天津市和平区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 81的算术平方根是（ ）
A. 9B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据算式平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴81的算术平方根是9，
故选A．
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键：对于两个非负实数a、b，若满足，那么a就叫做b的算术平方根．
2. 在平面直角坐标系中，点（﹣6，2）在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】根据平面直角坐标系中，点在各象限中的符号特征进行分析.即：第一（+，+），第二（-，+），第三（-，-），第四（+，-）.
【详解】在平面直角坐标系中，点（﹣6，2）在第二象限.
故选B
【点睛】本题考核知识点：平面直角坐标系.解题关键点：熟记点的坐标与位置特点.
3. 估计的值在（ ）
A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，估算出的范围，再得出选项即可．
【详解】∵，
∴，即在8到9之间，
故选：D．
4. 下列各数中，3.14159，，，，，，无理数的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】解：根据无理数概念，无限不循环小数为无理数，
∵=-4，
∴，，是无理数，共3个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的概念，解题关键是了解什么特点的数是无理数．
无理数三种形式：
①开方开不尽的的数；
②含有π的数；
③有规律但无限不循环的小数．
5. 一个正数的两个不同的平方根是与，则的值是（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答即可．
【详解】由题意得，，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平方根的概念，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键，
6. 下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根的定义计算即可．
【详解】解：A、，此选项正确；
B、，此选项错误；
C、，此选项错误；
D、，此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的化简，解题的关键是注意算术平方根是一个非负数，注意任何数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
7. 直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOA∶∠AOD=1∶4，则∠EOC等于（ ）
A. 30°B. 36°C. 45°D. 72°
【答案】A
【解析】
【分析】设∠EOA=x，可得∠EOC=x，再由∠EOA：∠AOD=1：4，可得∠AOD=4x，然后根据邻补角相等，可得到关于x的方程，即可求解．
【详解】解：设∠EOA=x，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC=x，
∵∠EOA：∠AOD=1：4，
∴∠AOD=4x，
∵∠COA+∠AOD=180°，
∴x+x+4x=180°，
解得x=30°．
故∠EOC的度数是30°．
故选A．
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，邻补角互补，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．
8. 如图，，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行线的性质可知，根据，，可知，进而可知，可求出，再根据对顶角相等即可求出．
【详解】解：∵，
，
，，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质和对顶角的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和对顶角的性质进行角的转化和计算．
9. 已知点到轴的距离是它到轴距离的2倍，则的值为（ ）
A. 2B. 8C. 2或D. 8或
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到坐标轴的距离公式列出绝对值方程，然后求解即可．
【详解】解：点到轴的距离是它到轴距离的倍，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到坐标轴的距离的公式并列出方程是解题的关键．
10. 下列命题：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②内错角相等；③在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；④相等的角是对顶角． 其中，真命题有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行公理及其推论可判断①，根据内错角的定义即可判断②，根据平行线的判定方法，即同旁内角互补即可判定③，根据对顶角的定义即可判定④．
【详解】解：由平行公理及其推论可知①正确；
在两直线平行时，内错角才相等，故②错误；
若两条直线都垂直与同一条直线，则同旁内角互补，可以判定这两条直线平行，故③正确；
对顶角相等，但并不是相等的角都是对顶角，故④错误；
只有①③正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行公理及其推论，内错角和对顶角的定义和大小关系，以及平行线的判定，解决本题的关键是熟练掌握每一个概念的定义．
11. 如图，已知．则结论①；②平分；③；④．正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据得到FG∥AD，判断①正确；
根据∠ADE+∠BDE=90°，∠B+∠BDE=90°，得到③正确；
根据， 证明∠BDE=∠C，进行角的代换证明∠BDE+∠CFG=90°，得到④正确；
证明∠ADE+∠BDE=90°，判断②不正确．
【详解】解：∵
∴∠FGB=∠ADB=90°，
∴FG∥AD，∠ADE+∠BDE=90°，
故①正确；
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠CAB=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，
∴，
∴③正确；
∵，
∴∠BDE=∠C，
∵∠FGC=90°，
∴∠C+∠CFG=90°，
∴∠BDE+∠CFG=90°，
∴④正确；
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠BDE=90°，
∴②不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等，平行线的判定等知识，熟知相关定理是解题关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点 ， ， ， ， ， ……则点 的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，据此可解．
【详解】解： 由的坐标 可得：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，当下标除以3后有余数且商为奇数时，坐标在第四象限，纵坐标为；当下标除以3后有余数且商为偶数时，坐标在第二象限，纵坐标为1。
由 可得规律：
∵，
∴
∴点的坐标是，
故选：B．
【点睛】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，关键是找到循环规律．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13. 的相反数为_____的绝对值是_______的平方根是______．
【答案】 ①. ②. ## ③.
