河北省石家庄市辛集市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（Word版附解析）

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一、单选择题（每题5分，共40分）
1. 在复数范围内，有下列命题：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数是某一元二次方程的根，则一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（ ）
A. 3B. 2C. 0D. 1
2. 下列命题中成立的是（ ）
A. 各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C. 一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D. 各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
3. 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（ ）
A B. C. D.
5. 已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天的浓度（单位：），数据依次为53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，．已知这组数据的极差为40，则这组数据的第m百分位数为（ ）
A. 71B. 75.5C. 79D. 72
7. 在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
8. 在锐角△中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
二、多选题（每题5分，共20分）
9. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若是边长为1正三角形，则
C. 若，，，则有一解
D. 若，则是钝角三角形
10. 设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
11. 若，其中为虚数单位，则（ ）
A. B.
C. 的共轭复数为D. 的实部为1
12. 甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（ ）
A. 小明得6分的概率为
B. 小明得分低于6分的概率为
C. 小明得分不少于3分的概率为
D. 小明恰好得3分的概率为
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知，，，若点、、在同一条直线上，且，则___________.
14. 哥德巴赫猜想是“每个大于2偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是________（用分数表示）．
15. 在一个掷骰子的试验中，事件表示“出现不大于4的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则事件发生的概率为______．
16. 在中，已知，，，则________.
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17. 已知是两个单位向量，且与的夹角为.
（1）求；
（2）求与的夹角的余弦值.
18. 已知复数是虚数单位.
（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值.
19. 在△ABC中，AB=3，AC=1，∠A=60°.
（1）求sin∠ACB；
（2）若D为BC的中点，求AD的长度.
20. 如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．
21. 甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
（1）求第三局结束时乙获胜概率；
（2）求甲获胜的概率．
22. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（单位：吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），求x的值，并说明理由．（结果保留到小数点后三位）