湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟．
一、选择题（每题3分，共10小题30分）
1. 下列各图能表示y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：A、B、D都不是函数，因为一个x的值对应有多个y的值，C选项符合函数的概念，
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
2. 下列各式中运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减，算术平方根的定义，二次根式的性质等知识．分别根据二次根式的加减，算术平方根的定义，二次根式的性质等知识逐项判断即可求解．
详解】解：A. ，不能进行加减，故原选项错误，不合题意；
B. ，故原选项错误，不合题意；
C. ，故原选项计算正确，符合题意；
D. ，故原选项错误，不合题意．
故选：C
3. 下列条件中，a、b、c分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理逆定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，
是直角三角形，
故不符合题意；
B、，，，，
不是直角三角形，
故符合题意；
C、，，
是直角三角形，
故不符合题意；
D、，，
，
是直角三角形，
故不符合题意；
故选：B
4. 如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得出DE即可．
【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=AB=4，
又∵DE中位线，
∴DE=BC=2．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握含30°角的直角三角形的性质及三角形的中位线定理．
5. 在平行四边形中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由已知条件得到，则．
【详解】解；∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选；D．
6. 已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据点为第一象限内的点，得到，即可得到一次函数的图象经过一、二、三象限，问题得解．
【详解】解：∵点为第一象限内点，
∴，
∴一次函数的图象经过一、二、三象限．
故选：A．
7. 如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的判定方法进行解答即可．
【详解】解：A．∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故A不符合题意；
B．由可以判定平行四边形为矩形，故B符合题意；
C．由可以判定平行四边形为菱形，故C不符合题意；
D．由可以判定平行四边形为菱形，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．
8. 菱形的对角线长分别为10和12，它的面积为（ ）
A. 32B. 60C. 64D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解．
【详解】解：∵菱形的对角线长分别为10和12，
∴它的面积是．
故选：B
9. 漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，小浔同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，并进行了测试．下表是小浔记录的部分数据，如果她从上午9时开始记录，那么上午11时25分，箭尺的示数应为（ ）
A. 13.8B. 14.2C. 14.6D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握有理数的运算法则，读懂表格并从中获取解题信息是解决问题的关键．首先从表格中的数据可得出每10分钟，箭尺的示数增加0.8，进而可求出平均每分钟箭尺的示数增加0.08，然后计算出从10点到11点25分过去了85分钟，由此即可得出答案．
【详解】解：由表格中的数据可知：每10分钟，箭尺的示数增加0.8，
平均每分钟箭尺的示数增加：；
时，箭尺的示数为7.0，
又从10点到11点25分过去了：（分，
箭尺的示数为：．
故选：A．
10. 如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点E作交于点M，交于点N，则，再证明，得出，再利用勾股定理即可解答．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】解：过点E作交于点M，交于点N，
∵四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，，
∴，，，
∴四边形是矩形，，
∴，，，，
∴，
∴，，,
∴．
故选：A．
二、填空题（每题3分，共6小题18分）
11. 因式分解：=______．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【解析】
【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可．
【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
【点睛】考点：因式分解．
12. 若，是一次函数的图象上的两个点，则与的大小关系是______．（填“>”，“=”或“
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论．
【详解】解：一次函数中，，
随着的增大而减小．
，是一次函数的图象上的两个点，，
．
故答案为：．
13. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、代数式求值等知识，由二次根式有意义的条件得，求出，代值求解即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解：由二次根式有意义的条件可得，解得，
，
，
故答案为：．
14. 如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，则顶点B的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形性质、坐标与图形的性质等知识，首先证明，根据点坐标即可推出点坐标，解题的关键是熟练掌握基本知识．
【详解】解：∵点坐标为，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点坐标为，
∴点坐标为，
故答案为：．
15. 分式方程：的解为：______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解法，根据解分式方程的一般步骤解方程即可求解．
【详解】解：
