2024年广东省广州市越秀区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上；用2B铅笔将考生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．
⒉选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．
3．非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相反数的定义．根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”判断即可．
【详解】解：的相反数是2．
故选B．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
3. 如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（ ）．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是平移的性质，根据图形平移的性质可知，再由，可得出的长，进而可得出结论，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．
【详解】解：将沿方向平移到，，，
，
，
平移距离为3．
故选：B．
4. 石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.3纳米米米．
故选：D．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了幂的乘方运算、完全平方公式、二次根式的加减运算，直接利用幂的乘方运算法则、完全平方公式、二次根式的加减运算法则分别化简，进而得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：A．无法变形，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项符合题意．
故选：D．
6. 关于函数，下列结论成立的是（ ）．
A. 函数图象经过点B. 随的增大而增大
C. 当时，D. 函数图象不经过第一象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．将代入解析式求出函数值，即可判断A选项；根据一次函数的增减性，即可判断B选项；根据一次函数与坐标轴的交点坐标，即可判断C选项；根据一次函数的系数，即可判断D选项．
【详解】解：A．当时，，即函数图象经过点，原结论错误，不符合题意；
B．，即随的增大而减小，原结论错误，不符合题意；
C．函数过点，即当时，，原结论正确，符合题意
D．函数图象经过一、二、四象限，原结论错误，不符合题意；
故选：C．
7. 如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则的值为（ ）
A. 0B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方体的展开图形，代数式求值，根据正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【详解】解：“y”所在面与“3”所在面相对，“z”所在面与“”所在面相对，“x”所在面与“8”所在面相对，
则，
解得：，，，
，
故选：A．
8. 某班35位同学课外阅读物的数量统计如下表所示，其中有两个数据被遮盖，下列关于课外阅读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）．
A. 平均数，方差B. 中位数，方差C. 平均数，众数D. 中位数，众数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键；根据众数和中位数的定义求解即可．
【详解】这组数据中本数为2、3的人数和为：，
则这组数据中出现次数最多的数9，即众数9，与遮盖的数据无关；
，
第个数据为，则中位数为，与被遮盖的数据无关；
故选：D．
9. 如图，点为矩形边的中点，点为边上一点，且，若，，则的长为（ ）．
A. 10B. C. 12D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．根据矩形的性质，先证明，得到，，再证明，得到，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
四边形是矩形，，，
，，
在和中，
，
，
，，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：C
10. 已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
若，则下列结论：①；②若方程的两个实数根为、，则；③；④的最大值为．其中正确的结论是（ ）．
A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根和系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．先得出抛物线对称轴为，进而得到，再根据时的函数值，得出，再分别表示出、，列出不等式组求出的取值范围，即可判断结论；根据一元二次方程根和系数的关系，即可判断结论；根据，，即可判断③结论；根据抛物线的对称性可得，即可判断④结论．
【详解】解：由表格可知，抛物线对称轴为，
，
，
当时，，
，
，
，，
，
，
或，
解得：或，①结论错误；
若方程的两个实数根为、，
则，②结论正确；
，，
，③结论正确；
根据抛物线的对称性可得，当和时的函数值相等，
，
，
，④结论错误；
即正确的结论是②③
故选：B
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 若代数式有意义，则x的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：根据题意知，
解得：，
故答案：．
12. 在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，用总球的个数乘以摸到红球的频率即可得出答案，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，其中摸到红球的频率稳定在0.4，
布袋中红球的个数大约是（个；
故答案为：16．
13. 分式方程的解是________．
【答案】x=-1
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：x-1=2x，
解得：x=-1，
经检验x=-1是分式方程的解，
故答案为：x=-1．
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
14. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，，则高为______．（参考数据：，，）
【答案】10.2
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角形函数的应用是解题关键．首先根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形函数计算的长度即可．
【详解】解：∵，，为边上的高，
∴，
∵，
∴在中，可有，
∴．
故答案为：10.2．
15. 如图，点为菱形的边上一点，且，，点为对角线上一动点，若的周长最小值为6，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称—最短路径问题，勾股定理逆定理，锐角三角函数，推出是直角三角形是解题关键．连接、，根据菱形好轴对称的性质，得到，进而求出，再利用勾股定理逆定理，推出是直角三角形，再求正弦值即可．
【详解】解：如图，连接、，
四边形是菱形，，，
，点和点关于对称，，
，
，
的周长，
的周长最小值为6，
，
，，，
，
是直角三角形，，
，
，
故答案为：
16. 如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接．

