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甘肃省兰州市兰州市教育局第四片区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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一、选择题（共12小题，每小题3分，计36分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ）
A. ＜-1B. ≤2C. -1＜≤2D. ≤-1
3. 下列各式中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，且，则D. 若，则
4. 如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，则旋转的角度是( )
A 15°B. 30°C. 45°D. 75°
5. 已知等腰三角形有一边长为，一边长为，则其周长为（ ）
A. B. C. D. 12或9
6 已知：如图，．
求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设有两个（或三个）直角，不妨设．
④∵，
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A. ④③①②B. ③④②①C. ①②③④D. ③④①②
7. 如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线交于点E，交于点D，若，，则的周长为（ ）
A. 9B. 13C. 13.5D. 18
8. 一次函数与的图象如图，甲乙两位同学给出的下列结论：
甲说：方程的解是；
乙说：当时，．
其中正确结论有（ ）
A. 甲正确，乙错误B. 乙正确，甲错误C. 甲乙都正确D. 甲乙都错误
9. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A. 的三条中线的交点B. 三边的中垂线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三条高所在直线的交点
10. 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”下列关于筝形的结论错误的是（ ）
A. 直线是筝形的对称轴
B. 对角线平分，
C. 对角线，互相垂直平分
D. 筝形的面积等于对角线与的乘积的一半
11. 亚运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为元，并以每件元的价格出售，亚运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润不低于，根据题意可列出来的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
12. 对实数x，y定义一种新的运算F，规定若关于正数x的不等式组恰好有 3 个整数解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
13. 命题“面积相等的两个三角形全等”的逆命题是____________命题（填“真”或“假”）
14. 等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是____________．
15. 根据“x的3倍与-5的和大于0”可列不等式_______．
16. 如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为 _____．
17. 如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是______．
三、解答题（共9小题，计69分，解答应写出过程）
18. 解下列不等式和不等式（组），并把解集在数轴上表示出来
（1）
（2）
19. 如图，作出的边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
20. 如图，在中，，，点F为BC延长线上一点，点E在AC上，且，求证：．
21. 下面是航航解不等式的过程：
，第一步
，第二步
，第三步
第四步
先阅读以上解题过程，然后解答下列问题．
（1）航航解题过程从第______步开始出现错误，这步的错误原因是_____；
（2）请你写出这个不等式的正确解法．
22. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为：，．
（1）将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位，则____________．
（2）画出两次平移后的．
（3）若将看成是经过一次平移得到的，则平移距离是多少？
23. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE垂直平分线段AC．
（1）求证：△BCE等边三角形．
（2）若BC=3，求DE的长．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数y=x的图象交于点C（m，4）．
（1）求m的值及一次函数y=kx+b的表达式；
（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式x＜kx+b的解集．
25. 2023年暑假，兰州旅游爆火，全国各地的游客纷纷来兰州旅游避暑．某学校同学们为此积极设计了与两款文创产品，购买 1件产品与1件产品共需150元；购买3件产品与2件产品共需390元．
（1）这两款文创产品的销售单价分别是多少元？
（2）若每个产品制作成本为60元，产品制作成本为40元，同学们准备制作两种文创产品共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次文创产品，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？
26. 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．
例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．问题解决：
（1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）
①， ②， ③；
（2）若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围．
27. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．
（1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
（2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
（3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
一、选择题（共12小题，每小题3分，计36分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ）
A. ＜-1B. ≤2C. -1＜≤2D. ≤-1
3. 下列各式中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，且，则D. 若，则
4. 如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，则旋转的角度是( )
A 15°B. 30°C. 45°D. 75°
5. 已知等腰三角形有一边长为，一边长为，则其周长为（ ）
A. B. C. D. 12或9
6 已知：如图，．
求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设有两个（或三个）直角，不妨设．
④∵，
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A. ④③①②B. ③④②①C. ①②③④D. ③④①②
7. 如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线交于点E，交于点D，若，，则的周长为（ ）
A. 9B. 13C. 13.5D. 18
8. 一次函数与的图象如图，甲乙两位同学给出的下列结论：
甲说：方程的解是；
乙说：当时，．
其中正确结论有（ ）
A. 甲正确，乙错误B. 乙正确，甲错误C. 甲乙都正确D. 甲乙都错误
9. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A. 的三条中线的交点B. 三边的中垂线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三条高所在直线的交点
10. 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”下列关于筝形的结论错误的是（ ）
A. 直线是筝形的对称轴
B. 对角线平分，
C. 对角线，互相垂直平分
D. 筝形的面积等于对角线与的乘积的一半
11. 亚运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为元，并以每件元的价格出售，亚运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润不低于，根据题意可列出来的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
12. 对实数x，y定义一种新的运算F，规定若关于正数x的不等式组恰好有 3 个整数解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
13. 命题“面积相等的两个三角形全等”的逆命题是____________命题（填“真”或“假”）
14. 等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是____________．
15. 根据“x的3倍与-5的和大于0”可列不等式_______．
16. 如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为 _____．
17. 如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是______．
三、解答题（共9小题，计69分，解答应写出过程）
18. 解下列不等式和不等式（组），并把解集在数轴上表示出来
（1）
（2）
19. 如图，作出的边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
20. 如图，在中，，，点F为BC延长线上一点，点E在AC上，且，求证：．
21. 下面是航航解不等式的过程：
，第一步
，第二步
，第三步
第四步
先阅读以上解题过程，然后解答下列问题．
（1）航航解题过程从第______步开始出现错误，这步的错误原因是_____；
（2）请你写出这个不等式的正确解法．
22. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为：，．
（1）将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位，则____________．
（2）画出两次平移后的．
（3）若将看成是经过一次平移得到的，则平移距离是多少？
23. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE垂直平分线段AC．
（1）求证：△BCE等边三角形．
（2）若BC=3，求DE的长．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数y=x的图象交于点C（m，4）．
（1）求m的值及一次函数y=kx+b的表达式；
（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式x＜kx+b的解集．
25. 2023年暑假，兰州旅游爆火，全国各地的游客纷纷来兰州旅游避暑．某学校同学们为此积极设计了与两款文创产品，购买 1件产品与1件产品共需150元；购买3件产品与2件产品共需390元．
（1）这两款文创产品的销售单价分别是多少元？
（2）若每个产品制作成本为60元，产品制作成本为40元，同学们准备制作两种文创产品共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次文创产品，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？
26. 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．
例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．问题解决：
（1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）
①， ②， ③；
（2）若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围．
27. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．
（1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
（2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
（3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
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