方程两边同乘以得，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
故答案为：
16. 如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论：①；②；③当时，；④．所有正确的结论有______个．

【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，一次函数与不等式之间的关系，根据一次函数经过的象限可得，，据此可判断①②；根据当时，一次函数的图象在一次函数的图象上方，可判断③；根据点P的横坐标为1，可得，即，即可判断④．
【详解】解：∵一次函数与y轴交于坐标轴，且经过第一、二、四象限，
∴，故①错误；
∵一次函数经过第一、二、三象限，
∴，
∴，故②正确；
由函数图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象上方，
∴当时，，故③正确；
∵一次函数与的图象交于点P，点P的横坐标为1，
∴，即，故④正确；
∴正确的有3个，
故答案为：3．
三、解答题（共9小题72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，二次根式的加减，掌握相关的运算法则是解题的关键．
先算零指数幂和负整数指数幂，同时化简二次根式和绝对值，再算加减即可．
【详解】解：
．
18. 先化简，后求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算及二次根式的求值，解决本题的关键是熟练掌握有关运算法则，先进行整式的混合运算，再求值即可．
【详解】解：原式，
，
当时，
原式，
，
19. 在八下书本49页中，我们得到了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，完成以下证明过程：
已知：如图，D、E分别是的边，的中点；
求证：且．
证明：如图，延长到点F，使，连接，，．
∵______，，
∴四边形是平行四边形，（ ）（填推理的依据）
平行且等于，∴平行且等于．
∴四边形是平行四边形，（ ）（填推理的依据）
∴平行且等于．又∵，∴，．
【答案】；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为平行四边形是解题的关键．先证四边形是平行四边形，则平行且等于，得平行且等于．再证四边形是平行四边形，得平行且等于，即可得出结论．
【详解】证明：如图，延长到点F，使，连接，，.
∵，，
∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（填推理的依据）
平行且等于，
∴平行且等于.
∴四边形是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）
∴平行且等于.
又∵，
∴，.
故答案为：；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
20. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺），大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．

（1）图中______尺，______尺；
（2）求水池中水的深度．
【答案】（1）1，5 （2）水深为12尺
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用等知识．
（1）根据题意即可求解；
（2）设水深x尺，则芦苇尺，在中，根据勾股定理列方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可得：尺，尺．
故答案为：1，5；
【小问2详解】
解：设水深x尺，
则芦苇尺，
在中，，
解得：，
答：水深为12尺．
21. 已知如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，连接，；
（1）求直线l的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的解析式求解，以及一次函数与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）把，，分别代入即可求解；
（2）求出直线l与坐标轴的交点即可求解；
【小问1详解】
解：∵点A、B的坐标分别为，，
把，，分别代入得，
解得，
∴函数的解析式为；
【小问2详解】
解：由第（1）可得直线l与x轴交点坐标：，与y轴交点坐标为：，
∴．
22. 如图所示，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作，且，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点F，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查矩形的判定和性质，关键是根据菱形的性质得出解答．
（1）根据菱形的性质得出，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质得出，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【小问1详解】
证明：菱形，
，，
又，
，
，
四边形是平行四边形．
，
，
是矩形；
【小问2详解】
解：菱形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
矩形，
，，
，
，
．
23. 2024年4月长沙市某中学开展爱心义卖活动，推出A，B两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个A款帆布袋和3个B款帆布袋共需元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需元．
（1）求购买A，B两款帆布袋每个各需要多少元？
（2）某老师决定购买A，B两款帆布袋共个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，试问当购买A，B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？
【答案】（1）A，B两款帆布袋的单价分别为元，元
（2）购买A，B两款帆布袋分别为6件和9件时，总费用最低，最低费用为元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元，由题意得：，据此即可求解；
（2）设购买A款帆布袋m件，购买B款帆布袋件.设总费用为w元，确定与之间的函数关系式即可求解
【小问1详解】
解：由题意，设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元，
由题意得：，
解得：.
∴A，B两款帆布袋的单价分别为元，元.
【小问2详解】
解：由题意，设购买A款帆布袋m件，
∴购买B款帆布袋件，设总费用为w元，
∴.
∵，
∴w随m的增大而增大.
∵购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，
∴.
∴且m为正整数.