（1）外接圆的直径的最小值是______；
（2）内切圆的半径的最大值是______．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆和内切圆综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握直角三角形外接圆直径为斜边长，内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解题关键．
（1）当时，作为外接圆的直径最小，由勾股定理可得，设，则，根据列方程，求出的值，进而得到的长即可求解；
（2）令，，,内切圆半径为，利用完全平方公式可得，进而推出，再根据当时，有最大，即当时，内切圆的半径的最大，证明，得到，设，则，求出，进而得到，再根据直角三角形内切圆半径公式求解即可．
【详解】解：（1）为直角三角形，
外接圆直径为斜边的长，
当时，作为外接圆的直径最小，如图，
，，，
，
，
设，则，
，
解得：，
，
故答案为：

（2）令，，,内切圆半径为，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
当时，，此时最大，
当时，有最大值，
即当时，内切圆的半径的最大，
，，
，
，，
，
，
设，则，
，
，即，
，
内切圆半径为
故答案为：

三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤解方程即可求解．
【详解】解：，
去分母得，，
移项得，，
解得：．
18. 如图，线段与相交于点，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键．
根据平行线的性质可得，再根据对顶角相等并结合已知条件可证，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．
详解】证明：∵，
∴，
在和中，
,
∴，
∴．
19. 已知：．
（1）化简；
（2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，一元二次方程根的判别式，掌握相关运算法则是解题关键
（1）先将除法化为乘法约分，再通分计算减法即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式，求得或，再结合分母不为0，得到，代入计算求出的值即可．
【小问1详解】
解：
；
小问2详解】
解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：或，
，
，
，
20. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，四边形是平行四边形，反比例函数过点，且与边交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点为边的中点，求直线的解析式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）根据平行四边形的性质可知，点的纵坐标相同为3，求得，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可．
【小问1详解】
解：反比例函数过点，
，
反比例函数解析式为：；
【小问2详解】
解：四边形平行四边形，
,
点的纵坐标相同为3，
点为边的中点，点的纵坐标为0，
点的纵坐标为，
当时，，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为：．
21. “英雄花开英雄城”2024广州传承弘扬红色文化系列活动正如火如荼地开展．某社区组织了形式多样的学雷锋志愿服务活动，活动现场设置义诊、科普宣传、普法宣传、消防宣传、交通宣传等多个便民服务摊位，吸引了众多市民前来参与活动．其中，前来参与义诊活动的100位市民的年龄整理可得如下的频数分布表：
（1）参与义诊活动的市民平均年龄为______岁；
（2）某医院安排了4名医生前来为市民提供义诊，现要从这4名医生（其中3名女医生，1名男医生）中随机抽调2人到附近养老院为老人义诊，用树状图或列表的方法求抽取的两名医生恰好都是女医生的概率．
【答案】（1）43 （2）
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数，列表法或树状图法求概率．
（1）根据加权平均数的定义列式计算即可；
（2）根据题意画出树状图，再利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：参与义诊活动的市民平均年龄为岁，
故答案为：43
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种情况，其中两名医生恰好都是女医生的情况有6种，
即抽取的两名医生恰好都是女医生的概率为．
22. 人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们生活品质．某科创公司计划投入一笔资金购进、两种型号的芯片．已知购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元．
（1）求购进1片型芯片和1片型芯片各需多少元？
（2）若该科创公司计划购进、两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？
【答案】（1）购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元；
（2）该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少,最少资金是万元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键．
（1）设购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元，根据“购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元”列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进型芯片的数量为万片，则购进型芯片数量为万片，根据“购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍”列不等式，求出的取值范围，令购买芯片所需资金为，根据题意得到关于的一次函数，利用一次函数的增减性求解即可．
【小问1详解】
解：设购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元，
由题意得：，解得：，
答：购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元；
【小问2详解】
解：设购进型芯片的数量为万片，则购进型芯片数量为万片，
由题意得：，
解得；，
令购买芯片所需资金为，
则，
，
随增大而增大，
当时，最小，最小值为万元，
万片，
答：该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少,最少资金是万元
23. 如图，为内接四边形，为的直径，，点为上一点，且．

