【二轮复习】高考数学专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类（考点专练）（原卷版+解析版）

这是一份【二轮复习】高考数学专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类（考点专练）（原卷版+解析版），文件包含二轮复习高考数学专题17圆锥曲线常考压轴小题全归类考点专练原卷版docx、二轮复习高考数学专题17圆锥曲线常考压轴小题全归类考点专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc156908152" 01 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 PAGEREF _Tc156908152 \h 2
\l "_Tc156908153" 02 蒙日圆 PAGEREF _Tc156908153 \h 4
\l "_Tc156908154" 03 阿基米德三角形 PAGEREF _Tc156908154 \h 6
\l "_Tc156908155" 04 仿射变换问题 PAGEREF _Tc156908155 \h 10
\l "_Tc156908156" 05 圆锥曲线第二定义 PAGEREF _Tc156908156 \h 12
\l "_Tc156908157" 06 焦半径问题 PAGEREF _Tc156908157 \h 16
\l "_Tc156908158" 07 圆锥曲线第三定义 PAGEREF _Tc156908158 \h 19
\l "_Tc156908159" 08 定比点差法与点差法 PAGEREF _Tc156908159 \h 21
\l "_Tc156908160" 09 切线问题 PAGEREF _Tc156908160 \h 25
\l "_Tc156908161" 10 焦点三角形问题 PAGEREF _Tc156908161 \h 28
\l "_Tc156908162" 11 焦点弦问题 PAGEREF _Tc156908162 \h 30
\l "_Tc156908163" 12 圆锥曲线与张角问题 PAGEREF _Tc156908163 \h 32
\l "_Tc156908164" 13 圆锥曲线与角平分线问题 PAGEREF _Tc156908164 \h 34
\l "_Tc156908165" 14 圆锥曲线与通径问题 PAGEREF _Tc156908165 \h 38
\l "_Tc156908166" 15 圆锥曲线的光学性质问题 PAGEREF _Tc156908166 \h 40
\l "_Tc156908167" 16 圆锥曲线与四心问题 PAGEREF _Tc156908167 \h 43
01 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
1．（2024·江西赣州·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，令，则，
由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，
设点，则，
整理得：，
比较两方程可得：，，，即，，点，
当点M位于图中的位置时，的值最大，最大为.
故选：B.
2．（2024·全国·高三专题练习）已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知过定点，
过定点，
因为，，所以，即，
所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，故圆心为，半径为3，
则的轨迹方程为，即，易知O、Q在该圆内，
又，
即，
取，则，又，
所以，
所以的最小值为.
故选：A.
3．（2024·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（ ）
A．的方程为
B．当三点不共线时，则
C．在C上存在点M，使得
D．若，则的最小值为
【答案】C
【解析】设，由，得，化简得，故A正确；
当三点不共线时，，所以是的角平分线，所以，故B正确；
设,则，化简得，因为，所以C上不存在点M，使得，故C错
误；
因为，所以，所以，当且仅当在线段上时，等号成立，故D正确.
故选：C.
02 蒙日圆
4．（2024·青海西宁·统考）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
如图，分别与椭圆相切，显然.
所以点在蒙日圆上，
所以，所以，即，
所以椭圆的离心率.
故选：D
5．（2024·陕西西安·长安一中校考）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为，
于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，，
则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上，
圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为.
故选：B
6．（2024·江西·统考模拟预测）定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆的方程为，是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于、两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【解析】根据蒙日圆定义，圆方程为，
因为直线与圆交于、两点，联立，可得或，
即点、，
当点与点或重合时，为直角，且，，
所以，直线的斜率为或.
故选：D.
03 阿基米德三角形
7．（2024·陕西铜川·统考）古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
①椭圆的标准方程可以为 ②若，则
③存在点，使得 ④的最小值为
A．①③B．②④C．②③D．①④
【答案】D
【解析】对于①：由，解得，
则椭圆的标准方程为，故①正确；
对于②：由定义可知，
由余弦定理可得：
，整理得，
则，故②错误；
对于③：设，
，
，由于，
，
则不存在点，使得，故③错误；
对于④：，当且仅当，
即时，等号成立，故④正确；
故选：D
8．（2024·河北·校联考）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．点必在直线上，且以为直径的圆过点
B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点
C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点
D．点必在直线上，且以为直径的圆过点
【答案】D
【解析】设为抛物线上一点，
当时，由得：，在处的切线方程为：，
即，；
同理可得：当时，在处的切线方程切线方程为；
经检验，当，时，切线方程为，满足，
过抛物线上一点的切线方程为：；
设，
则抛物线在处的切线方程为和，，
点满足直线方程：，又直线过焦点，
，解得：，点必在直线上；AC错误；
由题意知：，，
，，；
设直线方程为：，
由得：，，，即，
以为直径的圆过点；B错误，D正确.
