北京市京源学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题(原卷版+解析版)
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1. 唐朝李绅的《悯农》中有云:锄禾日当午,汗滴禾下土.谁知盘中餐,粒粒皆辛苦.所以我们要爱惜粮食.已知一粒大米的质量约为千克,这个数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法,科学记数法的表现形式为的形式,其中,n为整数,确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同,当原数绝对值大于等于10时,n是正数,当原数绝对值小于1时n是负数;由此进行求解即可得到答案.
【详解】解:,
故选C.
2. 若是关于x,y的二元一次方程ax+3y=1的一个解,则a的值为( )
A. 5B. 4C. ﹣5D. ﹣4
【答案】A
【解析】
【分析】直接把代入方程ax+3y=1即可得到结果.
【详解】将代入二元一次方程ax+3y=1,
得2a−9=1,
解得:a=5,
故选:A.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握二元一次方程组的解的定义.
3. 若,则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质:(1)不等式两边同加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变;(2)不等式两边同乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;(3)不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即可一一判定.
【详解】解:,
,,,,
故A、C、D错误,B正确,
故选:B.
【点睛】本题考查了不等式的性质,熟练掌握和运用不等式的性质是解决本题的关键.
4. 如图,直线BC,DE相交于点O,AO⊥BC于点O. OM平分∠BOD,如果∠AOE =50°,那么∠BOM的度数是
A. 20°B. 25°C. 40°D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据AO⊥BC可得∠AOC=90°, 然后根据∠COE=90°-∠AOE求出∠COE的度数,由对顶角相等可得∠BOD=∠COE,再根据角的平分线的定义求得∠BOM即可.
【详解】∵AO⊥BC,
∴∠AOC=90°,
∴∠COE=90°-∠AOE=90°-50°=40°,
∴∠BOD=∠COE=40°.
∵OM平分∠BOD,
∴∠BOM=∠BOD =×40°=20°.
故选A.
【点睛】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义以及对顶角的性质,正确求得∠BOD的度数是关键.
5. 下列各式运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方计算,幂的乘方计算,完全平方公式和合并同类项,熟知相关计算法则是解题的关键.
【详解】解:A、与不是同类项,不能合并,原式计算错误,不符合题意;
B、,原式计算错误,不符合题意;
C、,原式计算错误,不符合题意;
D、,原式计算正确,符合题意;
故选:D.
6. 习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气”.某校为提高学生的阅读品味,现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书.已知购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元;购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同.如果设《北上》的单价是元,《牵风记》的单价是元.那么根据题意列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元;购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可;
【详解】解:如果设《北上》的单价是元,《牵风记》的单价是元.由题意得:
故选A.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,弄清题意、确定等量关系是解答本题的关键.
7. 如果关于的不等式的解集如图所示,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】表示出不等式的解集,由数轴上表示的不等式解集确定出a的值即可.
【详解】解:已知不等式移项得:3x≤a-1,
解得:x≤,
由数轴得:x≤-1,
∴=-1,
解得:a=-2.
故选:B.
【点睛】此题考查了解一元一次不等式,以及在数轴上表示不等式的解集,熟练掌握不等式的解法是解本题的关键.
8. 如图,把一个周长为定值长方形(长小于宽的3倍)分割为五个四边形,其中A是正方形,周长记为,B和D是完全一样的长方形,周长记为,C和E是完全一样的正方形,周长记为,下列为定值的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设B和D的宽为a,长为c,C和E的边长为b,然后根据大长方形的周长为定值,列式得到是定值,然后根据A是正方形,得到,解得,进而求解即可.
【详解】如图所示,设B和D的宽为a,长为c,C和E的边长为b,
∵大长方形的周长为定值,
∴是定值,
∴是定值,
∵A是正方形,
∴,解得,
∴是定值,
∴B和D的周长是定值;
∴是定值,
∴C和E的周长是定值.
根据题意无法判断的值,
故选:C.
【点睛】本题主要考查了正方形和长方形的周长、线段的相关运算等知识,整式的加减运算,理解题意,结合图形分析是解题关键.
二、填空题(每小题2分,共16分)
9. 如果与互补,且,那么____.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个角的补角的度数,根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可.
【详解】解:∵与互补,
∴,
∵,
∴,
故答案为:.
10. 已知:,请写出一个使不等式成立的m的值,这个值可以为______.
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】根据不等式的性质求解即可.
【详解】∵
∴当时,
∴m的值可以为(答案不唯一).
故答案为:(答案不唯一).
【点睛】此题考查了不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的性质.
11. 已知关于x,y二元一次方程组 的解互为相反数,则k的值是_________.
【答案】-1
【解析】
【详解】∵关于x,y的二元一次方程组 的解互为相反数
∴x=-y③
把③代入②得:-y+2y=-1
解得y=-1
∴x=1
把x=1,y=-1代入①得2-3=k
即k=-1
故答案为:-1
12. 如果多项式可以写成二项式的完全平方形式,那么的值为________.