【解析】
【分析】本题主要考查了倒数、绝对值、平方根的性质，熟练掌握倒数、绝对值、平方根的性质是解题的关键．根据倒数、绝对值、平方根的性质，即可求解．
【详解】解：的相反数为，的绝对值是，的平方根是．
答案：，，
14. 已知AB∥y轴，A点的坐标为（3，2），并且AB=4，则B的坐标为__________．
【答案】（3，6）或（3，-2）##（3，-2）或（3，6）
【解析】
【分析】先确定出点B的横坐标，再分点B在点A的上方与下方两种情况求出点B的纵坐标，从而得解．
【详解】解：∵AB∥y轴，点A的坐标为（3，2），
∴点B的横坐标为3，
∵AB=4，
∴点B在点A的上方时，点B的纵坐标为2+4=6，
点B在点A的下方时，点B的纵坐标为2-4=-2，
∴点B的坐标为（3，6）或（3，-2）．
故答案为：（3，6）或（3，-2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，根据平行线间的距离相等求出点B的横坐标，求纵坐标时要注意分点B在点A的上方与下方两种情况求解．
15. 如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为_____．
【答案】45°##45度
【解析】
【分析】反向延长DE交BC于M，如图，先根据平行线的性质求出∠BMD的度数，进而可得∠CMD的度数，然后利用三角形的外角定理解答即可．
【详解】解：反向延长DE交BC于M，如图，
∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝75°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝105°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝150°﹣105°＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角定理，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题的关键．
16. 如图，一块长AB为20m，宽BC为10m的长方形草地ABCD被两条宽都为1m的小路分成四部分，每条小路的两边都互相平行，则分成的四部分绿地面积之和为__m2．
【答案】171
【解析】
【分析】直接利用平移道路的方法得出草地的绿地面积=（20-1）×（10-1），进而得出答案．
【详解】解：由图象可得：这块草地的绿地面积为：（20-1）×（10-1）=171（m2）．
故答案为：171．
【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，正确平移道路是解题关键．
17. 若，则值为________．
【答案】0；；
【解析】
【分析】首先将原方程两边3次方，然后移项，再通过因式分解法解方程即可得出结论.
【详解】解：，
，
，
，
，
，
或或或，
解得或或．
故答案为：0；；．
【点睛】本题考查了因式分解的实际应用，属于基础知识的考查，难度不大．
18. 如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D．
（1）________度；
（2）当点P运动到使时，________度．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）求出，再根据角平分线的定义知，，可得，即；
（2）由得，推出，根据，，可得．
【详解】解：（1），
，
，
，
平分，平分，
，，
，
；
（2），
，
，
，
；
由（1）可知：，，
，
，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据立方根的定义，算术平方根的定义化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先根据乘方运算法则，绝对值的意义，立方根的定义化简各式，然后再二次根式的加减进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的意义，立方根的定义，算术平方根的定义，乘方运算法则，是解题的关键．
20. 如图，先将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1．
（1）画出经过两次平移后的图形，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）已知三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），若点P随三角形ABC一起平移，平移后点P的对应点P1的坐标为（﹣2，﹣2），请求出a，b的值；
（3）求三角形ABC的面积．
【答案】（1）图见解析，A1（﹣4，﹣3），B1（2，2），C1（﹣1，1）
（2）
（3）10.5
【解析】
【分析】（1）先根据△ABC位置求出A，B，C的坐标，再利用平移求出A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标，然后描点，连线即可解决问题．
（2）利用平移规律，构建方程组即可解决问题．
（3）利用分割法先利用辅助线将△ABC补成长方形ADEF，然后用长方形面积减去三个三角形面积即可求出△ABC的面积．
【小问1详解】
解：根据△ABC所在位置可得点A（-1，1），B（5，2），C（2，5），
先将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1．
平移后的坐标A1（-1-3，1-4），B1（5-3，2-4），C1（2-3，5-4），即A1（-4，-3），B1（2，-2），C1（-1，1），
然后再平面直角坐标系中描点A1（-4，-3），B1（2，-2），C1（-1，1），
顺次连接A1B1， B1C1，C1A1，
则△A1B1C1为所求．
【小问2详解】
解：平移后点P的对应点P1（a﹣3．b﹣4），
∵P1（﹣2，﹣2），
∴，
解得．
【小问3详解】
过点A作水平线与过点A，点B的铅直线于A，F，过C的水平线与过点A，点B的铅直线于D，E，
则四边形ABCD为长方形，
∴S△ABC=S长方形AFED-S△ADC-S△CEB-S△AFB，
=，
=，
=，
=，
=10.5．
【点睛】本题考查了作图-平移变换，确定平移后图形的基本要素（平移方向、平移距离）.作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形，方程组，割补法求三角形面积，．
21. 解下列各式子中x的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查利用平方根与立方根的定义解方程；
（1）根据平方根的定义，可得答案：
（2）根据立方根的定义，可得答案．
【详解】（1）∵，
∴，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴
解得．
22. （1）已知的平方根是的算术平方根是1，c是的整数部分，求的立方根．
（2）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据题意易得，，，进而求解a、b的值，进而代入求解，最后利用立方根进行求解即可；