故选：D.
9．（2024·青海西宁·统考）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设且，直线，联立，
整理得，则．
设过点的切线方程为，联立，
整理得，由，可得，
则过A的切线为：，即，即，即，
同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：，
联立两切线，则，
所以两条切线的交点在准线上，则，
两式相减得，
，可得，，
又因为直线的斜率为，（也成立），
如图，设准线与轴的交点为，
的面积，
当轴时，最短（最短为），也最短（最短为），
此时的面积取最小值．
故选：B
04 仿射变换问题
10．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】作仿射变换，令，可得仿射坐标系，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆，点坐标分别为，过作两条平行的弦分别与圆交于四点.
由平行四边形性质易知，三角形的面积为四点所形成的平行四边形面积的，故只需令三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到即可.当时，三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到.
故此题离心率的取值范围为.
故答案为：.
11．（2024·江苏·高二专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且， （是非零实数），求 .
【答案】1
【解析】解法1：可得点，设，则，
由可得，即有，
，，两边同乘以，可得，解得，将代入椭圆方程可得，由可得，可得；
故答案为：．
解法2：作变换之后椭圆变为圆，方程为，
，
设，则，
，
∴，
，
∴.
故答案为：．
12．（2024·全国·高三专题练习）如图，作斜率为的直线与椭圆交于 两点，且在直线的上方，则△内切圆的圆心所在的定直线方程为 ．
【答案】
【解析】如图，作仿射变换：，椭圆变为，直线的斜率变为直线的斜率，变为
，
由垂径定理平分，其方程为，
平分，
△内切圆的圆心所在的定直线方程为．
故答案为：
05 圆锥曲线第二定义
13．（2024·四川眉山·校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设双曲线的右准线为，
过、分别作于，于，于，
如图所示：
因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
∴，，
由双曲线的第二定义得：，
又∵，
∴，
∴
故选：B
14．（2024·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】B
【解析】解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，，则∵，由抛物线定义可知，∴，又因为，所以即，由①②可得：
所以.∵，
当时，，当时，，
∴，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是.
∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是，
故选：B.
解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，，，
故选：B.
15．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆=1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M坐标为（ ）
A．B．，
C．D．，
【答案】A
【解析】因为椭圆方程为=1，所以椭圆得离心率，
设点M到椭圆右准线的距离为d，根据椭圆第二定义有：
，所以，所以
表示椭圆上一点M到椭圆内定点P和到椭圆右准线的距离之和，
当垂直于右准线时，取得最小值.此时的纵
坐标为-1，代入椭圆方程=1，求得的横坐标为.
所以点M坐标为，故B，C，D错误.
故选：A.
16．（2024·山东济宁·统考）过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若，则线段BC的中点到准线的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】由抛物线的方程可得焦点，渐近线的方程为：，
由，可得
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图示：作垂直于准线于，
准线交x轴与N,则 ,
故，故 ,
而x轴，故,
所以直线的倾斜角为 ，
所以直线的方程为，
设，，，，
联立，整理可得：，
可得，
所以的中点的横坐标为3，
则线段的中点到准线的距离为 ，
故选：B．
06 焦半径问题
17．（2024·安徽·高二统考期末）过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】抛物线转化成标准方程：，
焦点坐标，准线方程为，
设过的直线方程为，
，整理得．
设，，，
由韦达定理可知：，，
，
，
根据抛物线性质可知，，，
，
的值为，
故选：C．
18．（2024·全国·高三专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由双曲线可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m，，
则，，
，当且仅当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．
检验: 如图，当F、A、B共线且轴时，为双曲线的通径，则根据通径公式得,所以轴不满足题意.
综上，当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．
故选：B．
19．（2024·全国·高三专题练习）抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（ ）
A．m＋n＝mnB．m＋n＝4C．mn＝4D．无法确定
【答案】A
【解析】抛物线的焦点，准线x＝－1，
设，把它代入得，
设，，则，由抛物线定义可得，，
∴，，
∴m＋n＝mn．
故选:A
20．已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，
因为是该抛物线上的两点，故，
所以，
又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.