∴当时，w有最小值，最小值为.
此时.
∴购买A，B两款帆布袋分别为6件和9件时，总费用最低，最低费用为元.
24. 设a，b是任意两个不相等的实数，我们规定：当时，满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做“稳定区间”，表示为，对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：，有我们就称此函数是稳定区间上的“稳定函数”．
（1）正比例函数是稳定区间上的“稳定函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数是稳定区间上的“稳定函数”，求m，n的值；
（3）若函数是稳定区间上的“稳定函数”，且a，b为整数，求数a，b的值．
【答案】（1）正比例函数是稳定区间上的“稳定函数”，见解析
（2），；
（3），或，或，或，或，.
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的性质，求一次函数的函数值：
（1）根据定义分别计算x，y的区间，即可判断；
（2）由一次函数是稳定区间上的“稳定函数”，得，，分两种情况解答；
（3）当时，一次函数在稳定区间上y随x的增大而增大，当时，
一次函数在稳定区间上y随x的增大而减小，分三种情况讨论解答即可．
【小问1详解】
解： 是稳定区间上的“稳定函数”
∵，∴y随x的增大而增大，
∴当时，；当时，，
∴，
∴正比例函数是稳定区间上的“稳定函数”；
【小问2详解】
∵一次函数是稳定区间上的“稳定函数”，
∴，，
分两种情况：
①若时，y随x的增大而增大，∴时，；时，
，∴，；
②若时，y随x的增大而减小，∴时，；时，
，，矛盾，
综合以上两种情况可知：，；
【小问3详解】
当时，一次函数在稳定区间上y随x的增大而增大，当时，
一次函数在稳定区间上y随x的增大而减小；
∴分以下三种情况讨论：
①当时，根据闭函数定义知：，解得：（舍）；
②当时，此时函数的最大值，由稳定区间上稳定函数定义知，或，
即或，解得：或（舍）；
③当时，根据稳定函数定义知：，，
∴，∵a与b是整数，
解得：或或或；
综上，，或，或，或，或，．
25. 如图，平面直角坐标系中，已知等腰三角形，，点，点，且a，b满足，轴，
（1）求点C的坐标______；
（2）动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿方向运动，运动时间为t秒，当三角形满足时，求对应t的值；
（3）已知点，且，，D是线段上的动点，，
①当最小时，求点M坐标；
②在第①问的条件下，点T是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，以点A、D、T、为顶点的四边形是以为边的矩形，求点Q的坐标．
【答案】（1）
（2）或8秒
（3）①；②或或
【解析】
【分析】此题考查几何变换的综合题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是根据翻折的性质和全等三角形的性质解答．
（1）由坐标与图形的性质及勾股定理进行解答即可；
（2）分当点P在线段上时和当点P在线段上时两种情况，利用三角形面积公式解答即可；
（3）作点M关于直线的对称点，则在x轴上，当D，，E三点共线，且与垂直时，有最小值，据此解答即可．
【小问1详解】
由题可知：，，
∴，
∵，
∴
∴
【小问2详解】
由题意可知，存在两种情况：
①当点P在线段上，即时，如图1，
，
∵.
∴ ，.
②当点P在线段上时，即时，如图2.
，
∵
∴
∵，
∴，.
综上可知，或8秒.
【小问3详解】
①由题意得：
所以M在线段上运动，
∵轴
∴
∵
∴，
∴.
作点M关于直线的对称点，则在x轴上，如图3，
当D，，E三点共线，且与垂直时，如图4，
有最小值，
∴
则，
，
又已知，代入上式得：
，，
∴
联立：，解得.
∴
②由第①可得，，
∵，平行x轴，
∴，
又，
连并延长，交x轴于点，
与y轴重合，
∴，
又，
∴，
，
∴，
因为为矩形的边，
∴四边形，四边形为矩形，
又，
∴，；
设，
由勾股定理有：，
∴，
∴，
∴；
综合以上可得：或或
时间
…
9：00
9：10
9：30
10：00
…
箭尺示数
…
2.2
3.0
4.6
7.0
…