2024年山东省东营市垦利县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 2024的绝对值是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，根据绝对值的意义解答即可．
【详解】解：2024的绝对值是2024．
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的加法，同底数幂的乘除法，幂的乘方这些公式进行运算即可．
【详解】A选项，和不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B选项，，正确，故符合题意；
C选项，，不正确，故不符合题意；
D选项，，不正确，故不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查整式的运算，属于基础题，熟练掌握同底数幂的加法，同底数幂的乘除法，幂的乘方这些运算法则是解题的关键．
3. 如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（ ）
A 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图
【答案】C
【解析】
【分析】从正面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1；从左面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次，2，2，1，依此画出图形即可判断．
【详解】解：如图所示
主视图和左视图都是由4个正方形组成，俯视图由5个正方形组成，所以俯视图的面积最大．
故选：C．
【点睛】本题主要考查作图-三视图，正确画出立体图形的三视图是解答本题的关键．
4. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若，则下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上有理数的位置，计算判断即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键．
【详解】∵，,
∴A. ,错误，不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意；
故选D．
5. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解出不等式组中的每一个不等式的解集，然后即可写出不等式组的解集，再在数轴上表示出每一个不等式的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①，得：x＞-6，
解不等式②，得：x≤13，
故原不等式组的解集是-6＜x≤13，
其解集在数轴上表示如下：
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法，会在数轴上表示不等式组的解集．
6. 1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率计算公式分别求出四种花色的概率即可得到答案．
【详解】解：∵一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1张，红桃牌有3张，梅花牌有1张，方片牌有2张，
∴抽到的花色是黑桃的概率为，抽到的花色是红桃的概率为，抽到的花色是梅花的概率为，抽到的花色是方片的概率为，
∴抽到的花色可能性最大的是红桃，
故选B．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，正确求出每种花色的概率是解题的关键．
7. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）

A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．
根据反比例函数图象的特点得出点横坐标，再利用函数图象可直接得出结论．
【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点的横坐标为2，
点的横坐标为．
由函数图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方，
当时，的取值范围是或．
故选：A．
8. 如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；连接，，，过点作于点于点，则以下结论错误的是（ ）
A. 是等边三角形B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等边三角形的判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证明；利用等边三角形的性质结合三角形面积可判定选项D．
【详解】解：A．∵，，
∴是等边三角形，故选项A成立，不符合题意；
B．由作图知：射线是的平分线，且，，
∴，故选项B成立，不符合题意；
C．由作图知：，又，
∴(HL) ，故选项C成立，不符合题意；
D．设与交于点G，由题意可得，但无法证明，
∴无法确定，故选项D不成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的判定、菱形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
9. 如图，在四边形中，，以点D为圆心，为半径作圆．若点C在上，为的切线，且，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图：过点D作于点E，根据平行线的性质和已知条件可得，根据得出，即可得出，最后用扇形的面积减三角形的面积得出阴影部分的面积即可．
【详解】解：如图：过点D作于点E，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、垂径定理、等腰三角形的判定和性质、扇形面积计算公式等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
10. 如图，Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②DO=OE；③H是BF的中点；④BC-CF=2CE；⑤CD=HF，其中正确的有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证，根据，可得，根据三角形的内角和可得，即DE平分∠HDC，所以①正确；
利用，得到四边形是矩形，有，，由①有DE平分∠HDC，得，可得,，可证，利用 易证，则有，，所以②正确；
过作于，并延长交于点，得，是的中点，是的中点，是的中点，所以③正确；
根据是等腰直角三角形，，∵是的中点，是的中点，得到，，，易证，所以④正确；
利用AAS证明，则有，，易的，，则不是直角三角形，并 ，即有：，所以⑤不正确；
【详解】解：∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，
∴
又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，
∴，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，
∴， ，，
∴
∴，
∴
∴，∴,
又∵
∴
∴由三角形的内角和可得，
即：DE平分∠HDC，所以①正确；
∵
∴四边形是矩形，
∴
∴，
由①有DE平分∠HDC，∴
∵，
∴,
∴
∴
在中，
∴
∴
∴
∴，所以②正确；
过作于，并延长交于点，
∵
∴
又∵是等腰直角三角形，
∴是的中点，
∵四边形是矩形，
∴是的中点，
∴是的中点，所以③正确；
∵是等腰直角三角形，
∴
又∵是的中点，是的中点，
∴，，，
∴
即有：，所以④正确；
在和中，
，
∴，
，，
∵
∴，
∴
∴不是直角三角形，并
即有：，所以⑤不正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