（1）求作点，连接，延长，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接．
①求证：为等腰三角形；
②若，，求弦的长．
【答案】（1）详见解析
（2）①详见解析；②
【解析】
【分析】利用垂径定理的性质可作的垂直平分线交圆O与点E，即可得解；
①如图，连，利用圆周角定理证出，，由四边形为圆内接四边形证出，进而可证出，即可得解，②先证出，再由勾股定理得出，由得出比值，代入计算即可得解．
【小问1详解】
如图，作的垂直平分线交圆O与点E，点E即为所求作的点，
【小问2详解】
①如图，连，，

∵ ，为直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
②∵所对的圆周角为，
∴，
∵，
∴，
由①知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的综合性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
24. 已知抛物线经过点．
（1）用含的式子表示；
（2）当时，设该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，的外接圆与轴交于另一点（点与点不重合），求点的坐标；
（3）若点，，在该抛物线上，且当时，总有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，三角形的外接圆，同弧所对的圆周角相等；
（1）把点代入抛物线，即可求解；
（2）先求得的坐标，进而得出是等腰直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等得出得出是等腰直角三角形，即可求解；
（3）根据在该抛物线上，则，由当时，总有，分点在之间，和对称轴右侧两种情况，分类讨论，即可求解．
【小问1详解】
解：把点代入抛物线，
得，，
解得：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
当时，则，
解得：或；
又∵点在点的左侧，
∴，，
当时，则，即，
∴当时，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵的外接圆与轴交于另一点，
∴，即是等腰直角三角形，
∵，则，
根据圆的对称性可得：；
【小问3详解】
解：在该抛物线上，则，
∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∴点的横坐标，即点在对称轴的左侧，
∵当时，总有，
∴图①不成立，

当的位置满足图②时，，
解得：，
∴，则，
当的位置满足图③时，则，
解得：，此时，
综上所述， 或．
25. 如图，矩形中，，，点E，F分别为边，上的点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．射线与对角线交于点，连接，．
（1）求的度数；
（2）若，求的值；
（3）连接，，若，设和的面积分别为，，当点在边上运动时，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据性质的性质可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解；
（2）过点作，于点，延长至点，使得，连接，得出，证明，，进而证明，得出，连接，证明，得出，进而根据，即可求解；
（3）取的中点，连接， ，过点作于，过点作分别交、于、，得出，证明，，，四点共圆，进而证明，得出，求得，设则，根据表示出，则，根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴是等边三角形，
∴，
【小问2详解】
如图所示，过点作，于点，延长至点，使得，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又∵，，
，
，
又，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图，取的中点，连接， ，过点作于，过点作分别交、于、，
由（1）可得是等边三角形，
点为的中点，
，
，
则
又，
，
，，，四点共圆，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
， ，
，
，
，
，
，
∴，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设则，
，
，
，
，
，
∴当时，取的最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，勾股定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．课外阅读物的数量
人数
■
■
…
0
1
2
3
…
…
1
1
…
年龄分组/岁
频数
15
25
40
20