07 圆锥曲线第三定义
21．（2024·贵州贵阳·高三统考期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设直线AB的方程为：(m为常数),与抛物线方程联立消去,得到关于y的一元二次方程，利用中点公式和韦达定理求得m的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB的长度.抛物线的焦点坐标F(1,0),准线方程,
设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线，垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线，,
∵直线AB过抛物线的焦点F,∴可设直线AB的方程为：(m为常数),
代入抛物线的方程消去x并整理得：,
设A,B的纵坐标分别为,线段AB中点,
则,,
∴直线AB的方程为,,
，
故选：C.
22．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）过椭圆上一点作圆的切线，且切线的斜率小于，切点为，交椭圆另一点，若是线段的中点，则直线的斜率（ ）
A．为定值B．为定值C．为定值D．随变化而变化
【答案】C
【解析】设,,则,化简可得 .因为是线段的中点,故.
代入化简可得的斜率.
又直线与垂直,故,解得,代入圆可得.故直线的斜率为为定值.
故选：C
23．（2024·陕西咸阳·统考）已知双曲线上存在两点，关于直线对称，且线段的中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）．
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】设，，根据线段的中点坐标为，且，关于直线对称，，在双曲线上，整理可得，进而可得到离心率.设，，
且线段的中点坐标为，
则，
又，关于直线对称，
所以，
且，在双曲线上，
，，
相减可得，即，
故，即，
离心率为，
故选：B.
08 定比点差法与点差法
24．（2024·浙江温州·高三温州中学校考阶段练习）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为，.若为定值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设
则过的直线方程为
将直线方程与椭圆联立可得
化简可得
因为相切,所以判别式

展开得
同时除以可得
合并可得
同除以,得
展开化简成关于的方程可得
因为有两条直线,所以有两个不等的实数根.
因为为定值,可设
由韦达定理,
化简得
又因为在椭圆上,代入可得
化简可得
则,化简可得
解得
故选:C
25．（2024·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考期末）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．，或
【答案】A
【解析】先设，，再由点差法求出，再由点，在椭圆内，求出的范围即可得解.设，，
又点，在椭圆上，
则，，
两式相减可得：，
又，
则，
又点，在椭圆内，
则，
则，
所以，
故选：A.
26．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A.
27．（2024·全国·高三专题练习）设、分别为椭圆的左、右焦点，点A、在椭圆上，若，则点A的坐标是 ．
【答案】，或，
【解析】椭圆中，，，
则左焦点，，右焦点，，设，，，．
则，
，
则有， 解得
由点，在椭圆上，则有
解之得，或
故有或即，或，
故答案为：，或，
09 切线问题
28．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知O为坐标原点，点P在标准单位圆上，过点P作圆C：的切线，切点为Q，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】圆C的圆心为，半径，标准单位圆的圆心为，半径，
因为，
可知圆C与标准单位圆外离，即点P在圆C外，
由题意可知：，
且，当且仅当在线段上时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
29．（2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线为：，设点为上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点，则的最小值为 ．
【答案】/4.5
【解析】设切点为，，，即，，
则，整理得到，恒成立.
设，，则，是方程的两个根，，
，则
，
当时，的最小值为.
故答案为：.
30．（2024·山东潍坊·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过上一点（异于原点）作的切线，与轴交于点．若，，则 ．
【答案】1
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线：即，焦点，设，
因为，所以抛物线在M处的切线方程为，
（另法：设抛物线在M处的切线方程为与联立消去y，得到：，利用亦可求出）.
令，得，即，
由题，，
解得.
故答案为：.
31．（2024·全国·高三专题练习）过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
当时，取到最大值．
故的取值范围为：.
故答案为：.
10 焦点三角形问题
32．（2024·河北张家口·高二张家口市第四中学校考阶段练习）已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，因为再结合双曲线方程可解出，再利用三角形面积公式可求出结果.设点，则①．
又，
②．
由①②得，
即，
，
故选B．
33．（2024·全国·高三专题练习）已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切x轴于点M，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在双曲线上，可得，∴、，
如图，设，内切圆与x轴的切点是点M，、与内切圆的切点分别为N、H，
∵由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，
故，即，设内切圆的圆心横坐标为x，
则点M的横坐标为x，故，∴，
∴，
故选：C．
34．（2024·江西宜春·上高二中校考模拟预测）已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如下图示，延长到且，延长到且，
所以，即，
故是△的重心，即，又，
所以，而是的内心，则，
由，则，故，即.
故选：D
11 焦点弦问题
35．（2024·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，若，是线段的三等分点，的周长为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由椭圆的定义，得，
的周长，所以，
所以椭圆.