【答案】25
【解析】
【分析】根据完全平方式:,求解即可.
【详解】解:∵多项式 是一个二项式的完全平方式,
∴ ,
故答案为: 25 .
【点睛】本题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键.
13. 已知,,则代数式的值为_______.
【答案】5
【解析】
【分析】首先将变形为,然后代入求解即可.
【详解】∵,,
∴
.
故答案为:5.
【点睛】此题考查了代数式求值,完全平方公式,解题的关键是将变形为.
14. 若不等式组的解集中共有3个整数解,则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集,然后求出其公共解,最后根据其有3个整数解求出的取值范围.
【详解】解:,
由①得,
由②得,
不等式的解集为,
关于的不等式组的解集共有3个整数解,
这3个数为0,,,
即.
故答案为:.
【点睛】本题考查不等式组的解法、整数解的确定.求不等式组的解集,解题的关键是应遵循以下原则:同大取大,同小取小,小大大小中间找,大大小小解不了.
15. 已知am=10,an=5,则=________
【答案】20
【解析】
【分析】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则解答即可.
【详解】解:∵am=10,an=5,
∴a2m−n=(am)2an=1025=20.
故答案:20.
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方,熟记幂的运算法则是解答本题的关键.
16. 设是实数,定义一种新运算;.下面有四个推断:①;②;③;④.其中正确推断的序号是______.
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式,解题的关键是新运算规则,对选项逐个进行判断.
【详解】解:,,故①正确;
,,故②错误;
,,故③正确;
,,故④错误;
即正确的为①③,
故答案为:①③.
三、计算题(本题共34分,第17题8分,第18题8分,第19,22题每题5分,第20,21题每题4分)
17. 直接写出计算结果:
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式,多项式除以单项式,单项式乘以单项式,积的乘方的逆运算:
(1)根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可;
(2)根据积的乘方的逆运算法则求解即可;
(3)根据多项式除以单项式法则求解即可;
(4)根据完全平方公式求解即可.
【小问1详解】
解:,
故答案为:;
【小问2详解】
解:
,
故答案为:;
【小问3详解】
解:,
故答案为:;
【小问4详解】
解:,
故答案为:
18. 计算:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)先根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方计算,再合并同类项即可;
(2)先根据完全平方公式和平方差公式展开,再利用整式除法计算即可.
【小问1详解】
原式;
【小问2详解】
原式
.
【点睛】本题考查整式的混合运算,熟练掌握整式的运算法则是解题的关键.
19. 计算:.
【答案】
【解析】
【分析】先化简各式,然后再进行计算即可解答.
【详解】解:原式
【点睛】本题考查了负整数指数幂,绝对值,有理数的乘方,有理数的加减混合运算,零指数幂,准确熟练地进行计算是解题的关键.
20. 解方程组:
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组,把①代入②求出y,进而求出x即可.
【详解】解:
把①代入②得:,解得,
把代入①得:,
∴方程组的解为.
21. 解不等式,并把解集在数轴上表示出来.
【答案】,图见解析
【解析】
【分析】先去括号,再移项、合并同类项、最后系数化1即可,再在数轴上把解集表示出来.
【详解】解:去括号得,,
去括号得,,
合并同类项得,,
系数化为1得,,
解集在数轴上表示为:
【点睛】本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集,是基础知识要熟练掌握.
22. 求不等式组的非负整数解.
【答案】
【解析】
【分析】考查了一元一次不等式组的整数解,先求得两个不等式的解集,再得到不等式组的解集,从中得到非负整数即可.
【详解】解:
解不等式①得:
解不等式②得:
∴不等式组的解集为:,则非负整数解为:
四、解答题(本题共34分,第23,24,27题每题5分,第25,26题每题6分,第28题7分)
23. 先化简,再求值:(2x+3)(2x﹣3)﹣4x(x﹣1)+(x﹣2)2,其中x=3.
【答案】x2﹣5,4.
【解析】
【分析】直接利用乘法公式化简,进而合并同类项,再把已知数据代入求出答案.
【详解】解:原式=4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4
=x2﹣5,
当x=3时,
原式=325=4.
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算,正确运用乘法公式是解题关键.
24. 已知关于x,y的方程组的解是正数,求的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组,先解方程组,用表示出,的值,然后根据、都是正数列关于的不等式组求解即可.
【详解】解:
得,
解得:
将代入①得,
∵方程组的解为正数,
∴
解得:
25. 我市正在创建“全国文明城市”,某校拟举办“创文知识”抢答赛,欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者.如果购买A种20件,B种15件,共需380元;如果购买A种15件,B种10件,共需280元.
(1)A、B两种奖品每件各多少元?
(2)现要购买A、B两种奖品共100件,总费用不超过900元,那么A种奖品最多购买多少件?
【答案】(1)A种奖品每件16元,B种奖品每件4元.(2)A种奖品最多购买41件.