二．填空题（共8小题）
11. 2023年10月26日，神州十七号载人飞船发射取得圆满成功，江新林、汤洪波、唐胜杰3位航天员将与神州十六号航天员会师太空．空间站距离地球约为，用科学记数法可表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：．
故答案为．
12. 因式分解：=_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．
故答案为：（a+2b）（a-2b）
13. 在中，，则________．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，根据题意画出图形是解题的关键．
先根据题意画出图形，由勾股定理求出的长，再由锐角三角函数的定义进行解答即可．
【详解】解：如图：∵在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根和的公式即可得解．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为，
∴，
解得：，
故答案为：2．
15. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米．
【答案】3
【解析】
【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决．
详解】解：（米），
∴AB∥DC．
（米）．
故答案为：3
【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键．
16. 如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是___________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的可得S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,进而可得S△ABD = S△OBD,根据点B在双曲线上，BD⊥ y轴，可得S△OBD=4，进而即可求解．
【详解】点C是OA的中点，
∴S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,
∴S△ACD + S△ACB = S△OCD + S△OCB,
∴S△ABD = S△OBD,
点B在双曲线上，BD⊥ y轴，
∴S△OBD=×8=4,
∴S△ABD =4,
答案为：4.
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
17. 如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为__________．

【答案】##24米
【解析】
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的x的值，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
当时，，
当水位上升时，则此时，
则：，
解得：或，
水面宽为：，
故答案为：．
18. 如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；…按此规律，所得线段长等于________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形计算、等腰三角形性质、图形规律等知识点，发现线段之间的规律是解题关键．
根据已知条件先求出的长，再根据外角、直角可推出是等边三角形，同理可得出其他等边三角形，然后归纳规律并运用规律即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
同理可得：，……，．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19. 计算及先化简再求值
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，且a的值满足．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、分式的化简求值等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
（1）先运用零次幂、负整数次幂、特殊角的三角函数值以及绝对值进行化简，然后再运算即可．
（2）先根据分式的混合运算法则化简，再由可得，最后整体代入计算即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
，
，
，
∴原式．
20. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：
收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78
整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：
分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1） ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是 度；本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙”）；
（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”）；
（3）现在甲、乙两校要共同举行第二轮升级赛，想从两校成绩均在范围内的学生中选取两名参加比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人恰在同一学校的概率．
【答案】（1）；；乙
（2）甲 （3）
【解析】
【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图、中位数、方差、用样本估计总体等知识点，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）根据频数分布表以及中位数的定义即可得到m的值；根据乙校成绩在这一组的频数所占比例乘以即可；根据方差的意义即可解答．
（2）根据这名学生的成绩74分，小于甲校样本数据的中位数76分，大于乙校样本数据的中位数分即可解答．
（3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出所选两位选手来自同一学校的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：（1）把甲校40名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是72，73，故中位数．
乙校成绩在这一组的扇形的圆心角是．
由于甲校的成绩的方差乙校的成绩的方差，
所以本次测试成绩更整齐的是乙校．
故答案为：；；乙．
【小问2详解】
解：在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是甲校的学生．理由：甲校的中位数是，乙校的中位数是．
故答案为：甲．
小问3详解】
解：根由频数分布表可知：甲乙两校各有2名学生在范围内，
据题意画出如下树状图
由树状图可得共有12种等可能的结果数，其中所选两位选手来自同一学校的结果数为4，
所以所选两位选手来自同一学校的概率为．
21. 如图，为的直径，点D为上一点，点E是的中点，连接，过点A的切线与的延长线交于点C，弦相交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识点，熟练运用三角函数解直角三角形是解题的关键．
（1）根据切线的性质可得，即，再根据圆周角定理可得，进而得到，最后根据等量代换即可解答；
（2）先说明，再利用三角函数可得；再说明，然后运用三角函数可得，最后根据线段的和差即可解答．
【小问1详解】
证明：与相切于点，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，即．