不妨令点C是的中点，点A在第一象限，因为，
所以点A的横坐标为c，所以，可得，所以，
由中点坐标公式可得，把点B的坐标代入椭圆E的方程，得
，，化简得，又，
所以，得，所以.
所以，椭圆的方程为.
故选：A.
36．（2024·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，下列说法正确的是（ ）
A．若为直角三角形，则的周长是
B．若为直角三角形，则的面积是6
C．若为锐角三角形，则的取值范围是
D．若为钝角三角形，则的取值范围是
【答案】C
【解析】因为双曲线，所以，
不妨设点P在第一象限，则，
若为直角三角形，
当时，则，
又，即，
所以，
，
所以，
所以的周长是，的面积是；
当时，设，
代入方程解得（负值舍去），所以，
故，所以，
所以的周长是，的面积是6，
综上所述，若为直角三角形，
则的周长是或8，
的面积是3或6，
故A、B错误；
若为锐角三角形，根据上述，则的取值范围是，故C正确；
若为钝角三角形，根据上述，则的取值范围是，故D错误.
故选：C.
12 圆锥曲线与张角问题
37．（2024·山东枣庄·统考）设、是椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】 要使得椭圆上存在点满足，则，即，
当时，，解得，
当时，，解得，
所以实数的取值范围是，故选A.
38．（2024·辽宁朝阳·高二统考期末）设分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上异于顶点的两点，，则 ，若点还满足，则的面积为 .
【答案】 1
【解析】由知，由椭圆的对称性得关于原点对称，所以-1.若，则四边形为矩形，所以
故答案为： ，1.
39．（2024·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考阶段练习）已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，过点且斜率为k的直线与圆交于A，B两点（点B在x轴上方），线段与椭圆交于点M，延长线与椭圆交于点N，且，则椭圆的离心率为 ，直线的斜率为 ．
【答案】
【解析】过原点作于点,则为的中点，
又∵, ∴, 即的中点，
∴∥, ∴,
连接, 设，则，，，
在△中，，解得，
在△中，，整理得，
解得，
.
故答案为：；.
13 圆锥曲线与角平分线问题
40．（2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知抛物线上横坐标为4的点到抛物线焦点的距离为，点是抛物线上的点，为坐标原点，的平分线交抛物线于点，且，都在轴的上方，则直线的斜率为 .
【答案】/
【解析】由抛物线上横坐标为4的点到抛物线焦点的距离为，
根据抛物线的定义，可得，解得，所以，
如图所示，因为，可得，所以直线的斜率为，
可得直线的方程为，
联立方程组，整理得，解得或（舍去），
因为都在轴的上方，所以点，
又由的平分线交抛物线于点，可得，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为
联立方程组，整理得，解得或（舍去），
因为都在轴的上方，所以点，
所以的斜率为.
故答案为：.
41．（2024·重庆万州·统考模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是C在第一象限上的一点，且直线的斜率为，的平分线交x轴于点A，点B满足，，则双曲线C的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】过作，
由点满足，
则在方向上的投影与在方向上的投影长度相等,
即，则,
即，即为的平分线,
则为的内心，
连接，又点满足,
,
,
又，则,
又直线的斜率为，,
在中结合余弦定理
，
可得，
化简得，则，
即，即双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
42．（2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点是双曲线上的任意一点，满足，的平分线与相交于点，则分所得的两个三角形的面积之比 .
【答案】或
【解析】如下图所示：
因为双曲线的离心率为，则，所以，，
若点在右支上，且，则，解得，
因为的平分线与相交于点，由角平分线的性质可知，点到直线、的距离相等，
此时，；
若点在左支上，同理可求得，则.
综上所述，或.
故答案为：或.
43．（2024·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点是椭圆上的任意一点，满足的平分线与相交于点，则分所得的两个三角形的面积之比 .
【答案】或
【解析】
设，因为所以，
在Rt中，由勾股定理，得，①
又因为，所以由椭圆的定义得，②
联立①②并化简得：，显然点不在坐标轴上，
若点在第一或第四象限，
则，因为是的平分线，所以；
若点在第二或第三象限，
则，因为是的平分线，所以.
故答案为：或
44．（2024·全国·高三专题练习）已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为 .
【答案】2
【解析】由椭圆的方程可得，，所以，
故，，又平分，则到、的距离相等，设为，则，
设，则，，
由是的中位线，易得，
即，由椭圆性质易知，存在点为椭圆上异于顶点的动点，使，此时最大，且为.