【解析】
【分析】(1)设A种奖品每件x元,B种奖品每件y元,根据“如果购买A种20件,B种15件,共需380元;如果购买A种15件,B种10件,共需280元”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设A种奖品购买a件,则B种奖品购买(100﹣a)件,根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元,即可得出关于a的一元一次不等式,解之取其中最大的整数即可得出结论.
【详解】(1)设A种奖品每件x元,B种奖品每件y元,
根据题意得:,
解得:,
答:A种奖品每件16元,B种奖品每件4元;
(2)设A种奖品购买a件,则B种奖品购买(100﹣a)件,
根据题意得:16a+4(100﹣a)≤900,
解得:a≤,
∵a为整数,
∴a≤41,
答:A种奖品最多购买41件.
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据不等关系,正确列出不等式.
26. 如图,,,平分,.
(1)求的度数(用含n的代数式表示),请将以下解答过程补充完整.
解:∵,
∴.
∵.
.
∴ .(理由: )
∵,
∴.
∵平分,
∴.
∴ .
(2)用等式表示与的数量关系.
【答案】(1);同角的余角相等;
(2)
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算,同角的余角相等:
(1)根据角之间的关系,同角的余角相等结合已给推理过程求解即可;
(2)先求出,再求出,则.
【小问1详解】
解:∵,
∴.
∵.
.
∴.(理由:同角的余角相等)
∵,
∴.
∵平分,
∴.
∴.
故答案为:;同角的余角相等;;
【小问2详解】
解:∵,
∴,
∵,
∴
∴ .
27. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图1,然后将剩余部分拼成一个长方形如图2.
(1)上述操作能验证的等式是____;请选择正确的一个
A、 B、 C、
(2)应用你从(1)选出的等式,完成下列各题:
①已知,,求的值.
②计算:
【答案】(1)B (2)①3;②
【解析】
【分析】(1)用两种方法表示阴影部分的面积即可得出所验证的等式;
(2)①将,再整体代入计算即可;②将原式转化为即可.
【小问1详解】
解:图1中阴影部分的面积为,
图2阴影部分的长为,宽为,
因此图2阴影部分的面积为,
由于图1、图2的阴影部分的面积相等可得,
故答案为:B;
【小问2详解】
①,即,
又,
;
②原式
.
【点睛】本题考查平方差公式,掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提.
28. 定义:对任意一个两位数a,如果a满足个位数字与十位数字互不相同,且都不为零,那么称这个两位数为“迥异数”.将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数,把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f(a).例如:a=12,对调个位数字与十位数字得到新两位数21,新两位数与原两位数的和为21+12=33,和与11的商为3311=3,所以f(12)=3.
根据以上定义,回答下列问题:
(1)填空:
①下列两位数:40,42,44中,“迥异数”为 ;
②计算:f(23)= .
(2)如果一个“迥异数”b的十位数字是k,个位数字是2(k+1),且f(b)=11,请求出“迥异数”b.
(3)如果一个“迥异数”c,满足c5f(c)30,请直接写出满足条件的c的值.
【答案】(1)①42,②5;(2)38;(3) 71或81或82或91或92或93.
【解析】
【分析】(1)①由“迥异数”的定义求解即可;
②根据定义计算可得;
(2)先将这个“迥异数”用k的代数式表示为:12k+2,再计算f(b)的值,最后利用等式f(b)=11即可求得b.
(3)设这个“迥异数”的十位和个位分别是m和n,将这个数c及f(c)分别用m和n的代数式表示,然后再通过给出的不等式求解即可.
【详解】解:(1)①由定义“个位数字与十位数字互不相同,且都不为零,那么称这个两位数为迥异数”可知,40,42,44中,“迥异数”为42.
故答案为:42.
②f(23)=(23+32)÷11=5.
故答案为:5.
(2)∵这个“迥异数”b的十位数字是k,个位数字是2(k+1)
∴b=10×k+2(k+1)=12k+2.
将这个数的个位和十位调换后为:10×2(k+1)+k=21k+20
∴f(b)=(12k+2+21k+20)÷11=3k+2
又f(b)=11
∴3k+2=11
∴k=3
故这个“迥异数”b=12k+2=38.
故答案为:38.
(3) 设这个“迥异数”c的个位为n,十位为m,则m≠n,且m,n均为大于1小于10的正整数.
则c=10m+n,调换个位和十位后为:10n+m
故f(c)=(10m+n+10n+m)÷11=m+n
∵c5f(c)30
∴10m+n-5(m+n) 30
整理得:5m-4n>30
∴,即……①
又∵
∴,解得:
又n为正整数
故n=1或2或3
当n=1时,代入①中,m=7或8或9,此时c=71或81或91;
当n=2时,代入①中,m=8或9,此时c=82或92;
当n=3时,代入①中,m=9,此时c=93.
故所有满足条件的c有:71或81或82或91或92或93.
【点睛】本题借助“迥异数”这个新定义考查了一元一次不等式的解法,能理解题目意思,理解“迥异数”是解决此题的关键.
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