广东省佛山市顺德区第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数的导数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将函数变形为，然后根据复合函数的求导法则求解出.
【详解】解析：因为，所以，
所以，
故选：C.
2. 若数列满足，则称为“梦想数列”，已知数列为“梦想数列”，且，则（ ）
A. 18B. 16C. 32D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】根据“梦想数列”的定义，得出数列为公比为的等比数列，进而得到数列为公比为3的等比数列，结合等比数列的性质，即可求解.
【详解】根据题意，梦想数列满足，即，
即数列为公比为的等比数列，
若数列为“梦想数列”，则，即，
即数列为公比为3的等比数列，
若，则.
故选：A.
【点睛】本题主要考查数列的新定义，以及等比数列的通项公式及性质的应用，其中解答中根据“梦想数列”得到数列为公比为3的等比数列是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先验证函数是否满足奇偶性，由f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数f（x）为偶函数，，排除B,D ，再由函数的特殊值确定答案．
【详解】令f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C，A项满足.
【点睛】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．
4. 已知数列的前n项和，若，则数列的前n项和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用，求出，从而可求出，进而可求出数列的前n项和
【详解】当时，，
当时，，满足上式，
所以，
所以 ，
所以数列的前n项和是
故选：C
5. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性即可得解.
【详解】令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，则，，
所以.
故选：C
6. 用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A. 60个B. 40个C. 30个D. 24个
【答案】C
【解析】
【分析】分两类进行求解：第一类排在末位；第二类、排在末位，然后每一类按照分步计数原理求解即可.
【详解】由题意可分为两类：
第一类 末位数字为时，百位数字有种排法，十位数字有种，根据分步计数原理，共有种排法；
第二类 ①末位数字为或中一个时，有种排法；
②再从除以外的个数中，选一个放在百位有种排法，再从剩余的个数中，选一个放在十位数字有种排法，
根据分步计数原理，共有种排法；
根据分类计数原理，共有种排法.
故选：C
7. 已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导得，等价于在区间的函数值有正有负，解不等式组即得解.
【详解】解：，
令，由于函数在内不是单调函数，
则在区间的函数值有正有负，
而二次函数开口向上，对称轴为轴，
所以在区间上递增，所以，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：A.
8. 已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得函数在点处的切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，由面积求得.
【详解】易知，，且，
所以直线，
它与两坐标轴的交点坐标分别为和，
可得，又，
解得.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A.
B. 函数在上递增，在上递减
C. 函数的极值点为，
D. 函数的极大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对A，B由导数与函数单调性的关系，即可判断，， 的大小以及的单调性，对C，D由极值的定义即可判断.
【详解】解：由题图知可，当时，，
当时，，当时，，
所以在上递增，
在上递减，在上递增，
对A，，故A错误；
对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误；
对C，函数的极值点为，，故C正确；
对D，函数的极大值为，故D错误.
故选：ABD.
10. 已知数列满足，，，为数列的前n项和，则下列说法正确的有（ ）
A. n为偶数时，B.
C. D. 的最大值为20
【答案】AC
【解析】
【分析】对选项A，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B，检验当时，所给表达式不满足；对选项C，按照n为奇数和偶数分别讨论，根据，可直接求得；对选项D，的最大值为
【详解】根据递推关系可知，n为奇数时，
n为偶数时，，故A对；
根据奇数项构成等差数列
可得：
而又：
则有：，故B错误；
，故C对；
根据中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据特点可知：
的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，，，，，，，的最大值为，故D错
故选：AC
11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）．
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有1个零点
C. 存在正实数，使得成立
D. 对任意两个正实数，且，若，则．
【答案】BD
【解析】
【分析】求导后讨论单调性可判断A；求导后讨论的单调性，利用零点存在定理判断B；利用常数分离法，构造函数，利用导数分析得的单调性可判断C；利用极值点偏移问题的解法求解，从而可判断D.
【详解】对于选项A，函数的定义域为，函数的导数，
所以在内，，函数单调递减；
在上，，函数单调递增，
所以是的极小值点，故A错误；
对于选项B，由，得，
由于分子判别式小于零，所以恒成立，
所以函数在，上单调递减，
且，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对于选项C，若，可得，
令，则，
令，则，
所以在内，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，
所以，所以，
所以函数在上单调递减．
又因为当时，，
所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确；
对于选项D，设，即有，
，即为，
化为，
故，所以，
则，
设（），可得，
令，则在上恒成立，
可得，所以，故单调递增，
可得，故成立，故D正确．
故选：BD.
