则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确；
又，和点轨迹的圆心都在轴上，且，
所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误；
又，
因为（），
所以（），
则，所以D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．在等比数列中，，函数，则 ．
【答案】
【分析】先求函数的导数，代入0，再利用等比数列的性质可求答案.
【详解】因为
，
所以．
因为数列为等比数列，所以，
于是．
故答案为：
14．已知空间向量，，，，，若，则λ的值为 ．
【答案】
【分析】利用垂直关系可得关于的方程，从而可得λ的值.
【详解】因为，故，
所以即，
故.
故答案为：.
15．已知，，请写出使得“”恒成立的一个充分不必要条件为 .（用含m的式子作答）
【答案】（答案不唯一）
【分析】将变为展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可写出答案.
【详解】由题意可知，，
故，
当且仅当 时取等号，
故“”恒成立的一个充分不必要条件为，
故答案为：
16．已知函数，直线：，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则，之间的最短距离是 .
【答案】
【分析】根据题意两直线垂直所以，之间的距离即为到直线的距离，即为与平行且与相切的直线的切点到直线的距离.
【详解】
因为函数，直线：，
若直线与的图象交于点，与直线交于点，
直线的斜率为1，直线：的斜率为，
所以两直线垂直，
所以函数图象上的点A到直线的最短距离，
即为之间的最短距离
由题意可得，.
令，解得（舍去）.
因为，取点，
所以点A到直线的距离，
则，之间的最短距离是.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足________．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，利用与的关系即可求解；若选②，利用累加法结合等比数列前项和公式即可求解.
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）若选①，因为，
当时，，两式相减得，
当时，，即，
又，所以，
故也满足，
所以是首项为，公比为的等比数列，故；
若选②，因为，
所以
，故.
（2）由（1）知，
则，①
，②
两式相减得
，
故.
18．在四棱锥中，为等边三角形，，，点E为的中点．

(1)证明：平面；
(2)已知平面⊥平面，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，证明出面面平行，进而得到线面平行；
（2）作出辅助线，由面面垂直得到PO⊥平面ABCD，结合，求出各边长，利用线段比例关系和等体积法求解三棱锥的体积.
【详解】（1）证明：取的中点M，连，

∵E为中点，
∴，
又平面PAD，平面PAD，∴平面，
又∵为等边三角形，∴⊥,
∵，，
∴，，
∴⊥，
∴，
又平面，平面，
∴平面，，平面，
∴平面平面，
∵平面，
∴平面．
（2）连接AC交BD于O，连接PO，
因为，垂直平分，
故O为BD中点，AC⊥BD，
因为，所以⊥，

∵平面PBD⊥平面ABCD，交线为，平面，
∴PO⊥平面ABCD，
∵，
∴，
由勾股定理得，
法1：因为⊥，，所以，
因为，为中点，
所以，
法2：因为⊥，，所以，
因为为中点，所以.
19．的角的对边分别为的面积为.
(1)若，求的周长；
(2)设为中点，求到距离的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得出和，联立求得，进而求得，结合余弦定理求出的值，进而求得结果.
（2）利用面积公式和基本不等式求最值，即可得出结果.
【详解】（1）因为，得①，
又因为的面积为，所以有②，
显然，由①②得，
所以，代入得，
在中，因为，
所以，得，
所以的周长为.

（2）因为为边上的中点，所以，
因为，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以.
设点到直线距离为，
因为，所以，
即点到直线距离最大值为.
20．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，利用导数的正负，结合对的讨论即可求解，
（2）求解，将问题转化为证明，构造函数，利用导数求解最值即可求解.
【详解】（1）的定义域为，．
当时，对任意的恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）可知，当时，．
要证，只需证，即证．
令，，所以，
所以在上单调递增，所以，所以．所以．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
21．已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）．

(1)求k的取值范围；
(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么是定值吗？证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线与圆相切，可得，联立直线与双曲线，根据可得的范围；
（2）根据斜率公式以及韦达定理，将变形化简可得结果.
【详解】（1）与圆相切，，，
由，得，
，
，
故的取值范围为.
（2）由已知可得的坐标分别为，
，
，
又因为，所以，
为定值.
22．深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队，在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考查甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：
(1)求b，c，d，e，n的值，据此能否有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；
(2)根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：0.2，0.5，0.2，0.1，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队赢球的概率依次为：0.6，0.8，0.4，0.8则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛赢球的概率；
②当他参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率：
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识.该如何使用乙球员?
附表及公式：

【答案】(1)，，；有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；
(2)①；②；③乙球员担当中锋.
【分析】（1）利用给定的数表求值即可，再计算的观测值并与临界值比对作答.
（2）①利用全概率公式计算即可；②利用条件概率公式计算即可；③利用条件概率公式计算，再比较大小即可判断作答.
【详解】（1）由列联表中的数据，得，，，
，
所以有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.
（2）①设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中锋”；表示“乙球员担当后卫”；
表示“乙球员担当守门员”；B表示“球队赢得某场比赛”，，
且两两互斥，，
，
所以
，
所以当他参加比赛时，球队某场比赛赢球的概率是；
②乙球员担当前锋的概率；
③当他参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，由②知，乙球员担当前锋的概率是；
乙球员担当中锋的概率是；
乙球员担当后卫的概率；
乙球员担当守门员的概率，
显然，为了扩大赢球面，乙球员应担当中锋.
题号
一
二
三
四
总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
球队胜
球队负
总计
甲参加
22
b
30
甲未参加
c
12
d
总计
30
e
n
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828