（2）由数轴可知：，，，然后根据绝对值的意义进行化简求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，可得，，
故，，
又∴，
可得，
则，
所以的立方根为．
（2）由数轴可知：，
∴，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根、绝对值的意义及整式的加减，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根、绝对值的意义及整式的加减是解题的关键．
23. 如图，在中，，点在边上，，．
（1）求证：；
（2）若，求度数．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
（）根据垂直于同一直线的两直线平行，即可证明，根据平行线的性质可得证，从而即可证明结论成立；
（）根据，根据平行线的判定定理可得，根据平行线的性质可得，由已知，即可求得的度数．
【小问1详解】
证明：，，
，
，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵
24. 直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ．
【答案】（1）不变，135° （2）不变，67.5° （3）60°或72°
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的意义求解；
（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB＝90°，进而得出∠OAB+∠OBA＝90°，故∠PAB+∠MBA＝270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F＝45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE＝112.5°，进而得出结论；
（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由两个角度数的比是3：2分四种情况进行分类讨论．
【小问1详解】
∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE= (∠OAB+∠ABO)＝45°，
∴∠AEB＝135°；
【小问2详解】
∠CED的大小不变．
如图，延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠PAB+∠MBA＝270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC= (∠PAB+∠ABM)＝135°，
∴∠F＝45°，
∴∠FDC+∠FCD＝135°，
∴∠CDA+∠DCB＝225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，
∴∠CED＝67.5°；
【小问3详解】
∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E＝∠EOQ−∠EAO= (∠BOQ−∠BAO)= ∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF＝90°．
在△AEF中，
∵有两个角度数的比是3：2，故有：
∠EAF：∠E=3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；
∠EAF：∠F=3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°；
∠F：∠E=3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°；
∠E：∠F=3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）．
∴∠ABO为60°或72°．
故答案为：60°或72°．
【点睛】本题考查三角形内角和与角平分线的综合应用，熟练掌握三角形内角和定理、平角的意义、角平分线的意义和比例的性质是解题关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点中的横坐标x与纵坐标y满足，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，点E在x轴的负半轴上，且满足，线段AE与y轴相交于点F，将线段AD向右平移8个单位长度，得到线段BC．
（1）直接写出点A和点E的坐标；
（2）在线段BC上有一点G，连接DF，FG，DG，若点G的纵坐标为m，三角形DFG的面积为S，请用含m的式子表示S（不要求写m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当时，动点P从D出发，以每秒1个单位的速度沿着线段DA向终点A运动，动点Q从A出发，以每秒2个单位的速度沿着折线向终点C运动，P，Q两点同时出发，当三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍时，求出P点坐标．
【答案】（1）A（2,8），E（-6,0）；
（2）S=m+24； （3）点P坐标为（2，）或（2，）或（2，）
【解析】
【分析】（1）根据求出x，y，得到A的坐标，根据，求出OE得到E的坐标；
（2）由DE=6=AD，求出OF=OE=6，根据平移的性质得到CD=8，G（10，m），延长BA交y轴于H，则BH⊥y轴，则OH=AD=8，求出HF=2，根据三角形DFG的面积为S=代入数值求出答案；
（3）由求得 G(10，2)，设运动时间为t秒，分两种情况：当时，当时，利用面积加减关系求出△FGP与△AGQ的面积，得方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴x-2=0，y-8=0，
得x=2，y=8，
∴A（2,8），
∴AD=8，OD=2，
∵，
∴OE=8-2=6，
∴E（-6,0）；
【小问2详解】
解：∵OD=2，OE=6，
∴DE=6=AD，
∵AD⊥x轴，
∴∠AED=∠EAD=45°，
∵∠EOF=90°，
∴∠EFO=45°=∠OEF，
∴OF=OE=6，
∵将线段AD向右平移8个单位长度，得到线段BC，
∴B（10,8），C（10,0），BC⊥x轴，x轴，CD=8，
∴G（10，m），
延长BA交y轴于H，则BH⊥y轴，则OH=AD=8，
∴HF=2，
三角形DFG的面积为S=
=
=m+24；
【小问3详解】
解：当时，m+24=26，
得m=2，∴G(10，2)，
设运动时间为t秒，
当时，
，，
∵三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍，
∴，
得t=，
∴P（2，）；
当时，
， ，
∴，
得t=或t=，
∴P（2，）或P（2，），
综上，点P坐标为（2，）或（2，）或（2，）．
【点睛】此题考查了算术平方根非负性，绝对值的非负性，线段平移的性质，三角形面积的计算公式，图形中动点问题，解题中注意运用分类思想解决问题是关键，避免漏解的现象．