2024年山东省青岛三中高考数学模拟试卷（一）

这是一份2024年山东省青岛三中高考数学模拟试卷（一），共17页。试卷主要包含了已知直线l1，已知点P是椭圆C等内容，欢迎下载使用。
A. {a|a2}
2.已知直线l1：(a−1)x+2ay=0，l2：(2−2a)x+(a+1)y+1=0，则a=1是l1//l2的条件.( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
3.已知复数z=csθ+isinθ(i为虚数单位)，则( )
A. |z|= 2B. z2=1C. z⋅z−=1D. z+1z为纯虚数
4.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，BC=3EC，F为AE的中点，则BF=( )
A. 13AB−23ADB. 23AB−13ADC. −13AB+23ADD. −23AB+13AD
5.设a=sin22，b=lg2sin2，c=2sin2，则下列关系正确的是( )
A. a>c>bB. c>a>bC. b>a>cD. a>b>c
6.已知点P是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，点F1、F2是椭圆C的左、右焦点，若△PF1F2的内切圆半径的最大值为a−c，若椭圆的长轴长为4，则△PF1F2的面积的最大值为( )
A. 2B. 2 2C. 22D. 33
7.数列{an}满足a1=54，an+1=an2−an+1，n∈N*，则1a1+1a2+⋯+1a2022的整数部分是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.设函数f(x)的定义域为(1,+∞)，满足f(2x)=2f(x)，且当x∈(1,2]时，f(x)=(x−1)(x−2)，若对任意x∈(1,m],都有f(x)≥−1，则m的取值范围是( )
A. (1,6− 2]B. (1,6+ 2]C. (1,12−2 2]D. (1,12+2 2]
9.甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为( )
A. P(M)=12B. P(M|A1)=611
C. 事件M与事件A1不相互独立D. A1，A2，A3是两两互斥的事件
10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则( )
A. 直线BD1⊥平面A1C1D
B. 三棱锥P−A1C1D的体积为定值
C. 异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45∘,90∘]
D. 直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 63
11.已知函数f(x)=x3−3x，下列说法中正确的是( )
A. 函数f(x)在原点(0,0)处的切线方程是3x+y=0
B. −1是函数f(x)的极大值点
C. 函数y=sinx+f(x)在R上有3个极值点
D. 函数y=sinx−f(x)在R上有3个零点
12.(x+1x−1)5⋅(x2+1)的展开式中的常数项为______.
13.公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形(或格点)来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的组带，如图为五角形数的前4个，现有如下说法：
①记所有的五角形数从小到大构成数列{an}，则an+1=an+3n+1；
②第9个五角形数比第8个五角形数多25；
③前8个五角形数之和为288；
④记所有的五角形数从小到大构成数列{an}，则{ann}的前20项和为610，则正确的个数为______.
14.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F1作圆x2+y2=a24的切线，且切线与C的左、右两支分别交于P，Q两点，若cs∠F1QF2=45，则C的离心率为______.
15.某银行招聘，设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择．现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试．若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为23；丙通过B组测试的概率为12；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功．假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题．
(Ⅰ)求丁、戊都竞聘成功的概率．
(Ⅱ)记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
16.记锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知(sinA−2sin2B)tanA=2−2cs2B.
(1)求a2bc；
(2)求sinB+sinCsinA的取值范围.
17.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1，AB1⊥BC.
(1)证明：BC⊥AB；
(2)设D为A1C的中点，AA1=AB=BC=2，求二面角A−BD−C的余弦值.
18.已知抛物线T：y2=2px(p>0)，点F为其焦点，P为T上的动点，Q为P在动直线x=t(t0)作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为AB，CD的中点，求△EHK面积的最小值．
19.函数f(x)=ax−ln(x+1)，g(x)=sinx.
(1)试讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0恒成立，求实数a的集合M；
(3)当a∈M时，判断f(x)图象与g(x)图象的交点个数，并证明.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A={x|0c，
由余弦定理可得a2+b2−c2=4bc+b2−c2>0a2+c2−b2=4bc+c2−b2>0b2+c2−a2=b2+c2−4bc>0，
记cb=t>1，可得4t+t2−1>04t+1−t2>0t>1，解得t∈( 3+2, 5+2)，
又因为函数y=t+1t在( 3+2, 5+2)上单调递增，
所以sinB+sinCsinA=b+ca= (b+c)2a2= b2+c2+2bc4bc= 12+14(t+1t)∈( 62, 1+ 52).
【解析】(1)利用三角恒等变换化简得出sin2A=4sinBsinC，结合正弦定理可得a2bc的值；
(2)分析可知b≠c，设b>c，记cb=t>1，由余弦定理结合已知条件求出t的取值范围，再利用正弦定理结合对勾函数的单调性可求得所求代数式的取值范围．
本题考查余弦定理的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)证明：∵直三棱柱ABC−A1B1C1，
∴BB1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，
∴BC⊥BB1，又BC⊥AB1，且AB1∩BB1=B1，AB1，BB1⊂平面A1ABB1，
∴BC⊥平面A1ABB1，又AB⊂平面A1ABB1，
∴BC⊥AB；
(2)∵BC，BA，BB1两两垂直，∴建立如图，
则根据题意可得：A(0,2,0)，B(0,0,0)，C(2,0,0)，D(1,1,1)，
∴BD=(1,1,1)，BA=(0,2,0)，BC=(2,0,0)，
设平面ABD的一个法向量m=(x,y,z)，
则m⋅BD=x+y+z=0m⋅BA=2y=0，取m=(1,0,−1)，
设平面BDC的一个法向量n=(a,b,c)，
则n⋅BD=a+b+c=0n⋅BC=2a=0，取n=(0,1,−1)，
∴cs⟨m,n⟩=m⋅n|m|⋅|n|=1 2× 2=12，又由图可知所求角为钝角，
∴二面角A−BD−C的余弦值为−12.
【解析】(1)根据线面垂直的判定定理与性质，即可证明；
(2)建系，根据向量法，即可求解．
本题考查线面垂直的判定定理与性质，向量法求解二面角问题，化归转化思想，属中档题．
18.【答案】解：(1)抛物线T：y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，准线x=−p2，
因为△PQF为等边三角形，则有|PQ|=|PF|，
而Q为P在动直线x=t(t0得a(x+1)>1，
当a>0时，x>1a−1>−1，f(x)在(−1,1a−1)上是减函数，在[1a−1,+∞)上是增函数；
当a