【小问2详解】
解：，
，
在中，，
，
点是的中点，
，
，
，
在中，，
，
的长为2．
22. 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆；两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计，EF长度远大于车辆宽度），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4是否合理？请通过计算说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4合理．
【解析】
【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG＝90°，∠EHA＝90°．先求出∠AEH＝53°，则∠EAH＝37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH＝AE•sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
【详解】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG＝∠HEF＝90°，
∵∠AEF＝143°，
∴∠AEH＝∠AEF﹣∠HEF＝53°，
∠EAH＝37°，
在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2米，
∴EH＝AE•sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72（米），
∵AB＝1.2米，
∴AB+EH≈1.2+0.72＝1.92＞1.9米．
∴该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4合理．
【点睛】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．
23. 为丰富学生课外业余生活，某校计划购买A，B两种羽毛球．已知两种羽毛球的购买信息如表所示：
（1）A，B两种羽毛球每副的价格分别是多少元？
（2）若学校计划购买A，B两种羽毛球共35副，B种羽毛球的数量不超过A种羽毛球数量的2倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】（1）A种羽毛球每副的价格为40元，B种羽毛球每副的价格为30元
（2）购进A种羽毛球12副、B种羽毛球23副时，总费用最少，最少总费用是1170元
【解析】
【分析】（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买直拍球拍m副，则购买B种羽毛球副，购买羽毛球的总费用为w元,根据题意列出费用关于m的一次函数，再根据题意列出不等式，解不等式求出m的范围，然后根据一次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：设A种羽毛球每副的价格为x元，B种羽毛球每副的价格为y元，
根据题意，得，
解得，
答：A种羽毛球每副的价格为40元，B种羽毛球每副的价格为30元．
【小问2详解】
解：设购买A种羽毛球m副，则购买B种羽毛球副，购买羽毛球的总费用为w元．
根据题意，得．
∵B种羽毛球的数量不超过A种羽毛球数量的2倍，
∴．解得，
∴．
∵，
∴w随m的增大而增大，
∵m是正整数，
∴当时，w有最小值，
最小值为．
此时．
答：当购进A种羽毛球12副、B种羽毛球23副时，总费用最少，最少总费用是1170元．
【点睛】本题考查的二元一次方程组与一元一次不等式实际应用问题，一次函数的应用，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式并正确解出方程组和不等式，利用一次函数的性质求最小值是解题的关键．
24. 综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：
如图1，在矩形中，点E为边的中点，沿折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长与交于点G．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；
（2）迁移思考：
如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，当时，求的值；
（3）拓展探索：
如图2，四边形为平行四边形，其中与是对角，点E为边中点，沿折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长与射线交于点G．若，，请直接写出线段的值．
【答案】（1），见解析
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）连接，根据矩形的性质，折叠的性质，证明，即可得出结论；
（2）勾股定理求出的长，设，根据，进行求解即可；
（3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
连接，如图：
∵四边形为矩形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
设，则：，
由（1）知：，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
当点在线段的延长线上时，连接，如图：
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在线段上时：如图：
同法可得：，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查矩形与折叠，平行四边形与折叠，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形是解题的关键．
25. 若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．
【答案】（1）
（2）线段最大值为，点P的坐标为
（3）满足条件的点M的坐标有或或
【解析】
【分析】（1）先求出A，B点坐标，根据B点和C点坐标设二次函数交点式，将A点坐标代入即可求解；
（2）延长交于点H，设，则，用含m的式子表示出的长，化为顶点式即可求出最值；
（3）分为边、为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求解．
【小问1详解】
解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴函数的表达式为：，
把代入得：，
解得：，
故该抛物线得表达式为；
【小问2详解】
解：延长交于点H，如图，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
，
∴此时点P的坐标为；
【小问3详解】
解：∵，
∴抛物线y的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为，
把代入得：，
解得：，，
∴，
∵N是原抛物线对称轴上一动点，
∴设，
∵点M在新抛物线上，
∴设，
①当为边时，
点向右平移4个单位得到点，
∴点向右平移4个单位得到，或点向右平移4个单位得到点，
∴或，
解得：或6，
当时，，
当时，，
∴点M的坐标为或；
②当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：，
当时，，
∴点M的坐标为；
综上，满足条件的点M的坐标有或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，平行四边形的存在性问题等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．组别
甲
4
11
13
10
2
乙
6
3
15
14
2
统计量
平均数
众数
中位数
方差
甲
86
m
乙
84
76
A种（副）
B种（副）
总费用（元）
20
30
1700
15
25
1350