故答案为：
14 圆锥曲线与通径问题
45．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，为的准线上一点，则的面积为（ ）
A．18B．24C．36D．48
【答案】C
【解析】设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），
则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=-∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，
又∵AB⊥x轴
∴|AB|=2p=12
∴p=6
又∵点P在准线上
∴DP=（ +|- |）=p=6
∴S△ABP=（DP•AB）= ×6×12=36
故选:C．
46．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】由题意，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，且通经长为8，
当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为，
可得，解得，所以抛物线方程为；
当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为，
可得，解得，所以抛物线方程为，
所以所求抛物线的方程为.
故选：C.
47．（2024·贵州黔东南·统考）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于(、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为 .
【答案】
【解析】
如图所示，连接，由双曲线的定义知，当且仅当三点共线时取得最小值，此时，由到直线的距离，，由定义知通径等于，
故答案为：.
15 圆锥曲线的光学性质问题
48．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则 ．
【答案】
【解析】如图，由题意可知轴，，
将代入中得，即,
又，则，故的方程为，联立，
可得，解得，或（此时C与B关于x轴对称，不合题意），
则，故，
故答案为：.
49．（2024·山东青岛·统考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于点、，直线为在点处的切线，点关于的对称点为.由椭圆的光学性质知，、、三点共线.若，，则 .
【答案】/
【解析】如下图所示：
因为点关于的对称点为，则，
因为，且，
所以，，所以，，
可得，则，
所以，，故.
故答案为：.
50．（2024·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点为,，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【解析】不妨设点在第二象限，的内切圆与各边的切点分别为,设,
则
，
故，，
，
由于点在第二象限，，所以
，故，
，因此，
，
当代入得（负值舍去），
故答案为：
16 圆锥曲线与四心问题
51．（2024·海南海口·校考模拟预测）已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且 ，若为的内心，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由椭圆的方程可得，，，
设内切圆的半径为，则，
可得，
而，所以，
所以，
所以，
因为，
所以，即．
故选：C．
52．（2024·江西·校联考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】
由椭圆可得，，
如图，设的内切圆与三边分别相切与，，，
，分别为的重心和内心．
则，，，
所以，
所以
故选：D
53．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知的三个顶点均在抛物线上，则下列命题正确的有（ ）
A．若直线BC过点，则存在点A使为直角三角形；
B．若直线BC过点，则存在使抛物线的焦点恰为的重心；
C．存在，使抛物线的焦点恰为的外心；
D．若边AC的中线轴，，则的面积为
【答案】AB
【解析】设三点坐标分别为，
A选项，直线BC过点，设BC方程为，
联立，消去x得，，
，
，
，
所以，而点O在抛物线上，故A正确；
B选项，直线BC过点，设BC方程为，
联立，消去x，得，，
抛物线的焦点恰为的重心，
，，
将A点坐标代入抛物线方程，则，所以，
当时，，故B正确；
C选项，设以抛物线焦点为圆心的圆半径为r，
其方程为，与抛物线方程联立得：，，
方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点，
不存在，使抛物线的焦点恰为的外心，故C不正确；
D选项，AC的方程为，代入抛物线方程得，
，
，
设AC中点轴，，
，代入抛物线方程得，
，
，
故D不正确.
故选：AB.
54．（多选题）（2024·福建三明·统考）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】设，
由，得，得，
由，得，得，
由，得，得，
，
，
，
若为重心、为外心、为垂心，则，
所以，化简得，此时双曲线的离心率，
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得不成立；
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得，此时双曲线的离心率，
若为重心，为垂心、为外心，则，
，化简得，此时双曲线的离心率；
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得或，
此时双曲线的离心率或，
若为重心，为垂心、为外心，则，
所以，化简得或都不成立.
综上所述：或或或.
故选：ABD
55．（多选题）（2024·山东潍坊·统考模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，右顶点为，过的直线交双曲线的右支于，两点（其中点在第一象限内），设，分别为，的内心，则（ ）
A．点的横坐标为2
B．当时，
C．当时，内切圆的半径为
D．
【答案】BCD
【解析】由双曲线方程知：，令圆在x轴上的切点横坐标为，
结合双曲线定义及圆切线性质有，即，
所以圆在x轴上的切点与右顶点为重合，又轴，则的横坐标为1，A错；
由，则，故，
而，所以，故，得，
所以，B对；
若为内切圆圆心且知：以直角边切点和为顶点的四边形为正方形，
结合双曲线定义：内切圆半径
由B分析知：，C对；
由分别是的角平分线，又，
所以，结合A分析易知，
在中，D对.
故选：BCD