【点睛】方法点睛：
（1）函数的极值点与零点可用导数分析单调性后再结合具体函数值分析；
（2）对于含参数的函数不等式恒成立问题可分离参数后求导，分析单调性再求参数的范围；
（3）极值点平移问题，先构造函数求导，再赋值，最后可得
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分）．
12. 有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)
【答案】
【解析】
【详解】分析：根据排列定义求结果.
详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60(种)．
点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力
13. 已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则______.
【答案】23
【解析】
【分析】
先设奇数项公差为，偶数项公比为，根据已知条件列关系求解和，再计算，即得结果.
【详解】设数列的奇数项依次成公差为的等差数列，偶数项依次成公比为的等比数列，
由，，，，故，，
解方程得.故，则.
故答案为：23.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题.
14. 如图，某广场内有一半径为米的圆形区域，圆心为，其内接矩形的内部区域为居民的健身活动场所，已知米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心作直径，使得，在劣弧上取一点，过点作圆的内接矩形，使，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设．
（1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为（单位：平方米），求的表达式（不需要注明的范围）______．
（2）当取最大值时，求的值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设与相交于点，与相交于点，求出，，即可得到函数及诶小时；再利用导数求函数取最大值时的值.
【详解】
设与相交于点，与相交于点，依题得，，，
则，
由得，
所以，
即.
因为，
所以，
令，解得或（不合题意，舍去），
由得，
设，则，则，
①当时，，单调递增；
②当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值．
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；
(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.
【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，解得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以；
当或者时，取到最小值.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
16. 已知正项数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得，再因式分解为，即可得到，根据等差数列的定义，可知为等差数列，易得其通项公式；
（2）由题意用分组求和法和错位相减法对数列求和.
【小问1详解】
因为，
所以当时，，
所以，
整理，得，
因为，
所以，
所以数列是公差为2的等差数列.
当时，，
解得，
所以数列的通项公式为；
【小问2详解】
由（1）得，
记，，则
，
因为，，
所以，
所以，
所以.
17. 某林场去年底森林木材储存量为100万，若树木以每年20%的增长率生长，计划从今年起，每年底要砍伐x万木材，记为第n年年底的木材储存量.
（1）写出；写出数列的递推公式；
（2）为了实现经过10年木材储存量翻两番（原来的4倍）的目标，每年砍伐的木材量x的最大值是多少?（精确到0.1万）
参考数据：.
【答案】（1），，；
（2）万.
【解析】
【分析】（1）根据给定的信息求出，数列的递推公式作答.
（2）由（1）的递推公式求出数列的通项公式，再列出不等式求解作答.
【小问1详解】
依题意，，，
，所以数列的递推公式是.
【小问2详解】
由（1）知，，，则，
若，则，有，即，
若，则，于是数列是以为首项，为公比的等比数列，
则有，即，当时，上式也成立，
因此，，
因为10年木材量翻两番，即，则，而，
从而，解得，
所以每年砍伐的木材量x的最大值是万.
18. 已知函数．
（1）当时，以点为切点作曲线的切线，求切线方程；
（2）证明：函数有3个零点；
（3）若在区间上有最小值，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式求出切线方程；
（2）利用导数说明函数单调性，即可求出函数的极值，再结合零点存在性定理证明即可；
（3）结合（2）中函数的极小值点及极小值， 令求出所对应的，从而得到，解得即可.
【小问1详解】
当时，则，，
所以，
所以切线方程为，即；
【小问2详解】
因为定义域为，
又，因为，所以，
由，解得或，由，解得；
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
所以，，
又，，
且当时，当时，
即，所以在上存在唯一零点，
由，所以在上存在唯一零点，
由，所以在上存在唯一零点，
所以在和上均不存在零点，
所以函数有且仅有个零点．
【小问3详解】
由（2）可知的极小值点为，极大值点为，且，
当时，即，则，
解得或，
因在区间上有最小值，
所以最小值为函数的极小值，即，解得，
所以的取值范围为．
19. 已知 ，函数，.
（1）当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数的值；
（2）若，求证：.
【答案】（1）1 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分别对，求导，讨论和，得出和的单调性，即可求出，的极小值，即可得出答案.
（2）令，由可得，要证 ，不妨设，所以只要证，令，，对求导，得出的单调性，即可证明.
小问1详解】
，定义域均为，
，
当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；
当时，令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
又，
当时：，在单调递减，无极值，与题不符；
当时：令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
由题：，解得：.
小问2详解】
令，因为，所以，
由可得：，
（1）-（2）得：，所以，
要证： ，只要证： ，只要证：
不妨设，所以只要证：，
即证：，令，只要证：，
令， ，
所以在上单调递增，
， 即有成立，所以成立.